CC BY
5МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 512.542
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ ПОДГРУППАМИ
С.В. Путилов
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
Рассматриваются только конечные группы. Доказываются следующие теоремы: 1) Если в конечной группе G каждая ненормальная в G вторая максимальная подгруппа включается в подгруппу простого индекса, то G F ( G) сверхразрешимая; 2) Если в ненильпотентной конечной группе G каждый максимальный кофактор является нильпотентной или простой группой, то G разрешимая или G — группа Шмидта; 3) Если в конечной группе G для каждой максимальной подгруппы M с условием
Gp делит | M , где Gp е Sylp(G), p е ж (G), существует p—разложимая подгруппа H с |н| = |M|, то или
группа G нильпотентная, или ж(О) = 2 и G / F (G) имеет простой порядок; 4) Если нормализатор си-ловской 2— подгруппы в простой неабелевой конечной группе G имеет индекс равный степени простого числа, то G=A5 .
Ключевые слова: конечная группа, максимальная подгруппа, индекс подгруппы, разрешимая группа.
Все используемые обозначения и определения соответствуют [1]. В статье [2] авторы поставили следующий вопрос: Пусть всякая собственная не максимальная подгруппа конечной группы G содержится в подгруппе простого индекса группы G; верно ли, что G— разрешимая группа? Положительный ответ на этот вопрос получен в [3]. Теорема 1 обобщает результат из [3]. В 1924 году О.Ю. Шмидт [4] доказал разрешимость ненильпотентной группы, в которой все максимальные подгруппы нильпотентны. В дальнейшем такие группы стали называть группами Шмидта. В [5] доказано, что если в группе G все максимальные подгруппы простые или нильпотентные, то G — группа Шмидта. Продолжением этих исследований является теорема 2, дополняющая результаты из [8]. Теорема 3 усиливает теорему 1 из [10]. Теорема 4 продолжает исследования, проведенные в [11-12]. Полученные результаты анонсированы в [14-17].
Буквами p, q, r обозначаются простые числа, а Gp - силовская p — подгруппа группы G, sylp (g)— множество всех силовских p — подгрупп в группе G, Gp' — дополнение к силов-ской p — подгруппе в группе G, т. е. p'— холлова подгруппа группы G . Группу G называют pd — группой, если порядок G делится на p ; p — замкнутой, если Gp нормальна в G ; p—
нильпотентной, если Gp < нормальна в G; p — разложимой, если Gp и Gp < нормальны в G .
Далее использованы следующие обозначения: л—некоторое множество простых чисел; пу— дополнение к л в множестве всех простых чисел, в частности, р' = P \{р}, где P-— множество всех простых чисел; л( g) — множество всех простых делителей порядка группы G ; группа G называется л-—группой если H<G- Н нормальная подгруппа
группы G; Sn — симметрическая группа степени n; A5 — знакопеременная группа на 5 символах; Op (G) — наибольшая нормальная подгруппа в G с индексом равным степени простого числа p; F(G) — подгруппа Фиттинга группы G; в цепи максимальных подгрупп Мп<-Мп_1 <■...<-Мх<• G группы GподгруппаAfn считается п- максимальной; Кегср-ядро
гомоморфизма (р; HG — подгруппа наибольшего порядка в H нормальная в G или ядро H в
О; О=[Л]В- группа О равна полупрямому произведению подгруппы А на подгруппу В, т.е. 0=АВ, АглВ=\ и А<\0; кофактором подгруппы Н группы О называется фактор-группа Н /НО ; если Н - максимальная подгруппа, то кофактор называется максимальным; Л ~ свободной группой называется группа, не имеющая секций изоморфных Л5. Для доказательства
теорем необходимы следующие результаты.
Лемма 1 [5, теорема 1]. Если в ненильпотентной группе О каждая максимальная подгруппа нильпотентная или простая, то О- группа Шмидта.
Лемма 2 [1, лемма 1.9.6]. Пусть N и N2 - нормальные подгруппы группы О. Если фактор-группы О/^ и О/Ы^ разрешимые, то О/(( т N)разрешима.
Лемма 3 [1, теорема 1.8.6 а)]. Пусть N - нормальная подгруппа группы О. Если N и фактор-группа О/Ыразрешимые, то О разрешимая.
Лемма 4 [1, теорема У.7.3]. Группа порядка рп-дтразрешимая для любых простых чисел р, д .
Лемма 5 [1, теорема 1У.7.4]. Если в нильпотентной максимальной подгруппе группы О силовская 2 — подгруппа имеет класс нильпотентности не более 2, то О разрешимая.
