О некоторых многообразиях алгебр Лейбница Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.572

О НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЯХ АЛГЕБР

ЛЕЙБНИЦА1

© 2011 Т.В. Скорая, Ю.Ю. Фролова2

В работе представлены два новых результата, касающиеся многообразий алгебр Лейбница. В случае простой характеристики р основного поля построен пример ненильпотентного многообразия алгебр Лейбница с условием энгелевости порядка р. В случае поля нулевой характеристики построено конкретное разложение пространства полилинейных элементов относительно свободной алгебры в прямую сумму неприводимых модулей симметрической группы многообразия левонильпотентных алгебр Лейбница ступени три.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, энгелевость, многообразие алгебр, диаграммы Юнга.

1. Предварительные сведения

Напомним, что алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество:

(ху)г = (хг)у + х(уг). (1)

Согласно этому тождеству, умножение справа на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности ху = -ух тождество (1) эквивалентно тождеству Якоби: х(уг)+у(гх) + + г(ху) = 0. Поэтому если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0, то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно. Отметим, что, вероятно, впервые этот класс алгебр был введен в работе [1] в качестве обобщения понятия алгебры Ли.

Преобразуем тождество (1) следующим образом: х(уг) = (ху)г — (хг)у. Последнее тождество позволяет любой элемент алгебры Лейбница представить в виде линейной комбинации элементов, в которых скобки расставлены слева направо. Поэтому договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть (((ххх2)хз) ...хп) = х^х^х^ ...хп. Для удобства записи произведений обозначим оператор умножения справа, например, на элемент г заглавной буквой Z, считая, что хг = xZ. В частности, в наших обозначениях получаем равенство хуу...у = хУт.

т

хРабота частично поддержана грантом РФФИ 10-01-00209-а.

2Скорая Татьяна Владимировна ([email protected]), Фролова Юлия Юрьевна ([email protected]), кафедра алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, 432700, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42.

Совокупность всех алгебр, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений, называется многообразием линейных алгебр.

Предположим, что поле К имеет характеристику ноль. В этом случае вся информация о многообразии содержится в полилинейных элементах его относительно свободной алгебры счетного ранга. Обозначим через Г(X, V) относительно свободную алгебру многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {х1,х2,...} и через Рп = Рп(V) совокупность всех полилинейных элементов от Х1 ,Х2,...,хп в пространстве Г (X, V). Отметим, что для удобства изложения в дальнейшем мы будем обозначать образующие относительно свободной алгебры и другими символами. Пусть а — элемент симметрической группы Бп. Будем полагать, что в результате действия слева перестановки а на элемент х^1 х^2 .. пространства Рп мы получаем элемент ха(^1)ха(^2) ...ха(^п). Таким образом задается действие симметрической группы Бп на пространство Рп, вследствие чего Рп становится модулем над групповым кольцом КБп. Структура Рп как КБп-модуля играет важную роль и активно изучается для различных многообразий.

Напомним, что стандартный полином степени п имеет вид:

5Чп(х!, х2,..., хп) = ^ (-1)9хд(1)хд(2) ... хч(п),

где суммирование ведется по элементам симметрической группы, а ( — 1)9 равно +1 или —1 в зависимости от четности перестановки д. Договоримся, что переменные, входящие в стандартный полином, будем обозначать специальными символами сверху (чертой, волной и так далее). Например, стандартный полином степени п от переменных х1 , х2 , . . . , хп будем записывать следующим образом: БЬп = хх .. .хп. Понятно, что стандартный полином является кососимметриче-ским. Переменные, входящие в разные кососимметрические наборы, будем обозначать разными символами, например:

XI ( —1)9 ( — 1)Рхч(1)хч(2) . . .xq(n)Уp(1)Уp(2) . . . Ур(т) = х1 х2 . . .хп У1У2 . . .ут.

