О нильпотентных алгебрах Лейбница Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.572

О НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ ЛЕЙБНИЦА О.И. Череватенко

Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова,

пл. 100-летия рождения В.И. Ленина, 4, Ульяновск, 432700, Россия, e-mail: chai@pisem.net

Аннотация. В работе приведены эквивалентные условия нильпотентности многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Показано, что существует только два почти нильпотентных многообразия алгебр Лейбница.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, многообразие алгебр, нильпотентные алгебры.

Характеристика основного поля K предполагается равной нулю.

Алгебра Лейбница над полем K — неассоциативная алгебра, которая определяется тождеством Лейбница

xyz = xzy + x(yz) ,

которое превращает правое умножение в дифференцирование этой алгебры. При этом заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество x2 = 0, то она является алгеброй Ли. Таким образом, любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

Заметим, что из тождества Лейбница следует тождество x(yy) = 0.

Пусть V — многообразие алгебр Лейбница (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографии [1]). Обозначим через K(X, V) относительно свободную алгебру данного многообразия, где X = |xi,x2,...} — счетное множество свободных образующих. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn(V), n = 1, 2,..., где Pn(V) это линейное подпространство в пространстве K (X, V), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1,...,xn. Асимптотическое поведение последовательности cn(V) = dim Pn(V), n = 1, 2,..., определяет рост многообразия V.

Договоримся в элементах опускать скобки при их левонормированной расстановке,

то есть (((xii x%2 )xi3 ) • • • xin ) xil xi2 ' ' ' xin *

Также будем использовать стандартное сокращение xyk для обозначения левонор-мированного произведения xy ... y, в котором y встречается k раз.

В работе [2] Е.И. Зельманов доказал, что любая энгелева алгебра Ли является ниль-потентной. В работе [3] Ю.Ю. Фролова обобщила данный результат на случай алгебр Лейбница:

Теорема 1 ( [3]). Если характеристика основного поля равна нулю, то энгелева алгебра Лейбница является нильпотентной.

Обозначим через А2 метабелево многообразие алгебр Ли, которое определяется тождеством

(Ж1Ж2ХЖ3Ж4) = 0.

Приведем хорошо известные факты касательно многообразия А2.

Предложение 1. Для многообразия А2 верны следующие утверждения. (г) Базис полилинейной компоненты РП(А2) состоит из элементов вида

хпх гх 1...хг...хп_1, г — 1,1,

где знак ^ над элементом означает, что этот элемент опущен, причем для любого натурального п > 2 верно равенство сп(А2) — п — 1.

(гг) Многообразие А2 является почти нильпотентным.

(ггг) Произвольное многообразие алгебр Ли V является нильпотентным тогда и только тогда, когда А2 ^ V.

Обозначим через В многообразие алгебр Лейбница, которое определяется тождеством

х(ух) = 0.

Сформулируем также хорошо известные факты о многообразии В.

Предложение 2. Для многообразия В верны следующие утверждения. (г) Базис полилинейной компоненты Рп(В) состоит из элементов вида

х^х 1......Хп, г 1, п ,

причем для любого натурального п выполнено равенство сп(В) — п. (гг) Многообразие В является почти нильпотентным.

В работе [4] показано, что произвольное многообразие алгебр Лейбница V нильпо-тентно тогда и только тогда, когда многообразие V разрешимо и выполнено условие В, А2 ^ V. В данной работе мы усилим это утверждение, а именно, откажемся от условия разрешимости.

Обозначим через У оператор правого умножения на элемент уг : хУг — ху1, х(УгУ^) — (хуг)у^.

Лемма 1. Пусть в многообразии алгебр Лейбница V для некоторого натурального п выполнено тождество

хх/ (У1,У2,...,Уп) = 0 (40)

где / — многочлен от внутренних дифференцирований. Тогда для любого т > 0 в V будет выполнено тождество

ххг1г2...гт/(У1,У2,...,Уп) = 0 . (41)

□ Доказательство проведем методом математической индукции. Пусть т = 1. Из тождества (40) следует, что

ху/(У1,У2,...,Уга)+ ух/(У1,У2,...,Уга) = 0.

Заменим х ^ (хх), а у ^ г1, тогда получим:

хх^ /(УЬУ2,...,^)+ ^(хх)/(У1,У2,...,^„) = 0 .

Второе слагаемое суммы является тождеством в любой алгебре Лейбница, поэтому база индукции проверена.