Лемма 6 [1, теорема 1.3.8 в)]. Пусть р- гомоморфизм группы О в группу Н. Тогда О/Кегр=р(О)<Н .
Лемма 7 [1, теорема 1.7.8]. Пусть N - нормальная подгруппа группы О и Р- силовская р - подгруппа в N. Тогда О=N - ЫО (Р).
Лемма 8 [6, теорема Х.8.13]. Пусть р > 3, Р- силовская р - подгруппа в группе Оф1 .
Если NО (Р)/ СО (Р) будет р - группой, то Ор (О)>1.
Лемма 9 [1, теорема У.21.1]. Пусть О-транзитивная группа подстановок простой степени р > 2 с циклической силовской р - подгруппой Р . Тогда NО (Р) - группа Фробениуса с ядром Р . Кроме того, если |О| Фр, то коммутант О-простая неабелевая группа с циклической фактор-группой О / О' и О/О'\ делит р-1.
Лемма 10 [1, теорема 1.4.5]. Пусть ^ (Л) и СО (Л)- соответственно нормализатор и централизатор подгруппы Л в группе О. Тогда фактор-группа N3 (Л)/Са (Л) изоморфна подгруппе группы автоморфизмов Л .
Лемма 11 [3, с. 834]. Пусть N - минимальная нормальная подгруппа группы О, р -
наибольший простой делитель |о| и = р. Если N - простая неабелевая группа,
О < Лш(_N) и фактор-группа О/N циклическая порядка, делящего р-1, то в N нет подгрупп индекса р .
Лемма 12 [1, теорема У1.8.6а)]. Если фактор-группа О/Ф(О) сверхразрешимая, то группа О сверхразрешимая.
Лемма 13 [1, теорема Ш.4.2ф]. Пусть Ф(О)- подгруппа Фраттини и Р(О)- подгруппа Фиттинга группы О. Тогда ^(О/Ф(О))=Е(О)/Ф(О).
Лемма 14 [1, теорема 1.3.10с)]. Пусть N - нормальная подгруппа группы О. Если Ы<М<0, то М / N <С/Ыи (С/Щ/(М/Щ=С/М.
Лемма 15 [1, теорема 11.3.9]. Пусть Л и В-максимальные подгруппы разрешимой группы О. Тогда или О=ЛВ и Л, В- подгруппы не сопряженные в О, или ОфЛВ и подгруппы Л, В сопряжены в О .
Лемма 16 [1, лемма 1.2.12с)]. Пусть Л и В- подгруппы группы О. Если Л<С<О и С^ЛВ, то С=СтЛ-В=Л-(СтВ).
Лемма 17 [1, теорема У1.9.5]. Конечная группа О сверхразрешимая тогда и только тогда, когда индекс каждой максимальная подгруппа в О равен простому числу.
Лемма 18. Если в ненильпотентной группе О каждый максимальный кофактор является нильпотентной или простой группой, то группа О непростая.
Доказательство. Пусть О- простая группа. Тогда множество максимальных кофакторов группы О совпадает с множеством максимальных подгрупп в О, то есть в О каждая максимальная подгруппа или нильпотентная или простая. Теперь из леммы 1 следует, что О-группа Шмидта. Лемма 18 доказана.
Лемма 19. Пусть Н- собственная подгруппа фактор-группы О=О/N группы О. Тогда кофактор подгруппы Н в О обладает свойствами, которые имеет кофактор подгруппы Н в О.
Доказательство. Так как Н- собственная подгруппа в О, то N<H и N<НО
Тогда по лемме 14 будет
Н/НО =(Н/N/(НО /N=(Н/Но ). (1)
Поскольку НО = Н = Нё )/ N = Нс / N = Но , то Но = Но .Поэтому
Н/На = Н/На . (2)
Тогда из (1) и (2) следует, что Н / НО = Н / НО . Значит, кофактор подгруппы Н в О
обладает свойствами, которые имеет кофактор подгруппы Н в О. Лемма 19 доказана.
Лемма 20 [1, теорема 1.3.12]. Пусть В - подгруппа и А - нормальная подгруппа группы О. Тогда АслВ < Ви(ВА) / А = В/ (А ^В).
Лемма 21 [7, теорема 2.1.1]. Конечная группа О нильпотентная тогда и только тогда, когда для любого простого числа р е л{О) нормализатор каждой силовской р - подгруппы группы О является р - разложимой подгруппой в группе О.
Лемма 22 [1, теорема 1.7.5в)]. Любые две силовские р - подгруппы группы О сопряжены в О .