чеВп,рЕБт

Отметим, что если элемент содержит одни и те же переменные, входящие в разные кососимметрические наборы, то его знак уже зависит от четности перестановок неявным образом, поэтому переменные в этом элементе будем называть альтернированными. Например, элемент х1... хпх1... хт содержит два альтернированных набора переменных. Так как знак каждого слагаемого в стандартном полиноме зависит от четности перестановки, то во введенных обозначениях имеет место равенство: х^) .. .х^к)х^к+1) .. .хН(п) = —х^1) .. .х^к+1) х^к) .. .х^п). Согласно тождеству (1), можно записать: х^х^хзх^ = х1х2х4хз + х1х2(хзх4). Непосредственным образом получаем: х1х2хзх4 = ^х1х2 (хзх4) и в более общем случае: х{х2 ...х2п+1 = х1(х2хз)... (х2пх2п+1). Другими словами, начиная со второго места, переменные одного кососимметрического набора, стоящие рядом, мы можем объединять в скобки, умножая элемент на 1 для каждой пары.

Поскольку мы рассматриваем случай нулевой характеристики основного поля, то всякое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, которая получается при помощи стандартного метода линеаризации [2]. Приведем пример этого процесса для тождества

хо (ху)(ху) = 0.

После линеаризации по переменной х получаем:

хо(х1у)(х2у) + хо(х2у)(х1у) = 0.

Полная линеаризация выглядит следующим образом:

хо(х1ух)(х2 у2) + хо(х1у2)(х2у1) + хо(х2 у1 )(х1у2) + хо(х2у2)(х1ух) = 0.

Договоримся линеаризацию элемента ] обозначать Ни].

Напомним, что алгебра Ли называется энгелевой порядка т, если она удовлетворяет тождеству хУт = 0. Если же в алгебре А выполняется тождество х1х2 ...хс+1 = 0, но не выполняется тождество х^2 ...хс = 0, то А называется нильпотентной алгеброй ступени нильпотентности с. Сохраним эти определения на случай алгебр Лейбница.

2. Пример ненильпотентного многообразия алгебр Лейбница с условием энгелевости

В случае нулевой характеристики поля Е.И. Зельманов в работе [3] доказал, что энгелева алгебра Ли нильпотентна. Используя этот результат, в работе [4] вторым автором доказано, что в случае нулевой характеристики основного поля многообразие энгелевых алгебр Лейбница является нильпотентным. Для случая ненулевой характеристики р основного поля П.М. Кон в работе [5] построил пример ненильпотентной алгебры Ли в которой выполнены тождества (ху)(гЬ) = 0 и ■хУР+1 = 0. Таким образом, в этом случае многообразие алгебр Ли с условием энгелевости порядка р +1 является ненильпотентным.

Следуя идеям указанной статьи, построим ненильпотентную энгелеву алгебру Лейбница, в которой выполняется тождество энгелевости хУр = 0.

Теорема. Пусть К — поле простой характеристики р. Многообразие и алгебр Лейбница над полем К, удовлетворяющих тождествам хУр = 0 и х(уг) = 0, ненильпотентно.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно построить нениль-потентную алгебру Лейбница, принадлежащую многообразию И.

Пусть Ш - векторное пространство над полем К, базисом которого является множество {еу | ] € Кгде Км - множество всех функций натурального аргумента со значениями в К. Определим на пространстве Ш операцию умножения, считая, что алгебра Ш является абелевой алгеброй Ли, то есть ед ef2 = 0. Для любого натурального т обозначим 6т эндоморфизм векторного пространства Ш, который на базисном элементе ef принимает значение еу, где

](.) = ( ](г), если г = т, ] ' у ](г) + 1, если г = т.

Легко проверить, что 5т5п = 5п5т и 5т = е, где е - тождественный эндоморфизм векторного пространства Ш. Положим х^ = 5^ — е, г = 1,2,..., тогда х^ху = (¿1 — е)(5у — е) = 5^5у — 5^ — 5у + е = 5у 5^ — 5у — 5^ + е = (5у — е)(5^ — е) = ху х^.

