Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ)[1]. Часть II. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности

Крысько А.В.; Жигалов М.В.; Мицкевич С.А.; Загниборода Н.А.; Добриян В.В.; Кутепов И.Е.; Крысько В.А.

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 531.383

А.В. Крысько, М.В. Жигалов, С.А. Мицкевич, Н.А. Загниборода,

В.В. Добриян, И.Е. Кутепов, В.А. Крысько

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ВИБРАЦИОННЫХ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ (ММГ)1.

Часть II. РАСЧЕТ РЕЗОНАТОРА В ВИДЕ БАЛКИ С НАЧАЛЬНОЙ НЕПРАВИЛЬНОСТЬЮ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Построена математическая модель нелинейного резонатора. В каче-

стве примера приводится анализ колебаний балки с начальной неправильностью под действием поперечной знакопеременной нагрузки. Анализ проводится на основе качественной теории дифференциальных уравнений. Построены карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров (частота возбуждения и амплитуда). Построены зависимости Колмогорова-Синая, сжатия фазового объема и размерности Каплана - Йорке от нагрузки. Построен сценарий перехода в хаос, который соответствует сценарию Рюэлля-Таккенса-Ньюхауза.

Г ироскоп, нелинейная динамика, навигация, управление

A.V. Krysko, M.V. Zhigalov, S.A. Mitskevich, NA. Zagniboroda,

V.V. Dobriyan, ГЕ. Kutepov, V.A. Krysko

NONLINEAR DYNAMICS OF VIBRATION MICROMECHANICAL GYROSCOPES. PART II.

CALCULATION OF THE RESONATOR IN THE FORM OF A BEAM WITH THE INITIAL ABNORMALITY REGARDING GEOMETRICAL NON-LINEARITY

The mathematical model of the nonlinear resonator is constructed. As an example the analysis of fluctuations of a beam with the initial abnormality under the influence of cross-section sign-variable loading is provided. The analysis is carried out on the basis of the qualitative theory of differential equations. Fluctuation cards depending on the operating parameters (frequency of excitement and amplitude) are constructed. Kolmogorov Sinai dependences, as well as phase volume compression and Kaplan-York dimension depending on the load are constructed. The scenario of transition to chaos which corresponds to Ruelle-Takens-Newhouse scenario is designed.

Gyroscope, nonlinear dynamics, navigation, control

Введение. В конце первой части работы «Нелинейная динамика вибрациолнных микромеха-нических гироскопов. Часть I. Обзор исследований» [1] ставятся ряд проблем, которые не были затронуты в работах, приведенных в [1]. Приведем некоторые работы, которыми можно дополнить обзор Части I. Так, в [2] приведен весьма полный обзор имевшихся на то время устройств, основанных на пьезоэффекте. Пьезокерамические резонаторы в этих моделях имеют различную форму: цилиндрической трубки, скрученной цилиндрической оболочки, кольца, пластины, имеющей поляризацию по толщине. Там же описана конструкция пьезогироскопа с двумя пьезокерамическими стержнями и присоединенной массой. Пьезокерамические элементы в этом устройстве поляризованы по толщине и испытывают деформации сдвига. Следует заметить, что все вибрационные гироскопы работают при вынуждающей частоте, которая находится в окрестности частоты собственных колебаний. При этом амплитуда колебаний в реальных устройствах остается конечной. Это обстоятельство

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-08-00569

делает актуальным учет внутреннего трения в деформируемых элементах датчика. Для создания математических моделей микроэлектромеханических систем - датчиков (МЭМС), необходимо исследовать колебания различных видов: растяжения-сжатия, крутильные, а также изгибные. Колебания при изгибе пластин рассматриваются также при моделировании работы резонаторов в устройствах беспроводной связи. Работа [3] содержит расчет резонатора с гибкими диафрагмами, которые совершают изгибные колебания при наличии демпфирования. Температурные деформации учитываются за счет введения осевой силы. Сравнительный анализ характеристик резонаторов различной конструкции приведен в [4]. При этом сделана попытка учесть физическую нелинейность материала в рамках простой модели с сосредоточенными параметрами. Обсуждается связь физической нелинейности и бифуркаций на амплитудно-частотной характеристике резонатора. Рассмотрены резонатор в виде балки с двумя защемленными концами, резонатор - консольная балка, а также резонатор объемных акустических волн в виде стержня переменного сечения, который испытывает деформации растяжения-сжатия. Расчет для последней конструкции был развит далее авторами для резонатора в виде пластины [5]. В [6] также рассмотрена модель балочного резонатора, в рамках которой вводится одна степень свободы х(г) - стрела прогиба балки. Колебания описываются уравнением

тх + Ьх + к (х) х = Ее (х).