Лемма 23 [1, теорема 1.18.1]. Пусть N - нормальная подгруппа группы О и (|N,О/Щ)=1. Тогда существует в О дополнение к N.
Лемма 24 [1, теорема 1.18.2]. Пусть N - нормальная подгруппа группы О и (| N, О / N )=1. Если N или О/ N разрешимая, то все дополнения к N в О сопряжены.
Лемма 25 [1, теорема 1.7.5а)]. Пусть Р- силовская р - подгруппа группы О и Я- подгруппа О порядка степени р. Тогда Я <Рх для некоторого 1 Ф х е О.
Лемма 26 [11, следствие с.369]. Пусть О- конечная простая неабелевая группа и Б -силовская 2- подгруппа в О. Тогда NО (Б) = Б за исключением следующих случаев:
(а) О- группа лиева типа над полем характеристики 2 и NО (Б) - подгруппа Бореля в О, отличная от Б ;
(б) О=Ь2(я),3<4=±3(той8) и N0(Б)^;
(в) 0 = 1^ (д), т > 3, £/ нечетно и (5')=5'хС1 хС2 х- • -хСм, где число ? > 2 находится из 2-адическогоразложения т = 2 1 Ч-----1-2 1 > • • • > ^ >0, а С\,'",(^1-2зС/-1 циклические группы порядков (ц Ч-1)2' ,•••,(</ Ч-1)2', (ц Ч-1)2' / (д + \, т)^ соответственно (здесь
Гт (д) и Ьт (д) обозначают группы Ьт (д) и ит (д) соответственно);
(г) О = PSp2m (д), m > 2, д = ±3(шоё 8) и факторгруппа NО (Б) / Б изоморфна элементарной
абелевой 3-группе порядка 3, где число I находится из 2- адического разложения т = Т!х + >•••>5, >0;
(Д) О=Е± (д),д нечетно и NG (Б) = Б х С, где С - неединичная циклическая группа порядка (¿/+1)2'/ (¿/+1,3) (здесь Е^ (<?) обозначают соответственно группы Л'Г) (с/) н
2Е6(д) ;
(е) О = 2О2(д)или J1 и^(Б)=23.13<Но1 (23);
(ж) О=J2,J3,Suz или НИ и NО (Б = 3.
Лемма 27 [12, теорема 1]. Пусть О-простая неабелевая группа, Н- ее подгруппа и О: Н| = га > 1, где г - простое число. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
а
(1) О = Лп, Н = Лп -1 и п = Г ;
(2) О = Ьп (д), п - нечетное простое число, |О: Н| = (дп -1) / ^ -1) = га и Н- хол-
лова Г - подгруппа в О, равная стабилизатору прямой или гиперплоскости проективного пространства, соответствующего группе О ;
(з) О=Ь2(11\Н=Л5 и Га = 11;
(4) О = и4(2) = РБр4(3),Н = 24 : Л5 и га = 21;
(5) О =М23,Н Ш22 и га= 23 ;
(6) ОШп,НМ и га= 11.
Лемма 28 [1, теорема У1.4.3]. Пусть Л, В- нильпотентные подгруппы группы О. Если О=ЛВ, то О разрешимая.
Лемма 29 [13, лемма 5]. Пусть в группе О нормализатор всякой силовской подгруппы группы О имеет примарный индекс. Если К - нормальная подгруппа группы О, то нормализатор каждой силовской подгруппы группы К тоже имеет примарный индекс. Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Если в конечной группе О каждая ненормальная в О вторая максимальная подгруппа включается в подгруппу простого индекса, то О]¥(О) сверхразрешимая.
Доказательство. Докажем разрешимость группы О. Допустим, что теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка.
Пусть все максимальные подгруппы в группе О нильпотентные. Тогда из леммы 1 следует, что О - группа Шмидта, откуда (О) сверхразрешимая. Значит, в О есть ненильпо-тентные максимальные подгруппы, у которых не все вторые максимальные подгруппы нормальные в О .
Пусть N - минимальная нормальная подгруппа группы О и О/М - фактор-группа по N. Так как О/N наследует условие теоремы, то по индукции О/N разрешимая. По лемме 3 подгруппа Фраттини Ф(О) = 1 и N неразрешимая.
Пусть N1 и N2 различные минимальные нормальные подгруппы в О . Тогда по лемме 2
группа О = О /1 = О /(N2 , откуда О разрешимая. Значит, N - единственная минимальная нормальная подгруппа в О .
Пусть простое число р = тах{р^ еж(0)} и Р=0р , где 0реБу1р(О) .Тогда по лемме 4 будет |^(0)| > 3 . Так как р > 3, то по лемме 5 подгруппа Р не максимальная в О.