Относительно операции коммутирования Ь = (х^г € - К-оболочка множества {х^1 г € М} является абелевой алгеброй Ли, а Ш - правым Ь-модулем.

Необходимая алгебра Лейбница является прямой суммой векторных пространств Ш и Ь, в котором умножение задается правилом:

(ш1 + Ь)(Ю2 + ¡2) = ^1^2,

где Ш1,Ш2 € Ш, 11,12 € Ь, а ^¡2 - результат применения ¡2 к элементу ш1, принадлежащему векторному пространству Ш. Обозначим полученную алгебру М.

В алгебре М выполняется тождество х(уг) = 0. На самом деле, подставив в проверяемое тождество элементы + ¡^ € М, г = 1, 2, 3, получим

(■IV! + ¡1)((Ы2 + ¡2 )(Ы3 + ¡3)) = V1 + к)(ы21з) = 0.

Для любых элементов Ь, у алгебры М справедливо тождество энгелевости ЬУР = 0. Действительно, хорошо известно, что биномиальный коэффициент

^ т ^ = т\(р-т)! делится на р. Поэтому для всех г € М, / € Км по формуле бинома Ньютона получим efХр = ef 5 — е)(5^ — е)...(5^ — е) = ef —

р р

—ef ее^е = 0. Последнее равенство следует из того, что ef ..5^ = ef. Заметим, р р

что результат верен в случае р = 2, так как efхх^ = ef5^5^ + ef5^5^ = ef5^5^ — — ef5^5^ = 0. То есть efХр = 0, для любого натурального г и любой функции ]. Пусть у = а ааха + f вf ef - произвольный элемент алгебры М, тогда ЬУр =

= ь(Еа а8х8)р = ар X = 0.

Проверим теперь, что М не является нильпотентной алгеброй Лейбница. Обозначим через , где {31,32,..., 3а} - строго возрастающий набор натуральных чисел, функцию натурального аргумента, принимающую значение 1 в точках 31,32, ...,3а и значение 0 в остальных точках, а через /о обозначим функцию, принимающую нулевое значение во всех точках. Докажем методом математической индукции по числу сомножителей следующую формулу:

т

х1х2 ...хт = Т.( — 1)к Т. 531532 ...53т-к, (2)

к = 0 {31,32,---,3т-к}т

где {31,32, ...,3т-к}т — строго упорядоченное по возрастанию подмножество множества {1, 2, ...,т}. Для т = 1 получим ef0х1 = ef051 — ef0 = ef1 — ef0, и формула (2) верна. Предположим, что доказываемое равенство верно для т — 1, то есть

т— 1

х1 х2 ...хт—1 =^( — 1)к X efo 531 532 ...53т-1-к ,

к = 0 {31,32,-.,3т-1-к }т-1

докажем, что тогда выполнено и равенство (2). Умножив обе части последнего равенства на хт, получим

(т—1

12( — 1)к X ef0 531 532 ...53т-1-

к = 0 {31,32,---,3т-1-к}т-1

= {е^о 5152...5т—1 — X 531 532 ...53т-2 +

\ {31,32,---,3т-2}т-1

+ X efо531532 ...5^-3 + ... + ( — 1Г-^ I (5т — е) =

{31,32,--,3т-з}т-1 /

= efо 5152 ...5т— 15т — X efо 531 532 .~53т-2 5т +

{31,32,---,3т-2}т-1

+ X efо 531 532 ...53т-з 5т + ... + ( — 1)m—1efо 5т — efо 5152...5т—1 +

{31,32,---,3т-'л}т-1

+ 53 еЛ 531 532 ...5Ут-2 — 5У1 5У2 ...5Ут-3 + ^ + ( — 1)ГПеУ0 .

Заметим, что при в ^ т — 1

52 еу 5л 5у ...5у°-15т + 52 его 5л 5у2 ..у =

{31,32,---,3в-1}т-1 {31,32,...,3э}т-1

= 52 еУо 5У1 532 -53. .

