CC BY
7МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 512.542
О НОРМАЛИЗАТОРАХ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП В КОНЕЧНОЙ ГРУППЕ
С.В. Путилов
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
Рассматриваются только конечные группы. Доказываются следующие теоремы: 1) Пусть G — простая неабелевая конечная группа, Ng (gp )=H— нормализатор ее силовскои p—подгруппы и
G : H = ra > 1, где r — простое число. Тогда выполняется одно из следующих утверждении:
(1)G = L (5) = A, при p = 2 ; (2)G = L (q), |G : H| = (q +1) = 2a , q — простое число Мерсена , p = q
и G = HG2 , H о G = 1 ; 2) Если в конечной группе G каждый ненильпотентный нормализатор силовской подгруппы имеет примарный индекс, то G разрешимая; 3) Если в конечной группе G нормализатор каждой силовской p—подгруппы, для любого p G), или p—нильпотентная
группа, или простая группа, то группа G или нильпотентная, или циклическая порядка равного простому числу; 4) Если в ненильпотентной конечной группе G нормализатор каждой ненормальной силовской p—подгруппы, для подходящих p ЕЖ (G ), или p—нильпотентная группа, или простая
группа, то G = Ar B, где A— нормальная нильпотентная холлова подгруппа, B— дополнение, которое или нильпотентное, или циклическое порядка равного простому числу.
Ключевые слова: конечная группа, нормализатор подгруппы, силовская подгруппа, индекс подгруппы, разрешимая группа.
Все используемые обозначения и определения соответствуют [1]. В [2, 3, 4] авторы доказали, что конечная группа с примарными индексами нормализаторов силовских подгрупп разрешимая. Теорема 2 усиливает этот результат. Теорема 1 развивает исследования, начатые в [5, 6]. Теорема 3 и теорема 4 продолжают исследования автора, представленные в [7]. Полученные результаты анонсированы в [8-9].
Далее буквами p, q, r обозначаются простые числа; Gp - силовская p—подгруппа
группы G ; S - симметрическая группа степени n ; A — знакопеременная группа на 5 символах; А < G— подгруппа А нормальная в G ; G = Ar В— группа G равна полупрямому произведению подгруппы A на подгруппу B, т.е. G = AB, A о B = 1 и A<G ; |G : H| - индекс
подгруппы H в группе G ; |G : H| - примарный индекс, если он равен степени простого числа.
Лемма 1 [5, теорема 1 и в (2) замечание к ней]. Пусть G—простая неабелевая группа, H — ее подгруппа и |G : H| = ra > 1, где r — простое число. Тогда выполняется одно из
следующих утверждений: (1) G = A, H = A-i и n = ra ;
(2) G = Ln (q), G : H| = (qn -1) / (q -1) = ra и H — холлова r' — подгруппа в G, равная
стабилизатору прямой или гиперплоскости проективного пространства, соответствующего группе G. Замечание: при n > 2 в G будет два класса сопряженных подгрупп изоморфных подгруппе H ;
(3) G = L (11), H = A и ra= 11;
(4) G = U4(2) = PSp4(3), H = G(H)* A,, \02Щ = 24, |H^=26и ra = 33;
(5) О=Ы2Ъ, Н = М22 и га = 23;
(6) О=Ып, Н=М10 и га = 11.
Лемма 2 [11]. В группе 4(рп) пусть м—нормализатор силовской р—подгруппы, Б — диэдральная подгруппа порядка 2-(2" +1) при р = 2 и рп +1 при р > 2, 2 — циклическая подгруппа индекса 2 в Б, и — несопряженные в 4(рп) симметрические группы степени 4, А и А*а (А и Д*) — несопряженные в 4(рп) знакопеременные группы степени 4 (соответственно степени 5).
Группа 4 (рп) допускает только следующие факторизации, с точностью до сопряженных подгрупп:
(I). 4 (2п) ЫБ = N2, п > 2.
(II). Пусть. р > 2. Тогда и только тогда 4 (рп) МБ, когда 1 (рп — 1) — нечетное число.
(III). При рп > 61 и р > 2 группа 4 (р") не имеет никаких других факторизаций, кроме указанных в (II).
(IV). Пусть р > 2 и рп < 59. Тогда
(1). 4 (7)=ыб=щ = ж; = оа = о7 я;.
(2). 4(9) = ЫД = ЫА = я4А = я; А = 44 = А 4 = а;а.
(3). 4 (11) = мб = щ = щ = ЫА = ОА = опА.
(4). 4 (19) = ыб = ЫД = МД.
(5). 4(29) = N4 = Щ* = КА = КА, где К с N и |К| = 7-29.
(6). 4 (59) = ЫБ = ЫД = ЫД.
(7). 4(рп) = МБ, где рп = 23, 27, 31, 43, 47, 51.