Пусть Н = N0 (Р) - не максимальная подгруппа в О. Тогда Н включается в некоторую
максимальную подгруппу Б группы О . Ясно, что Н = ND (Р). Поскольку Н - абнормальная подгруппа в Б, то Н включается в ненормальную максимальную подгруппу группы Б .
Пусть Н - максимальная подгруппа в О и Р включается в максимальную подгруппу из Н, которая нормальная в О. Тогда Р нормальная в О. Противоречие. Так как подгруппа Р не максимальная в О, то Р - собственная подгруппа в Н. Значит, Р включается в максимальную подгруппу группы Н, которая ненормальная в О.
Тогда в О найдется подгруппа А простого индекса t, в которую включается Р . Пусть А,х2А,---,х1А—левые смежные классы по А. Тогда отображение
(А х2А ••• Х А \
хА хх2А ххгА е ^ будет гомоморфизмом группы О в симметрическую группу . Покажем, что Кегф=А0 .
Так как Ап <(}, то ¥уе.4,- и \Zg-eG найдется^ е А(; такой, чтоyg = .Поэтому если
у е Аа, то <р : у ( уА^А^ух.А ) = ( А^уА-^уА ) • Так как У>Ух 6А >т0 и
(А х2А ■■■ х А \ ( А х2А ■ ■ ■ х А\
уА,ух2а1-.\ух1а) = \А,х2А,--,.,х1а)- Значит> ло^кегср. Ясно, что кегср^лп. Поэтому А0 = Кетф и по лемме 6 будет О/ А0 = <р(0) < . Тогда |0/Ао\ делитБ\=й=123-■-1)-г . Так как t<р, то р не делит |0/Ао\, что влечет Р < А?. Значит, группа О непростая и N < Аа
Пусть £ - наибольший простой делитель порядка подгруппы N и Б - силовская £ -подгруппа в N. Тогда по лемме 7 будет О = N • Х0(Б) и N0 (Б) - собственная подгруппа в группе О .
Пусть X =~М0 (Б) - не максимальная подгруппа в О . Тогда X включается в некоторую максимальную подгруппу В группы О . Тогда X<В<0 и без ограничения общности можно считать, что |0:В|=г- простое число. Пусть Ва ф 1 .Тогда N < В и о = n• x <n• в = в, что противоречиво. Значит, В0 = 1 и представление перестановками на левых смежных классах по подгруппе
В будет точным степени г. Тогда группа О изоморфна подгруппе симметрической группы Бг . Последнее возможно, когда г - наибольший простой делитель порядка группы О, т.е.
г = р. Так как О = N •В, то р = |0:| = ^ТУоВ и р делит порядок подгруппы N. Тогда £ = р . Поскольку в симметрической группе Бр силовская р - подгруппа имеет простой порядок р, то Р=S<N. Тогда индекс |0:В| отличен отр, что противоречиво.
Следовательно, подгруппа X максимальная в О. Ясно, что подгруппа К = = (ЫпХ) < X. Если к < Ф(Х), то к нильпотентная, откуда Ск(8) - ^ — группа. То-
гда по лемме 8 в N есть собственная нормальная подгруппа индекса степени £, что невозможно. Значит, К <х Ф(Ж).
Тогда в группе X найдется максимальная подгруппа С такая, что К&С. Так как К<\Х, то (К,С) = К-С = Х. По лемме 7 будет С='М-Х = ЛГ-£-С = ЛГ-С . Если С <С, то
N < С и О = N • С = С . Противоречие. Значит, подгруппа С ненормальная в О. Тогда в О существует подгруппа М такая, что С < М и |0:М| = m - простое число.
Так как G = N •C , то G = N •M, откуда MG = 1. Значит, G = L < Sm и p делит \Sm \ = m!. Поэтому m = p. Так как m2 не делит |Sm |, то |Gm | = m, для любой силовской m — подгруппы
из G . Постольку m = \GM\ = g = ¡M = N^ = ^ = IN:nMl, то S<N и |S|=m. Тогда N — простая группа, которая содержит подгруппу N n M индекса равного простому числу m . Из леммы 9 следует, что X является группой Фробениуса с циклическим m — дополнением, коммутант G' является простой неабелевой группой и фактор-группа G/G' циклическая порядка, делящего (m — 1) . Так как N — минимальная нормальная подгруппа группы G, то N<G . Поскольку G'— простая группа, то N=G'.