{31,32,---,3в}т

После группировки слагаемых получим еуох1х2...хт = еуо5152...5т-15т — (53 еуо5у15у2 ...5ут-25т + еуо5152...5т-1 I +

+ I X) еЛ 531 532 ...53т-3 5т +53 еУо 531 532 ...53т-2 I + ...

\{31,32,---,ут-з}т-1 {31,32,...,3т-2}т-1 )

(т-1 \

( — 1)т-1еуо5т + ( — 1)т-1 52 еуо531 I + ЫГе^ = т

= 52( — 1)к 52 еуо531532 ...5т-к

к = 0 {31,32,---,3т-к}

Таким образом, формула (2) верна для любого натурального т. Из равенства еуо5^15^2 ...5ут-к = еу.1 > и формулы (2) получаем, что

т

еЛ х1х2 ...хт = ^ ( — 1)к е1п . >2 1т-к .

к = 0 {31,32 ,...,3т-к }т

Таким образом, элемент еуох1х2...хт равен линейной комбинации различных базисных элементов с коэффициентами 1 или -1, поэтому отличен от нуля для любого натурального т. Теорема полностью доказана.

Замечание. Если М — алгебра Ли, принадлежащая многообразию И, то тогда из тождества антикоммутативности и тождества х(уг) = 0 следует тождество угх = 0, и алгебра М нильпотентна.

3. О строении полилинейной части многообразия левонильпотентных алгебр Лейбница ступени три

В данном разделе статьи рассматривается многообразие всех алгебр Лейбница, удовлетворяющих тождественному соотношению

х(у(г1)) = 0. (3)

Вероятно, впервые это многообразие было рассмотрено в работе [6], в которой оно получило обозначение зN. Сохраним это обозначение и в этой статье. В работе [7] были доказаны следующие теоремы:

Теорема. 1. Совокупность элементов вида

@(г,г1,...,гт,]1 = xi(xil х 31 )(хг2 х32 )".(хгт х3т )хк1 ."хкп-2т-1 ,

{31,32,...,3т-2}т-1

где г8 < , в = 1, ...,т, ;ч < %2 < ... < гт, к1 < к2 < ... < кп-2т-1, образуют базис пространства Рп(з^.

2. Коразмерность вербального идеала многообразия зN определяется равенством сп(з^ = и ■ гиу(и — 1), где гиу(т) - число инволюций (элементов порядка два) симметрической группы Бт.

Теорема. Для многообразия зN кратности т\ в разложении

52тхХх = X3N

ХЬп

равны числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Л Ь и.

Теорема. Для кодлины многообразия з N выполняются следующие неравенства

р(и) < ¡п(з^ <\[ьи> ■ р(и),

где р(и) — количество разбиений числа и.

Отметим, что многообразие зN по своим свойствам похоже на многообразие алгебр Ли А^, подробно изученное в работах [8-12].

Приведем пример алгебры Лейбница, лежащей в многообразии з^ Пусть Т8 = = К\р1,..., — кольцо многочленов от переменных Ь1,...,18. Рассмотрим алгебру Гейзенберга Н8 с базисом {01,..., а8,Ь1,... ,Ь8, с} и умножением 00,^3 = —Ь3 аi = = 5.13 с, где 5.13 — символ Кронекера, произведение остальных базисных элементов равно нулю. Легко проверить, что алгебра Н8 является нильпотентной ступени два алгеброй Ли. Превратим кольцо многочленов Т3 в правый модуль алгебры Ня, в котором базисные элементы алгебры Н8 действуют справа на полином ] из Т8 следующим образом:

fai = = и]]с = ],

где ][ — частная производная полинома ] по переменной 1.1. Нетрудно доказать, что прямая сумма векторных пространств Н8 и Т8 с умножением по правилу:

(х + ] )(у + д) = ху + ]у, (4)

где х,у из Ня; ],д из Т3 является алгеброй Лейбница. Обозначим ее символом Ня. Полученная алгебра Ня принадлежит многообразию зN при любом в. Проверим, что тождество (3) выполняется в Ня:

(х1 + ]1)((х2 + ]2)((хз + ]з)(х4 + ]л))) = х1(х2(хзх4)) + ]1(х2(хзх4)) = 0.