здесь т - приведенная (сосредоточенная) масса, Ь - демпфирование, к(х) - жесткость, Ге(х) - электростатическая сила. Эффекты от физической и геометрической нелинейности учитывались за счет степенной зависимости жесткости от стрелы прогиба

к (х) = к0 + к1х + к2х2 + к3 х3 + к4 х4.

Сила Ее(х) представлялась разложением в ряд Тейлора по степеням х. Решение задачи далее сводилось к численному интегрированию системы четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно стрелы прогиба, скорости ее изменения, электрического напряжения и силы тока. При этом сами авторы работы отмечают, что использование моделей с распределенными параметрами позволяет получить более точные результаты, причем рассмотрены модели с одной степенью свободы, что является весьма грубым приближением для рассматриваемой задачи.

Методы анализа распределенных механических систем описаны в [7-11].

Ниже строятся математические модели резонатора в виде балки, которая рассматривается как распределенная система, конечной длины и с почти бесконечным числом степеней свободы.

Математическая модель. Для получения математической модели приняты следующие гипотезы: балка с начальной неправильностью (начальная неправильность учитывается коэффициентом к = ); упругая и подчиняется закону Гука; справедлива гипотеза Бернулли-Эйлера; учитывается

х / Кх

деформация срединной линии по теории Теодора фон Кармана. С учетом этих гипотез и использовании принципа Гамильтона - Остроградского получены дифференциальные уравнения в перемещениях. С использованием безразмерных переменных:

н = н/(2й), и = иа/(2Н)2, х = х/а, Л = а/(2й), д = (да4)/(2А)4 Е

г = г/ Т, Т = а/с, с = ^ЩЩЪ, £ = £а/с, кх = кх а 2/(Я 2к).

(1)

а*

Уравнения примут вид (причём для простоты черточки над безразмерными величинами опускаются) д 2и д 2и Т / \ . дн

=а?+Ь <жн)-к

н дн 1 I т т ^ \ 1 д н

д2н дн 1 Iт . . т / \ 1 д4н .

+ £ "Г— = д +-2 \^2\н,н) + Ь1 (и, н)----4 + кх

дг дг X | 12 дх

Граничные условия

ди 1 (дн V д 2н

-— кн — I I - н

дх х 21 дх) дх

2

(2)

и(0, г) = и(1, г) = 0; н(0, г) = н(1, г) = 0;—^ у = °- (3)

д (0, г) д2 н(1, г)

дх2 = дх2

Начальные условия:

иг=0 = н0; и\г=0 = °; н|г=0 = н0; н| г=0 = 0 (4)

. . д2и дн ди д2н

здесь н(х,г) - прогиб балки; и(х, г) - перемещение вдоль оси ох ; Ь1(и, н) = —2-------------------+

дх дх дх дх

3 д 2н ( дн ^2 д 2 н дн

2~дх21 эх) , Ь3 н =~дх2

Ь2(н, н) =-— I — I , Ь3(н, н) = ——, £ - коэффициент диссипации; д = д(х,г) - попереч-

ная нагрузка; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; р - плотность материала; } - удельный вес материала балки; g - ускорение свободного падения.

В связи с тем, что искомая система сильно нелинейная, получение ее решения в аналитической форме становится практически невозможным. Поэтому решение будем проводить численно двумя методами (конечного элемента в форме Бубнова - Галеркина и конечных разностей второго порядка точности по пространственным координатам), с помощью которых уравнения в частных производных сводятся к задаче Коши. Исследовались следующие вопросы по принципу Рунге: количество разбиений в методе конечных разностей по пространственной координате на 16, 32, 50, и 80 отрезков. Оказалось, что результаты по двум методам совпадают при п=50.

Для того, чтобы показать сложный характер колебаний резонатора под действием поперечной знакопеременной нагрузки к = к0 8т( орг), где амплитуда меняется 0 < q0 < 200 • 103, а частота

0р находится в пределах 3.45 < 0)р < 11.45 ниже приведена карта режимов колебаний. Для построения карт управляющих параметров к О} оказалось достаточно разрешающей способности

200x200, т.е. необходимо проанализировать 4-104 решений. Стоит отметить, что время счета карты с таким разбиением составляет 236 часов на компьютере с процессором ЛМБ РИепоп 11X3 720. Каждую из решаемых задач необходимо проанализировать: сигнал спектра мощности, фазовый портрет, сечение Пуанкаре, автокорреляционные функции, Ляпуновские показатели, определенные по обобщенному алгоритму Бенеттина для конкретного набора к О }

Таблица 1

Зависимость цвета от типа колебаний

Периодические колебания с частотой юр Периодические колебания с частотой ор! 2 Периодические колебания с частотой ор / 3 Бифуркации

Хаотические колебания Квазипериодические колебания

Карта управляющих параметров

Здесь 00 - собственная безразмерная частота колебаний балки.