Так как N — единственная минимальная неабелевая нормальная подгруппа в G, то CG (N)=1. Тогда G=ng (N)=ng (N)/1=ng (N)/CG (N) и по лемме 10 группа G изоморфно вкладывается в группу автоморфизмов N. Теперь по лемме 11 приходим к противоречию. Значит, подгруппа N разрешимая, что влечет разрешимость группы G.
Так как группа G/N наследует условие теоремы, то по индукции (G / N )/F (G / N)— сверхразрешимая группа. Пусть N=Ф^ ). Тогда по лемме 13 (G / Ф(&))/F (G / 0(G))=(G / 0(G))/(F (G)/<^(G)) и по лемме 14 (G / <&(G))/(F (G)/<^(G))=G/F (G) , откуда G / F (G) сверхразрешимая. Следовательно, ф (G )=1. Значит, G — примитивная группа. Тогда G=[ N ] X для любой максимальной подгруппы X с единичным ядром, откуда N=F (G)—
единственная минимальная нормальная подгруппа в G. Пусть X — нильпотентная группа. Тогда X=G/N и G / N=G / F (G) нильпотентная. Пусть X1 — произвольная ненормальная максимальная подгруппа в X . Тогда в G существует подгруппа T такая, что X1 œT и |G:T|=t — простое число. Пусть TG =1. Тогда по лемме 15 подгруппы X и T сопряжены в G, откуда N = |G:T = t и G — сверхразрешимая группа. Пусть TG ф1 . Тогда NœT и по лемме 16 подгруппа T=GnT=N • X nT=N ( X nT)=NX1. Так как X n N=X1 n N=1, то t=| G:T| =| NX :NX^=| X и по лемме 17 группа X сверхразрешимая. Так как X=G/ N, то G / N=G / F (G) сверхразрешимая. Теорема 1 доказана.
Следствие 1.1. [3, теорема]. Если G — конечная группа, у которой любая собственная не максимальная подгруппа содержится в подгруппе простого индекса, то фактор-группа G/F(G) сверхразрешимая.
Докажем следующее утверждение:
Теорема 2. Если в ненильпотентной конечной группе G каждый максимальный кофактор является нильпотентной или простой группой, то G разрешимая или G — группа Шмидта.
Доказательство проведем индукцией по порядку группы G. Пусть G — простая группа. Тогда по лемме 18 будет G группой Шмидта. Значит, G — непростая группа. Рассмотрим фактор-группу G/N по минимальной нормальной подгруппе N группы G. По лемме 19 факторгруппа G/N наследует условия теоремы и по индукции разрешимая. Тогда по лемме 2 подгруппа N единственная в G, а по лемме 3 подгруппа N неразрешимая. Поэтому Ф(G) = 1 и в G есть максимальные подгруппы с единичным ядром.
Пусть S — максимальная подгруппа в G, SG = 1 и S простая. Тогда G = NS. Так как
Nr^S<S, то Nr^S = l. Тогда по лемме 20 будетО/N = SN/N = S/Sr^N = S/1 = S. Поскольку G/N разрешимая, то S — разрешимая простая группа. Значит, S — простая абелева группа, то есть |S| g P..
Пусть p g tt(N) и P g Sylp (N). По лемме 7 будет G = NNG (P) и NG (P) включается в некоторую максимальную подгруппу A группы G. Тогда G = NA. Если 1 < Ag , то N < Ag и
О = NЛ = Л, что противоречиво. Значит, Ло = 1. Тогда подгруппа Л или простая, или ниль-потентная. Пусть Л - простая группа. Тогда N т Л = 1, откуда но (р) & а . Значит, Л нильпо-тентная, откуда N0 (Р) нильпотентен. Так как Л^ (Р) < NQ (Р) , то NN (Р) - нильпотентная группа. Тогда по лемме 21 будет N нильпотентной группой и по лемме 3 группа О разрешимая. Теорема 2 доказана.
Следствие 2.1[8 с. 247]. Если в группе О каждый максимальный кофактор нильпотентен, то О разрешимая.
Следствие 2.2[9 теорема 1]. Если в группе О каждая ненормальная максимальная подгруппа нильпотентная или простая, то О разрешимая или группа Шмидта. Справедлива
Теорема 3. Если в конечной группе О для каждой максимальной подгруппы М с условием Ор делит |м|, где 0р е $у1р(0),р еж(О), существует р-разложимая подгруппа Н с
Щ = М, то или группа О нильпотентная, или ж(О) = 2 и О / Г (О) имеет простой порядок.