Это равенство верно, так как алгебра Н8 нильпотентна ступени два.

Определим общий вид элементов алгебры Ня, отличных от нуля. Так как алгебра Гейзенберга Н3 нильпотентна ступени два, то произведение трех любых ее элементов равно нулю. Следовательно, в алгебре Нв все элементы степени 3 и выше должны содержать, по крайней мере, один полином из кольца Тя. Из формулы (4) следует, что элементы вида х], где х € Н8, ] € Т8, равны нулю. Кроме того, если произведение в элементе алгебры Ня содержит два сомножителя из Тя, то он также равен нулю согласно определению алгебры Ня. Следовательно, все ненулевые произведения алгебры Нв с числом сомножителей больше двух должны содержать ровно один полином на первом месте. Если элемент алгебры Ня содержит полином вне первого кососимметрического набора, то он представим в виде суммы слагаемых, каждое из которых не содержит указанный полином на первом месте, и поэтому равно нулю. Следовательно, ненулевые элементы алгебры Ня содержат полином ] в первом кососимметрическом наборе.

Как уже упоминалось ранее, пространство полилинейных компонент степени п некоторого многообразия алгебр Лейбница разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей, соответствующих всевозможным диаграммам Юнга, содержащим п клеток; причем два модуля изоморфны тогда и только тогда, когда они отвечают одной и той же диаграмме. В работе [7] доказано, что число изоморфных слагаемых в указанной сумме для пространства Рп(зN равно числу угловых клеток соответствующей диаграммы Юнга.

Пусть задана диаграмма Юнга с п клетками, содержащая к угловых клеток,

то есть отвечающая разбиению А = (п^

'), где П1 > П2 > ... > пк > 0

и п1'т1 + п2т2 + ... + пктк = п, то есть диаграмма вида:

п1

п2

пк

т1

т2

тк

Рассмотрим частный случай диаграммы такого вида. Пусть п (6, 6,4,4,1). Тогда соответствующая диаграмма Юнга имеет вид:

21 и А

п

2

к

По этой диаграмме построим следующие элементы:

д1 = х1х2хзх4х5х1х2хзх4х1х2хзх4х1х2хзх4Х1Х2Х1х2, 92 = х1х2хзх4х1х2хзх4х5х1х2хзх4х1х2хзх4Х1Х2х1Х2, дз = хх Х1Х2 хз Х4 х,5 Х1Х2 хз х4х{х2хзх4 Х1Х2 хз Х4 Х1Х2.

Используя обозначения, введенные для операторов в первом пункте статьи, договоримся стандартный полином от операторов Х1, Х2, . . . , Хт обозначать через БЬт = БЬт(Х1,..., Хт) = Хр(1) ...Хр(п). Отметим, что стандартные полиномы, выражающие разные альтернированные наборы переменных, мы будем записывать, используя разные верхние символы. В этих обозначениях также имеет место обобщение на случай степени стандартного полинома от операторов. Тогда

элементы д1 , д2 и дз можно записать следующим образом:

_____

91 = х1х 2хзх4х$8Ь4БЬ2,

92 = х\х2хзх4БЬ5Б'1,4БЬ^, дз = х1х2Б15Б1зБ12.

Вернемся к общему случаю. Пусть, как и прежде, диаграмма Юнга отвечает разбиению А = (пт1, щ12,..., птк), где п1 > п2 > ... > пк > 0 и п1т1 + п2 т2 + + ... + пк тк = п. Тогда ей соответствуют элементы следующего вида:

___ ~Пк — 1---Пк-1—Пк =П3—П2~п2—п1

91 = (х 1х2...х ак )Бьак Бьйк-1 ...Бьй2 Бьй1 ,

____~пк---Пк-1—Пк — 1 =Пз—П2~П2—П1

92 = (х 1х 2 ... х йк-1 )Бгак Бьйк-1 ...Бьй2 Бьй1 ,

___ ~пк---пк-1-пк =пз-п2~п2 п1 1

дк = (х1х2 ...хвц )ЪЧЛк ЬЧЛк-1 ...ЪЧа2 54^ ,

где ¿у =^1=1 mi, з = 1, ..., к.