Лемма 3. Если в простой неабелевой конечной группе О нормализатор Н = Ыс (О ), 5 е я(О) \{2}, силовской s — подгруппы О, имеет индекс равный степени простого числа (, то О = 4 (д), О: Н| = (д + 1) = 2а, д — простое число Мерсена, 5 = д и О = НО2 , Н о О2 = 1 • Доказательство. По лемме 1 для О и Н возможны случаи (1)-(6). По (1) леммы 1 1
0 = А, |А5|=22-3-5, |О: М0 (О)| = 10, О: N (О5)| = 6, что противоречит условию леммы 3.
Поскольку по условию леммы 3 все подгруппы изоморфные Н сопряжены в О, то по замечанию в (2) леммы 1, при п > 2 приходим к противоречию. Значит в (2) п=2, О: Н| = (д +1) = ^ . Так как д — степень простого числа, I — простое число, то число д +1 = tа четное. Тогда д — простое число Мерсена и t = 2. Теперь из пунктов (II), (III), (IV) леммы 2 имеем, что 5 = д и О = НО2, Н о О2 = 1 •
В (3), (5) леммы 1 подгруппа Н простая. По (4) леммы 1 Н = 02(Н) * А, |02(Н)| = 2;, |Н21 =26. Тогда 5 = 3 или 5 = 5, откуда Н3 о А, или Н5 < А, что противоречиво. По (6) леммы
1 Н = Мю, \Н\ =24-32-5-11, 5 = 3 или 5 = 5. Так как коммутант группы М10 изоморфен простой группе А, |А6|=23'32-5, то Н3 <А или Н5 <А. Опять пришли к противоречию. Лемма 3 доказана.
Лемма 4 [1, теорема У.7.3]. Группа порядка рп ■ дтразрешимая для любых простых чисел р , д .
Лемма 5 [10, теорема 4]. Если нормализатор силовской 2 — подгруппы в простой неабелевой конечной группе О имеет индекс равный степени простого числа, то О ^ А.
Лемма 6 [12]. Картеровы подгруппы конечных групп сопряжены.
Лемма 7. Если в группе G каждый ненильпотентный нормализатор силовской подгруппы имеет примарный индекс, то группа G не простая.
Доказательство. Пусть G - простая группа, ж {О) - множество простых делителей
порядка О . При |ж{О)| < 2 утверждение истинно по лемме 4. Пусть |ж{О)| > 3 , А = {О2) и |О: А = гР,г е ж {О) . Тогда по лемме 5 О = Ц (5) = Д и приходим к противоречию с тем, что
{О3 )| = 10, |О:{О5 )| = 6. Значит, подгруппа А нильпотентна и |О:А| не примарный.
Тогда по лемме 6 каждый нильпотентный нормализатор любой силовской подгруппы в О будет сопряжен с А.
Если нормализаторы всех силовских подгрупп нильпотентны в О, то по лемме 6 группа О нильпотентна. Поэтому для подходящего р еж {О)\{2} подгруппа В = {Ор)
ненильпотентна и |О:В| = яа, 5 еж{О) \{р} . Тогда по лемме 3 О = Ц(р), \О: В| = 2а, р— простое число Мерсена, О = ВО, В о О2 = 1.
Значит, для любого t еж {О) \ {2, р}, для которого | О: {О() | - степень простого числа, по лемме 3 получим, что t = р. Тогда |ж{О )|=2 и утверждение истинно по лемме 4. Лемма 7 доказана.
Лемма 8 [1, теорема 1.7.8]. Пусть N—нормальная подгруппа группы О и Р—силовская р—подгруппа в N. Тогда О = N • N (Р).
Лемма 9 [1, теорема 1.7.7]. Если Ор - силовская р—подгруппа конечной группы О и N— нормальная подгруппа в О , то справедливы утверждения: (1) О^ / N - силовская р— подгруппа фактор-группы О / N; (2) {ОрЫ/N = N [Ор ] N / N.
Лемма 10 [1, теорема У1.4.3]. Пусть А, В—нильпотентные подгруппы группы О. Если О = АВ, то О разрешимая.
Лемма 11 [1, теорема 1.8.6 а)]. Пусть N—нормальная подгруппа группы О. Если N и фактор-группа О^ разрешимые, то О разрешимая.
Лемма 12 [7, теорема 2.1.1]. Конечная группа О нильпотентная тогда и только тогда, когда для любого простого числа р еж(О) нормализатор каждой силовской р—подгруппы группы О является р — разложимой подгруппой в группе О .
Лемма 13 [1, теорема 1.18.1]. Пусть N—нормальная подгруппа группы О и (| N1,0/Щ) = 1. Тогда существует в О дополнение к N.