Отметим, что карта управляющих параметров {к0,ор} позволяет оценить величину зон различных типов колебаний, определить значения амплитуды и частоты вынуждающей силы, при которых система переходит к хаотическим колебаниям, чтобы предотвратить такой сценарий в реальных объектах.

Далее рассмотрим сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний Ор = О0 Для некоторых параметров к0 в

табл. 2-4 приведены следующие характеристики:

а) зависимость ^(0,5; г);

б) спектр мощности, полученный с помощью быстрого преобразования Фурье Е (^);

в) фазовый портрет м>(м>) в центре балки;

г) зависимость ж( х; г) для значения времени г = 1836;

ч Э^(0,5; г) (гл _ \

д) зависимость ------- от w(0,5; г), при различных значениях г - модальный портрет;

дх

е) сечение Пуанкаре w(г)(w(г + Т)), где Т - период вынуждающей нагрузки;

ж) отображение Пуанкаре - это проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя вдоль траекторий системы.;

4

з) значения старших Ляпуновских показателей, график ^ ^(г), фрактальная размерность Ка-

г=1

плана-Йорке, погрешность обучения нейронной сети, вычисляющей Ляпуновские показатели;

и), к) 2Б вейвлеты Хаара и Морле; л), м) 3Б вейвлеты Хаара и Морле.

Фрактальную размерность аттрактора в фазовом пространстве ^ можно оценить с помощью спектра показателей Ляпунова. Такая оценка называется размерностью Каплана-Йорке Экуи задается соотношением, называемым формулой Каплана-Йорке:

°ку = к + 17(5) А

‘■'к +1

1. При д0 = 0,5 103 на спектре мощности Фурье присутствует только частота возбуждений со = 11.16. Сигнал, фазовый портрет и отображение Пуанкаре соответствуют гармоническим колебаниям.

2. При д0 = 2 • 103 на спектре мощности, кроме юр = 11.16, появляется частота щ = 1.41, значение которой является линейно независимым от частоты вынуждающих колебаний.

3. При д0 = 6 • 103 добавляется частота щ =1 (щ + щ ) = 6.28, линейно зависимая от частот

Щр и щ.

4. При д0 = 12.5 103 возникает еще одна зависимая частота щ = щ — щ = 4.87. Значение

д0 = 15 103 (табл. 2) характеризуется появлением новой линейно зависимой частоты

(Оа = щ +щ = 7.7. Отметим, что колебания по длине балки носят симметричный характер г) что и подтверждено модальным портретом д) - он имеет вид прямой линии. Старший показатель Ляпунова практически равен нулю, а третий и четвертый - отрицательны. Вейвлеты Хаара и Морле показывают, что максимальная энергия сосредоточена на частоте возбуждения.

5. Дальнейшее увеличение нагрузки до д0 = 20 • 103 (табл. 3) приводит к появлению ряда зависимых частот и существенному изменению фазового портрета - фазовые линии начинают расходиться. Колебания по длине балки носят сложный характер, но имею симметричный вид г, д. Отображение Пуанкаре рассыпается.

6. При д0 = 200 103 (табл. 4) наблюдается спектр мощности, соответствующий хаотическому

режиму с по-прежнему преобладающей частотой щр = 11.16. Однако вейвлеты Хаара и Морле показывают, что основная энергия системы сосредоточена на низких частотах. Сечение Пуанкаре представляет собой набор точек. Вид колебаний по длине балки несимметричен, что и отмечено на г, д.

На рис. 1-3 представлены одни из важных показателей при изучении нелинейной динамики -зависимости КС энтропии от нагрузки, сжатия фазового объема от нагрузки, размерности Каплана -Йорке от нагрузки.

Как видно из рис. 1, КС энтропия растет по мере увеличения нагрузки за исключением интервала нагрузки (15000; 18500), где она начинает убывать. На этом интервале отсутствует и сжатие фазового объема (рис. 2). Отметим также, что интервал увеличения сжатия фазового объема соответствует интервалу роста размерности Каплана - Йорке.

q0 =15•10-

а - сигнал t € [1836; 1855]

б - спектр мощности Фурье

в - фазовый портрет

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г - эпюра прогиба (t = 1836)

д - модальный портрет

w(t)

0.105 г

е - сечение Пуанкаре

0.085 0.09 0.095 0.1 0.105

w(t+T)

ж - отображение Пуанкаре (нейронная сеть)