Предположим, что в V для некоторого к выполнено тождество

хх^1 ¿2...^/(У1,У2,...,^га) = 0 .

тогда следствием данного тождества будет

ху^!^...^/(Уь У2,..., Уп) + ухг^...^/(Уь У2,..., Уп) = 0 .

Опять же заменим х ^ (хх), а у ^ ¿0, тогда получим:

хх^ог^...^/(УъУ>, ...,УП) + ^(хх)^^...^/(У1,У2, ..., Уп) = 0.

При этом второе слагаемое суммы является тождеством в алгебрах Лейбница. I

Лемма 2. Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница и пусть В £ V. Тогда для некоторого числа п в V выполнено тождество ххуп = 0.

□ Так как В £ V, то, учитывая предложение 2, для некоторого п в V выполнено тождество

п

У^ ^¿хь..;^...хп + ^ ...А%(В.,-Ск)... = 0, (42)

¿=1

где не все а% равны нулю, при этом второе слагаемое является следствием определяющего многообразие В тождества х(уг) = 0, и , В^, Ск — некоторые непустые слова свободной алгебры Лейбница. Пусть а% = 0. Заменим

х% ^ (хх) , х 1, х2, ..., х%, ..., хп ^ у.

При такой подстановке, с учетом тождества х(уу) = 0, которое выполняется в любой алгебре Лейбница, из тождества (42) будет следовать тождество а%(хх)уп-1 = 0. Таким образом, получаем, что в многообразии V выполнено тождество ххуп = 0. I

Теорема 2. Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: (I) многообразие V нильпотентно; (и) В, А2 £ V.

□ Импликация (г) (гг) следует из предложений 1 и 2.

Пусть выполнено условие (гг). Так как В ^ V, то в многообразии V для любого т > 0 выполнено тождество ххг\г2...гтуп = 0 (леммы 1 и 2).

Так как А2 ^ V, то, учитывая предложение 1, для некоторого т в V выполнено тождество

т— 1

У] а ХтХгХ\...%г...Хт—\ + ^...(Аг Ву )(Ск Вд )...+ (43)

г=1

+ ^(...(ЕЕ)... + ...(ЕгЕ3)...) = 0,

где не все аг равны нулю, при этом второе слагаемое является следствием определяющего многообразие А2 тождества (х\х2)(х3х4) = 0, а третье слагаемое является следствием тождества х2 = 0, и Аг, Ву ,Ск, Вд, Е3, Е¿— некоторые непустые слова свободной алгебры Лейбница.

Следствием тождества (43) является тождество

т— 1

а хтхгх1...Хг...хт—1уП + ^-(Аг Ву )(Ск Вд )...уП+ (44)

г=1

+ ^2(...(ЕаЕ)... + .:(ЕгЕа)...) уп = 0, где число п берется из леммы 2. Пусть аг = 0. Заменим

хг ^ х, х 1, х 2,..., хг,..., х ^^ ^ %.

После такой подстановки, с учетом тождеств х(уу) = 0 и ххг\г2...гтуп = 0, из тождества (44) будет следовать тождество гхгт—2уп = 0. Таким образом, получаем, что в многообразии V выполнено тождество ху1 = 0 для некоторого Ь. Поэтому, с учетом теоремы 1, из условия (гг) следует (г). Теорема доказана.

Приведенная выше теорема позволяет получить следующее

Следствие. В случае нулевой характеристики основного поля существуют только два почти нильпотентных многообразия: В и А2.

Литература

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли /М.: Наука, 1985.

2. Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли // Сиб. матем. журнал. - 1988. - 29;5. -С.112-117.

3. Фролова Ю.Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница // Вестник Московского университетата. Серия 1, Математика. Механика. - 2011. - №3. - С.63-65.

4. Череватенко О.И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - Ульяновск. УлГУ, 2008.

ON NILPOTENT LEIBNITZ ALGEBRAS

O.I. Cherevatenko

Ulyanovsk State I.N.Ulyanov Pedagogical University, 100th rozhdeniya V.I. Lenina pl., 4, Ulyanovsk, 432700, Russia, e-mail: chai@pisem.net

Abstract. Equivalent conditions of nilpotent property of Leibniz algebras manifolds over the field with zero characteristics are proposed. It is shown also that there are only two almost nilpotent manifolds of Leibniz's algebras.

Key words: Leibniz algebras, manifold of algebras, nilpotent algebras.