Доказательство. Пусть Р = 0р е Бу1р(0) для произвольного простого числа р е ж (О) и Р ненормальная в О . Тогда N0 (Р) включается в некоторую максимальную подгруппу М группы
0 . По условию теоремы в О существует р - разложимая подгруппа Б такая, что =\М\ .Так
как Бр е Бу1р(0), то по лемме 22 существует 1ф х е О, такой, что Рх = Бр . Тогда х-1 Х-1
Р = Бр < Б . Поэтому без ограничения общности можно считать, что Р = Бр . Тогда Б < ^ (Р) < М, откуда Б =М и ^ (Р) - р -разложимая группа. Значит, для любого р еж(О) будет N(7 (Р) р -разложимой группой. Тогда по лемме 21 группа О нильпотентна.
Пусть Р <0. Тогда по лемме 23 в С существует р' -холлова подгруппа А, а по лемме 24 все р -холловы подгруппы сопряжены в О . Пусть простое число I е ж(Л) и Л( = Т е Бу11 (О). Если N0 (Т) включается в максимальную подгруппу Н группы О, то в О есть I -разложимая подгруппа В с |В| =|Н|.
Без ограничения общности можно считать, что В| =Т . Тогда В<N0 (Т)<Н. Поэтому В=Н и N0 (Т) будет I - разложимой группой. Тогда подгруппа NA (Т)=^ (Т)пЛ будет I - разложимой. Так как простое число I выбиралось произвольно из множества ж(Л), то нормализатор каждой силовской I - подгрупп из Л является I - разложимой группой для любого
1 е ж(Л) . Тогда по лемме 21 подгруппа Л нильпотентная.
Пусть РТ < О. Тогда РТ включается в максимальную подгруппу Ь группы О и в О существует подгруппа Я такая, что |Я|=|Ь| и подгруппа Я будет I -разложимой. Без ограничения общности можно считать, что Я^ = Т . Так как Р единственная силовская р -подгруппа в О, то Р < Я и подгруппа РТ нильпотентная. Тогда Т<(Р, Л = О. Так как I выбиралось из ж(Л) произвольно, то силовские I - подгруппы для любого I е ж(Л) будут нормальными в О . Значит, О нильпотентная.
Пусть РТ = О . Если |т| = I, то Г (О) =Р и все доказано. Пусть |т| Ф I и подгруппа Т1
максимальная в Т . Тогда подгруппа РТ1 будет максимальной в О и существует р - разло-
жимая подгруппа К, такая, что \РТ\=|К| .ТогдаРКг нильпотентная. По лемме 25 будет К максимальной подгруппой в Тх,1фхеО. Так как К <(р,Тх^ = О, то Г(О) = РЩ . Теорема 3 доказана.
Следствие 3.1 [10 теорема 1]. Пусть в конечной группе О для каждой максимальной подгруппы Н существует нильпотентная подгруппа Щтакая, что \н\ = |Н|. Тогда или
группа О нильпотентная, или |^(0)| = 2 и О / Г (О) имеет простой порядок. Справедлива
Теорема 4. Если нормализатор силовской 2- подгруппы в простой неабелевой конечной группе О имеет индекс равный степени простого числа, то О=А5 .
Доказательство. Пусть Б - силовская 2- подгруппа в О и N0 (Б) - нормализатор Б в
О. В лемме 26 рассмотрены все возможные случаи для ^ (Б) в простых неабелевых группах.
По лемме 26 возможен случай, когда ^ (Б) = Б. Тогда по лемме 4 группа О разрешима, что противоречиво. В лемме 27 указаны все простые неабелевы группы, в которых есть подгруппа примарного индекса. Из пункта (б) леммы 26 и пункта (1) леммы 27 следует, что О = А5. По пункту (в) леммы 26 в группе О = Ьп (д), п>3,д нечетно будет ^ (Б) нильпотентной группой. Тогда по пункту (2) леммы 27 группа О = Гп(д) = 0^0(Б), где О е Бу1г(О), г е л(1п(д)). Теперь по лемме 28 О разрешима, что противоречиво. В пунктах (3), (5) леммы 27 подгруппа N0 (Б) изоморфна или простой группе А5 , или простой группе М 22 , что невозможно. В пунктах (4), (6) леммы 27 подгруппа N0 (Б) изоморфна группам, имеющим или простую подгруппу А5 , или
простую подгруппу А6. Но тогда в А5 и А6 силовские 2- подгруппы будут нормальными. Все
случаи рассмотрены. Теорема 4 доказана.
Следствие 4.1. Если в А5 - свободной группе О нормализатор силовской 2-подгруппы
имеет индекс равный степени простого числа, то О разрешимая.