Известно (см. [13, гл. 2.4, с. 54]), что линеаризация любого элемента дт, где т = 1,... ,к, порождает неприводимый К5п-модуль, соответствующий зафиксированному разбиению Л. Обозначим через Wm(X) модуль, порождаемый элементом

дт.

Теорема. Для любого натурального числа и ^ 1 имеет место равенство

к(Л)

Рп = 00 Wr (Л). (5)

ЛЬп г=1

Доказательство. В работе [14] доказано, что число изоморфных неприводимых подмодулей в формуле (5) равно максимальному числу линейно независимых элементов вида д^ г = 1,...,к, порождающих эти подмодули. Поэтому для доказательства теоремы достаточно доказать линейную независимость элементов д1,...,дк. Предположим обратное. Пусть существует линейная зависимость

ад + а2д2 + ... + а.кди = 0, (6)

где хотя бы один из оц., г = 1, ..., к отличен от нуля. Предположим, что I — наименьший номер, такой, что а1 =0 и ад = 0, если д < I. Пусть теперь ¿у = 2ру + £у, где £у = 1, если ¿у нечетно, и £у = 0, если ¿у четно. Осуществим подстановку вместо переменных элементов д1,... ,дк элементов из алгебры Ня следующим образом: если £у = 1, то х^ = ап+1 (з = к), хак = ] + аРк+1; если £у = 0, то ха^ = ЬРл (з = к), хак = ] + ЬРк. Элементы, получаемые в результате подстановки из д1,... ,дк, обозначим через V,... ,Ук соответственно. Тогда элементы ^+1,... ,Ук будут равны нулю по определению алгебры Ня, так как из их строения видно, что они не содержат многочлен ] на первом месте слева. Рассмотрим теперь следующий частный вид элемента:

д1 = х1х2 хзх4х5х^х1х2хзх4х5хбх1х2хзх4х1х2хз. После подстановки вместо переменных этого набора мы получим элемент:

VI = афа^аз] + Ьза^О^аз] + ЬзХфд^Хфа = = ( —1)5 ]а1Ь1а2Ь2аза1Ь 1а2Ь2азЬз'Х1Ь1'Х2Ь2'Х1Ь 1X2 = = ] (а1 )(а2 62) аз (а161 )(а2 62 )(азЬз )(х1Х1 )(х2Х2 )(х1Х1 )х2 =

= —8 ]ссссссссаза2 = ]аза2.

Вернемся к общему случаю. Согласно рассуждениям, проведенным ранее, в элементе VI ненулевыми являются только те слагаемые, которые содержат ровно один многочлен ] на первом месте; то есть среди первых Пк кососимметрических наборов (в которые входит одна из сумм ] + а^+1 или ] + ЬРк), только первый набор содержит многочлен ], а остальные - второе слагаемое аРк+1 или ЬРк. В первом кососимметрическом наборе многочлен ] изначально стоит последним. Для того чтобы он оказался на первом месте, его необходимо ¿к — 1 раз переставить местами с элементами слева от него. Поэтому элемент VI получит коэффициент ( — 1)^к-1. Кроме того, элемент VI после многочлена ] содержит либо элементы

афг, стоящие рядом, либо элементы отдельно. Пары элементов объединим в скобки, вследствие чего каждая пара дает коэффициент 1. Произведение элементов внутри скобок равно с, поскольку символ Кронекера 5ц равен 1. Так как умножение многочлена ] на с справа дает снова многочлен f, то в элементе VI справа от ] останутся только элементы аг, стоящие вне скобок. Поэтому элемент VI примет вид:

( -1) k faek (nk -2) + 1 a£k-1 (nk-1-nk) aEi (П1—П2) 2r

_ V / r t

Vl — ^ JaPk+Sk aPk-i + l ■ ■ ■ aPi + l

где г = Р1(п1 - п2) + Р2(п2 - пз) + ... + Рк—1 (пк—1 - пк) + Ркпк + £к - 1. Многочлен ] мы можем выбрать таким образом, чтобы результат его дифференцирования по переменным Ь1,...,1В был отличен от 0. Таким образом, элемент VI также отличен от нуля. Отметим, что элементы Vl+l,...,Vk при такой подстановке равны нулю, поскольку не содердат полином из кольца Т в первом кососимметрическом наборе.

Вернемся к линейной комбинации (6). По предположению а1 = а2 = ... = = а—1 = 0. После осуществления подстановки эта линейная комбинация примет вид: а1 ■ VI + а+1 ■ 0 + ... + ак ■ 0 = 0, где VI = 0. Следовательно, а1 = 0. Мы получили противоречие с предположением. Значит, все коэффициенты а1 ,а2,... ,ак в линейной комбинации (6) равны нулю, то есть элементы 91,92,... ,9к линейно независимы. Теорема доказана.

Авторы выражают благодарность своему научному руководителю С.П. Мищенко за постановку задач, полезные советы и внимание к работе.

Литература

[1] Блох А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли // Доклады Академии наук СССР, 1965. Т. 18. № 3. С. 471-473.

[2] Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Матем. сб. 1950. Т. 26. № 1. С. 19-33.

[3] Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли // ДАН СССР. 1987. Т. 292. № 2. C. 265-268.

[4] Фролова Ю.Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 3. С. 63-65.

[5] Cohn P.M. A non-nilpotent Lie ring satisfying the Engel condition and a non-nilpotent Engel group / P.M. Cohn [et al.] // Proc. Cambridge Phil. Soc.: Math. and Phys. Sci., 1955. 51. № 3. P. 401-405.

[6] Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ, М.: Союз, 2002. C. 95-99.

[7] Абанина Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ульяновск: УлГУ, 2003. 65 с.

[8] Воличенко И.Б. О многообразии алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль // ДАН БССР 1981. Т. 25. № 12. С. 1063-1066.

[9] Воличенко И.Б. Многообразия алгебр Ли с тождеством \[xix2x3], [x^x^x©]] = 0 над полем характеристики нуль // Сиб. матем. журн, 1984. Т. 25. № 3. С. 40-54.

[10] Джамбруно А., Зайцев М.В., Мищенко С.П. Кратности характеров полилинейной части многообразия AN2 // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и механики. 1998. Вып. 1(5). С. 59-62.

[11] Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2 // Вестник МГУ. Сер. 1. 1999. № 5. C. 18-23.

[12] Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. On the colength of a variety of Lie algebras // International Journal of Algebra and Computation. 1999. Vol. 9. № 5. P. 483-491.

[13] Giambruno A., Zaicev M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence. RI. 2005. Vol. 122.

[14] Мищенко С.П., Зайцев М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр // Математические заметки, 2006. Т. 79. № 4. С. 553-559.

Поступила в редакцию 18/ V/2011; в окончательном варианте — 18/V/2011.

ON SEVERAL VARIETIES OF LEIBNIZ ALGEBRAS

© 2011 T.V. Skoraya, Yu.Yu. Frolova3

The paper is devoted to two new results concerning varieties of Leibniz algebras. In case of prime characteristic p we construct an example of a non-nilpo-tent variety of Leibniz algebras with Engel condition. In case of field of characteristic zero we obtain a new result concerning the space of multilinear components of the variety of left-nilpotent Leibniz algebra of class three.

Key words: Leibniz algebra, Engel condition, variety of algebras, Young diagram.

Paper received 18/V/2011. Paper accepted 18/V/2011.

3Skoraya Tatyana Vladimirovna (skorayatvayandex.ru), Frolova Yuliya Yurievna ([email protected]), the Dept. of Algebraic and Geometric Computations, Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, 432700, Russian Federation.