з - показатели Ляпунова Л1 = 2.4131 • 10-3,

Л2 =-2.7986 • 10-3 Л3 =-0.767583,

Л4 =-1.939768, KY dim = 1.86224

и - 2D вейвлет Хаара

Фщщжщнщн

к - 2D вейвлет Морле

л - 3D вейвлет Хаара

м - 3D вейвлет Морле

0.1

0.095

0.09

0.085

0.08

q0 = 20•103

а - сигнал t € [1836; 1855]

б - спектр мощности Фурье

в - фазовый портрет

г - эпюра прогиба (t = 1836)

д - модальный портрет

е - сечение Пуанкаре

ж - отображение Пуанкаре (нейронная сеть)

з - показатели Ляпунова

Л = 2.6001 • 10-3,

Л2 =-8.8552 • 10-3 Л3 =-0.219558,

Л4 =-2.12916,

KY dim = 1.29363

и - 2D вейвлет Хаара

к - 2D вейвлет Морле

л - 3D вейвлет Хаара

м - 3D вейвлет Морле

200•103

а - сигнал t € [1836; 1855]

б - спектр мощности Фурье

в - фазовый портрет

г - эпюра прогиба (t = 1836)

д - модальный портрет

е - сечение Пуанкаре

ж - отображение Пуанкаре (нейронная сеть)

з - показатели Ляпунова Л = 5.134 • 10-3,

Л2 =-1.237 • 10-3 Л3 = -0.450879 ,

Л4 =-0.450952, KY dim = 1.41503

и - 2D вейвлет Хаара

к - 2D вейвлет Морле

л - 3D вейвлет Хаара

м - 3D вейвлет Морле

КС

■?o

К-Й

■?o

Рис. 1. Зависимость КС энтропии от нагрузки

Рис. 2. Зависимость сжатия фазового объема (СФО) от нагрузки

ЛИТЕРАТУРА

Рис. 3. Зависимость размерность Каплана-Йорке (К-Й)от нагрузки

1. Крысько А.В. Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ). Часть I. Обзор исследований / А.В. Крыско и др. // Вестник СГТУ. № 2. С. 18-23.

2. Yang J.S. Analysis of piezoelectric devices / J.S. Yang. Singapore: World Scientific Publishing, 2006. 520 p.

3. Weinberg Marc S. Modeling Flexural Plate Wave Devices / Marc S. Weinberg, Brian T. Cunningham, Christopher W. Clapp // Journal Of Microelectromechanical Systems. 2000. 9. № 3. P. 370-379.

4. Kaajakari V. Nonlinear Limits for Single-Crystal Silicon Microresonators / V. Kaajakari,

T. Mattila, A. Oja, H. Seppa // Journal Of Microelectromechanical Systems. 2004. 13. № 5. Р. 715-724.

5. Analysis of vibration modes in a micromechanical square-plate resonator / O. Holmgren, K. Kokkonen, T. Veijola, T. Mattila, V. Kaajakari, A. Oja, J.V. Knuuttila, M. Kaivola // Journal Of Micromechanics And Microengineering. 2009. 19. № 1. P. 015028.

6. Modelling the dynamics of a MEMS resonator: Simulations and experiments / R.M.C. Mestrom, R.H.B. Fey, J.T.M. van Beek, K.L. Phan, H. Nijmeijer // Sensors and Actuators. A. 2008. 142. P.306-315.

7. Krysko V.A. Nonlinear dynamics of continuous elastic systems / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, A. Vakakis. Springer, 2004. 341 p.

8. Awrejcewicz J. CRC Series: Modern Mechanics and Mathematics. Introduction to asymptotic methods / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. N.Y.: Chapman&Hall/SRC. 2006. 251 p.

9. Awrejcewicz J. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 1: Mathematical models and solution methods, Chaos, Solitons & Fractals / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 687-708.

10. Awrejcewicz J. Routes to chaos in continuous mechanical systems: Part 2. Modelling transitions from regular to chaotic dynamics. Chaos, Solitons & Fractals / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 709-720.

11. Awrejcewicz J. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 3: The Lyapunov exponents, hyper, hyper-hyper and spatial-temporal chaos. Chaos, Solitons & Fractals / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 721-736.

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Жигалов Максим Викторович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Крысько Антон Вадимович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика и механика» Энгельсского технологического 14

Vadim A. Krysko -

Dr.Sc., Professor

Head: Department of Mathematics and Modelling Gagarin Saratov State Technical University

Maxim V. Zhigalov -

PhD, Associate Professor Department of Mathematics and Modelling Gagarin Saratov State Technical University

Anton V. Krysko -

Dr.Sc., Professor

Head: Department of Further Mathematics and Mechanical Science

института - филиала Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Мицкевич Светлана Александровна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Добриян Виталий Вячеславович -

аспирант кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Кутепов Илья Евгениевич -

аспирант кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Загниборода Николай Александрович -

аспирант кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья посту

Engels Technological Institute (branch)