Доказательство. Пусть О- контрпример минимального порядка. По теореме 4 группа О непростая. Пусть N - нормальная подгруппа группы О такая, что <0. Тогда по теореме 4 и лемме 29 подгруппа N удовлетворяет условию теоремы и по индукции разрешимая. Поскольку фактор-группа О/N наследует условие теоремы, то по индукции О/N разрешимая. Теперь по лемме 3 группа О разрешимая. Следствие 4.1. доказано.
Следствие 4.2. Если в группе О нормализатор силовской 2-подгруппы 2-нильпотентен и имеет индекс равный степени простого числа , то О разрешимая.
Доказательство. Так как нормализатор силовской 2- подгруппы в А5 не является
2- разложимым, то по теореме 4 группа О будет А5 - свободной. Тогда по следствию 4.1 будет
О разрешимой. Следствие 4.2 доказано.
Следствие 4.3. Пусть в группе О нормализатор силовской 2-подгруппы 2-нильпотен-тен, имеет циклическое ядро и примарный индекс. Тогда группа О сверхразрешимая.
Доказательство. По следствию 4.2 группа О разрешимая. Так как фактор-группа О/N наследует условия теоремы, то по лемме 12 подгруппа Фраттини ) = 1. Пусть К=Ыо(02).
Так как |0:К|- простое число, то К - максимальная подгруппа в О. Если К0 = 1 , то в О есть
нормальная подгруппа порядка равного |0:К| и О сверхразрешимая. Если 1 < Ка, то К0—
циклическая группа, откуда О сверхразрешимая. Следствие 4.3 доказано.
Список литературы
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York; Springer Verlag, 1967. - 793 s.
2. Berkovich Y., Kazarin L. Indices of elements and normal structure of finite groups // J. Algebra, 283: 3 (2005). - С. 564-583.
3. Монахов В.С., Тютянов В.Н. О конечных группах с некоторыми подгруппами простых индексов // Сибирский математический журнал. - 2007. - №48:4. - С. 833-836.
4. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Математический сборник. - 1924. - №31. - №366-372.
5. Монахов В.С., Тютянов В.Н. О конечных группах с заданными максимальными подгруппами // Сибирский математический журнал. - 2014. - №55:3. - С. 553-561.
6. Huppert B., Blackburn N. Finite groups. III. — Berlin; Heidelberg; New York: SpringerVerlag, 1982. - 454 s.
7. Путилов С.В. К теории конечных групп: Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 63 с.
8. Беркович Я.Г. Конечные группы с большими ядрами максимальных подгрупп // Сибирский математический журнал. - 1968. - №9:2. - С. 243-248.
9. Путилов С.В. О непростых конечных группах // Ученые записки Брянского государственного университета: физико-математические науки. - №2019. - №3. - С. 17-23. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://scim-brgu.ru.
10. Монахов В.С., Тютянов В.Н. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами заданных порядков // Труды института математики и механики. - 2019. - №25:4. -С. 155-163.
11. Кондратьев А. С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах // Математические заметки. - 2005. - №78:3. - С. 368-376.
12. Guralnick R. M. Subgroups of prime index in a simple group // J. Algebra. - 1983. -№81:2. - С. 304-311.
13. Го В. Конечные группы с заданными индексами нормализаторов силовских подгрупп // Сибирский математический журнал. - 1996. - №3:2. - С. 295-300.
14. Путилов С.В. О нормализаторах силовских 2-подгрупп в конечных группах // «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории»: материалы XVIII Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина (Тула, 23 - 26 сентября 2020 г.). - Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2020. - С. 90-91.
15. Путилов С.В. О конечных группах с заданными подгруппами равной мощности // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XIX Международной конференции, посвященной двухсотлетию со дня рождения академика П. Л. Чебышева (г. Тула, 18 - 22 мая 2021 г.) - Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2021. - С. 37-38.
16. Путилов С.В. О конечных группах с нильпотентными или простыми максимальными кофакторами // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XIX Международной конференции, посвященной двухсотлетию со дня рождения академика П. Л. Чебышева (г. Тула, 18 - 22 мая 2021 г.) - Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2021. - С. 39-40.
17. Путилов С.В. О подгруппах конечной группы близких по мощности к самой группе // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XIX Международной конференции, посвященной двухсотлетию со дня рождения академика П. Л. Чебышева (г. Тула, 18 - 22
мая 2021 г.) - Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2021. - С. 43-44.
Сведения об авторе
Путилов Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: algebra.bgu@yandex.ru.