Теорема 1. Пусть О—простая неабелевая конечная группа, NG {Ор ) = Н — нормализатор ее силовской р—подгруппы и |О: Н| = га > 1, где г — простое число. Тогда выполняется одно из следующих утверждений: (1)О = Ц (5) = А, при р = 2;
(2)О = Ц (д), О: Н| = (д + 1) = 2а, д — простое число Мерсена , р = д и О = НО , Н о О = 1.
Доказательство. По лемме 5 при р = 2 группа О удовлетворяет условию (1). Если р > 2, то по лемме 3 группа О удовлетворяет условию (2). Теорема 1 доказана.
Следствие 1[2, 3, 4]. Если в конечной группе О нормализатор каждой силовской подгруппы имеет примарный индекс, то О не простая.
Доказательство. В теореме 1 случаи (1) и (2) несовместимы. Поэтому Ыа (О2) и
(Ор), р > 2, не могут одновременно иметь примарные индексы. Значит, группа О не
простая. Следствие 1 доказано.
Теорема 2. Если в конечной группе О каждый ненильпотентный нормализатор силовской подгруппы имеет примарный индекс, то О разрешимая.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна и О— конрпример минимального порядка. По лемме 7 группа О не простая. Рассмотрим фактор-группу О/ N, где 1 < N — минимальная нормальная подгруппа в О .
Пусть р, д ел(О) , |О : Ыа (О )\=4 и Мс (О ) — ненильпотентная группа. Если Р— силовская р—подгруппа в N, то по лемме 8 О = Ы-ЫО (Р). Так как Р = N о О, то для любого .X е N (О ) имеем Рх = Ых о Орх = N о Ор = Р. Значит, М0 (Ор ) с N (Р). Поскольку О = ММо (Р) и Мм (Р) = N о Мо (Р), то |М:Мм (Р)| =др.
Так как по лемме 9 М0/„ (врЫ/N) = N (Ор )N / N , то |О/М:МО/М (ОрЫ/N) =
О/М:МО(Ор )М/М| = |О:МО(Ор )м| = |О:М0(Р) / |М:М^(Р) = да/др=да—р. Значит, О/ N
наследует условия теоремы и по индукции разрешимая.
Пусть Б = Мд, (Р) — нильпотентная группа. Тогда N = БР и по лемме 10 группа N
разрешимая. Если Б— ненильпотентная группа, то N разрешимая по индукции. Тогда по лемме 11 О разрешимая. Теорема 2 доказана.
Следствие 2 [2, 3, 4]. Если в конечной группе О нормализатор каждой силовской подгруппы имеет примарный индекс, то О разрешимая.
Теорема 3. Если в конечной группе О нормализатор каждой силовской р—подгруппы,
для любого р еж(О), или р—нильпотентная группа, или простая группа, то группа О или
нильпотентная, или циклическая порядка равного простому числу.
Доказательство. Очевидно, что нормализатор силовской р—подгруппы является простой группой тогда и только тогда, когда силовская р—подгруппа равна своему нормализатору и имеет порядок равный простому числу р . Поэтому в О нормализатор каждой силовской р—подгруппы, для любого р еж(О), будет р—нильпотентной группой. Тогда по лемме 12 группа О нильпотентная. Если же нормализатор каждой силовской р — подгруппы, для любого р е л(О), будет простой группой, то по лемме 6 О— циклическая
группа порядка равного простому числу. Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Если в ненильпотентной конечной группе О нормализатор каждой ненормальной силовской р—подгруппы, для подходящих р ел (О), или р—нильпотентная
группа, или простая группа, то О = Аг В, где А— нормальная нильпотентная холлова подгруппа, В— дополнение, которое или нильпотентное, или циклическое порядка равного простому числу.
Доказательство. Если в О нет нормальных силовских подгрупп, то по теореме 3 группа О нильпотентная. Значит, в О есть нормальные силовские подгруппы, прямое произведение которых будет равно нормальной нильпотентной холловой подгруппе А в О . Тогда по лемме 13 О = Аг В. Так как каждая силовская подгруппа в В является силовской подгруппой в О, то их нормализаторы в В влючаются в их нормализаторы в О. Поэтому нормализатор каждой силовской р—подгруппы в В, для подходящих р ел(В), или р—нильпотентная группа, или
простая группа. Тогда по теореме 3 В — или нильпотентная группа, или циклическая группа порядка равного простому числу. Теорема 4 доказана.
Список литературы
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1967. -793 s.
2. Ведерников В. А. О признаках разрешимости и сверхразрешимости конечных групп // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8(6). - C. 1236-1244.
3. Buchthal D.S. Of factorized groups // Trans. Amer. Math.Soc. -1973. - V. 183.
- P. 423-430.
4. Го Вэньбинь Конечные группы с заданными индексами нормализаторов силовских подгрупп// Сибирский математический журнал. - 1996. - Т. 37(2). - С. 295-300.
5. Guralnick R. M. Subgroups of prime index in a simple group // J. Algebra. - 1983.
- V. 81(2). - C. 304-311.
6. Кондратьев А. С., В. Го В. Конечные группы, в которых нормализаторы силовских 3-подгрупп имеют нечетные или примарные индексы // Сибирский математический журнал. -2009. - Т. 50(2). - С. 344-349.
7. Путилов С. В. К теории конечных групп: Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 63 с.
8. Путилов С.В. О нормализаторах силовских 2-подгрупп в конечных группах // «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории»: материалы XVIII Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина. - Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2020. - С. 90-91.
9. Путилов С.В. О подгруппах конечной группы // Материалы XIV Международной школы-конференции по теории групп, посвященной памяти В.А. Белоногова, В.А. Ведерникова, Л.А. Шеметкова. [Электронный ресурс, режим доступа: https://group.mm.uran.ru/##5]. - С. 50.
10. Путилов С.В. Конечные группы с заданными подгруппами // Ученые записки Брянского государственного университета: физико-математические науки. - 2022. - №2. -С. 9-19.
11. Ito N. On the faktorisations of the linear fractional group LF (2, pn) //Acta scient.math. -1953. - V. 15. - P. 79-84.
12. Вдовин Е. П. Картеровы подгруппы конечных групп // Математические труды. -2008. - Т. 11(2). - С. 20-106.
Сведения об авторе
Путилов Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
ON THE NORMALIZERS OF SYLOW SUBGROUPS IN A FINITE GROUP
S.V. Putilov
Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky
Only finite groups are considered. The following theorems are proved: 1) Let G be a simple non-Abelian finite group, Ng {Gp j = H — the normalizer of its Sylow subgroup and |G: H| = ra >1, where r - a prime
number. Then one of the following statements is executed: (1)G = L2(5) = A5, by p = 2; (2)G = Lq(qi), G: H = (q + 1) = 2a, q — Mersen prime number , p = qand G = HG2 , HоG2 = 1; 2) If in a finite group G every not nilpotent normalizer of a Sylow subgroup has a primar index, thenG a solvable.; 3) If in a finite
group G the normalizer of each Sylow p—subgroup, for anyone p ek(G), is either a p—nilpotent group
or a simple group, then group G is either nilpotent or cyclic of order equal to a prime number; 4) If, in a not
nilpotent finite group G, the normalizer of each not normal Sylow p—subgroup, for suitable p E 7t(G), is
either a p—nilpotent group or a simple group, then G = Ar B , where A— is a normal nilpotent Hall
subgroup, B— an addition that is either nilpotent or cyclic of order equal to a prime number. Keywords: finite group, subgroup normalizer, Sylow subgroup, subgroup index, solvable group.
References
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1967. -793 s.
2. Vedernikov V. A., On the signs of solvability and supersolvability of finite groups// Siberian Mathematical Journal. - 1967. - V. 8(6). - P. 1236-1244.
3. Buchthal D.S. Of factorized groups // Trans. Amer. Math.Soc. -1973. - V. 183.
- P. 423-430.
4. Guo Wenbin, Finite groups with given indices of normalizers of Sylow subgroups// Siberian Mathematical Journal. - 1996. - T. 37(2). - C. 295-300.
5. Guralnick R. M. Subgroups of prime index in a simple group // J. Algebra. - 1983.
- V. 81(2). - C. 304-311.
6. Kondrat'ev A. S., Guo W., Finite groups in which the normalizers of Sylow 3-subgroups are of odd or primary index// Siberian Mathematical Journal. - 2009. - T. 50(2). - C. 344-349
7. Putilov S. V. On the theory of finite groups: Bryansk: Group of companies «Desyatochka», 2009. - 63 p.
8. Putilov S.V. On the normalizers of Silovsky 2-subgroups in finite groups // «Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems, applications and problems of history»: proceedings of the XVIII International Conference dedicated to the centenary of the birth of Professors B. M. Bredikhin, V. I. Nechaev and S. B. Stechkin. - Tula: Tolstoy Tula State Pedagogical University, 2020. - P. 90-91.
9. Putilov S.V. On subgroups of a finite group // Materials of the XIV International School-Conference on Group Theory dedicated to the memory of V.A. Belonogov, V.A. Vedernikov, L.A. Shemetkov. [Electronic resource, access mode: https://group.imm.uran.ru/##5]. - P. 50.
10. Putilov S.V. Finite groups with given subgroups // Scientific notes of Bryansk State University: Physical and Mathematical Sciences. - 2022. - №2. - P. 9-19.
11. Ito N. On the faktorisations of the linear fractional group LF (2, pn) // Acta scient.math.
- 1953. - V. 15. - P. 79-84.
12. Vdovin E. P. Carter subgroups of finite groups// Mathematical works. - 2008. - V. 11(2).
- P. 20-106.
About author
Putilov S.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry of the Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected] .