FINITE GROUPS WITH GIVEN SUBGROUPS S.V. Putilov
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
Only finite groups are considered. The following theorems are proved: 1) If in a finite group G every not normal in G the second maximal subgroup is included in a subgroup of a simple index, then G/F(G) it is supersolvable; 2) If in a not nilpotent finite group G every maximal cofactor is a nilpotent or simple group, then G a solvable or Schmidt group; 3) If in a finite group G for each maximal subgroupM with the condition
|Gp| divides |m| , where Gp e Sylp(G),p en(G) , there exists a p—decomposable subgroupH with
|я| = M|, then either the group G is nilpotent, or 7l(G) = 2 and G / F(G) has a simple order; 4) If the normal-
izer of a Sylow 2— subgroup in a simple not аbelian finite group has a index equal to the power of a prime number, then G=A5
Keywords: finite group, maximal subgroup, subgroup index, solvable group.
References
1. Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York; Springer Verlag, 1967.
-793 s.
2. Berkovich Y., Kazarin L. Indices of elements and normal structure of finite groups // J. Algebra. - 2005. - №283:3. - Р. 564-583.
3. Monakhov V.S., Tyutyanov V. N. On finite groups with some subgroups of simple indices // Siberian Mathematical Journal. - 2007. - №48:4. - Р. 833-836.
4. Schmidt O.Y. Groups, all subgroups of which are special // Mathematical collection. -1924. - №31. - Р. 366-372.
5. Monakhov V.S., Tyutyanov V. N. On finite groups with given maximal subgroups // Siberian Mathematical Journal. - 2014. - №55:3. - Р. 553-561.
6. Huppert B., Blackburn N. Finite groups. III. — Berlin; Heidelberg; New York: SpringerVerlag, 1982. - 454 s.
7. Putilov S.V. On the theory of finite groups: Bryansk: Group of companies «Desya-tochka», 2009. - 63 p.
8. Berkovich Ya.G. Finite groups with large kernels of maximal subgroups // Siberian Mathematical Journal. - 1968. - №9:2. - Р. 243-248.
9. Putilov S.V. On uneasy finite groups // Scientific Notes of Bryansk State University: Physical and Mathematical Sciences. - 2019. - №3. - Р. 17-23 [Electronic resource]. - Access mode: http://scim-brgu.ru.
10. Monakhov V.S., Tyutyanov V. N. Finite groups with supersolvable subgroups of given orders // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. - 2019. - №25:4. - Р. 155-163.
11. Kondratiev A.S. Normalizers of Silovsky 2-subgroups in finite simple groups // Mathematical notes. - 2005. - №78:3. - Р. 368-376.
12. Guralnick R.M. Subgroups of prime index in a simple group // J. Algebra. - 1983. -Р.81:2. - Р. 304-311.
13. Go V. Finite groups with given indices of normalizers of Silov subgroups // Siberian Mathematical Journal. - 1996. - №3:2. - P. 295-300.
14. Putilov S.V. On the normalizers of Silovsky 2-subgroups in finite groups // «Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems, applications and problems of history»: proceedings of the XVIII International Conference dedicated to the centenary of the birth of Professors B. M. Bredikhin, V. I. Nechaev and S. B. Stechkin (Tula, 23 - September 26, 2020). / Tula: Tolstoy Tula State Pedagogical University, 2020. - P. 90-91.
15. Putilov S.V. On finite groups with given subgroups of equal cardinality // Algebra, number theory, discrete geometry and multiscale modeling: Modern problems, applications and problems of history. Materials of the XIX International Conference dedicated to the bicentenary of the birth of Academician P. L. Chebyshev (Tula, May 18-22, 2021) - Tula: Tolstoy Tula State Pedagogical University, 2021. - P. 37-38.
16. Putilov S.V. On finite groups with nilpotent or simple maximal cofactors / Algebra, number theory, discrete geometry and multiscale modeling: Modern problems, applications and problems of history. Materials of the XIX International Conference dedicated to the bicentenary of the birth of Academician P. L. Chebyshev (Tula, May 18-22, 2021) - Tula: Tolstoy Tula State Pedagogical University, 2021. - P. 39-40.
17. Putilov S.V. On subgroups of a finite group close in cardinality to the group itself / Algebra, number theory, discrete geometry and multiscale modeling: modern problems, applications and problems of history. Materials of the XIX International Conference dedicated to the bicentenary of the birth of Academician P. L. Chebyshev (Tula, May 18-22, 2021) - Tula: Tolstoy Tula State Pedagogical University, 2021. - P. 43-44.
About author
Putilov S.V. - Ph. D. in Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: algebra.bgu@yandex.ru.
