CC BY
35
2015 Теоретические основы прикладной дискретной математики №2(28)
УДК 512.55
ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА
Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко Ульяновский государственный университет, г. Ульяновск, Россия
Представлен новый результат, касающийся многообразий алгебр Лейбница. Доказано, что в случае нулевой характеристики основного поля существует ровно два почти нильпотентных многообразия алгебр Лейбница. Доказательство носит комбинаторный характер.
Ключевые слова: алгебра Ли, алгебра Лейбница, почти нильпотентное многообразие, диаграмма Юнга.
DOI 10.17223/20710410/28/3
ALMOST NILPOTENT VARIETIES OF LEIBNIZ ALGEBRAS
Yu. Yu. Frolova, O.V. Shulezhko Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
It is proved that there exist exactly two almost nilpotent varieties of Leibniz algebras over a field of zero characteristic.
Keywords: Leibniz algebra, Lie algebra, almost nilpotent variety, Young diagram.
На протяжении всей работы характеристика основного поля Ф равна нулю. Напомним, что векторное пространство над полем Ф называется линейной алгеброй, если на нём задана бинарная билинейная операция. Класс линейных алгебр, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений, называется многообразием. В работе не предполагается ассоциативность, поэтому при более чем двух сомножителях имеет значение расположение скобок. Более того, в случае алгебр Лейбница любое произведение представимо в виде линейной комбинации левонорми-рованных элементов. Договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть abc = (ab)c. Все неопределённые в данной работе понятия можно найти в [1, 2].
Хорошо известно, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, и исследование строения полилинейных частей относительно свободной алгебры многообразия дает полную информацию об этом многообразии.
В свободной алгебре многообразия V со счётным множеством свободных образующих X = {xi,x2,...} рассмотрим множество полилинейных элементов степени n от x\,x2,...xn. Они образуют векторное пространство Pn(V), называемое полилинейной компонентой относительно свободной алгебры, размерность которого обозначим cn(V ), n = 1,2,... Известно, что полилинейную компоненту степени n можно рассматривать как модуль над групповым кольцом Ф5П симметрической группы Sn.
Для этого определим действие перестановки а следующим образом: xi2 ... xin) = = xCT(i1)XCT(i2) ... xCT(in) E Sn. Это действие симметрической группы Sn превращает полилинейную компоненту Pn в левый ФSn-модуль.
Известно, что с точностью до изоморфизма неприводимые ФSn-модули можно описывать на языке разбиений и диаграмм Юнга. Разбиением числа n называют набор
k
целых положительных чисел А = (Ai,... , Ak), при этом Ai ^ ... ^ Ak > 0 и n = Е A^
i= 1
Разбиение А числа n обозначают А h n. Для каждого такого разбиения А строится диаграмма Юнга, состоящая из k строк, причём строка с номером i содержит Ai клеток. Если диаграмму Юнга, соответствующую разбиению A числа n, заполнить числами от 1 до n, то получим таблицу Юнга, соответствующую данной диаграмме.
Так как характеристика основного поля равна нулю, по теореме Машке полилинейную часть степени n можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей. Строение модуля Pn(V) можно представить на «языке характеров». Рассмотрим разложение характера модуля Pn(V) в целочисленную комбинацию неприводимых характеров:
Xn(V) = x(Pn(V)) = Е тлХА. (!)
Ahn
Здесь тл — кратность неприводимого характера хл, отвечающего разбиению A. Асимптотическое поведение размерности cn(V) пространства Pn(V) определяет рост многообразия. Число слагаемых Zn(V) = Е тл в сумме (1) называют кодлиной многообразия.
Ahn
Размерность неприводимого ФSn-модуля, построенного по некоторому разбиению A, которую будем обозначать ^, определяется формулой «крюков» (см., например, [1, с. 113])
n!
л = "Шм,
ijed
где длина крюка |hj | = (Ai — i) + (Aj — j) + 1; Ai —длина i-й строки; Aj —длина j-го столбца диаграммы d.
Например, размерность неприводимого модуля, соответствующего диаграмме
, б!
Равна ¿(3,2,1) = = 16.
Будем говорить, что многообразие V является почти нильпотентным, если V не нильпотентно, но каждое собственное подмногообразие Ш многообразия V нильпо-тентно.
Рассмотрим состояние вопроса описания почти нильпотентных многообразий в классах ассоциативных алгебр и алгебр Ли.
Известно, что в классе ассоциативных алгебр единственным почти нильпотентным многообразием является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр АС. По тождеству ассоциативности скобки в полилинейных элементах можно опускать, в силу тождества коммутативности образующие в произведениях можно менять местами. Поэтому полилинейная часть данного многообразия является одномерным пространством (сга(Рга(АС)) = 1), базис которого — любой моном, например ж1ж2 . ..жп. Разложение характера имеет вид хп(АС) = Х(п), кодлина равна 1, то есть /га(АС) = 1 для любого п. Понятно, что тождество жП = 0 соответствует разбиению (п). Так как
поле Ф лежит в многообразии АС, само многообразие АС не является нильпотентным. Однако если рассмотреть любое собственное подмногообразие многообразия всех ассоциативно-коммутативных алгебр АС, то в нём должно выполняться тождество, невыполнимое в АС. Значит, в этом подмногообразии выполняется тождество хп = 0. Тогда по теореме Нагаты — Хигмана [3, с. 152-153] получаем, что оно является нильпотентным. Не претендуя на авторство, сформулируем следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть Ш — почти нильпотентное ассоциативное многообразие. Тогда W = АС.
Доказательство. Пусть многообразие Ш является почти нильпотентным, но не совпадает с многообразием АС. Понятно, что ненильпотентное многообразие АС не является собственным подмногообразием многообразия Ш Отсюда следует, что в многообразии Ш выполняется тождество хп = 0. По теореме Нагаты — Хигмана получаем, что Ш является нильпотентным. ■
Напомним, что алгеброй Ли называется алгебра, в которой выполнено тождество антикоммутативности х2 = 0 и тождество Якоби (ху)г + (у^)х + (^х)у = 0. Введём обозначение У для оператора умножения справа на элемент у; запишем аУ = ау. Тогда х у... у = хУт.
т
Рассмотрим многообразие метабелевых алгебр Ли, которое обозначим А2. Это многообразие определяется тождеством
(х1х2)(хзх4) = 0. (2)
Из тождеств антикоммутативности и Якоби следует, что в многообразии А2 выполняется следующее тождество:
х1(х2х3) = х1х2х3 — х1х3х2. (3)
Из (2) и (3) получаем, что в элементах пространства Рп(А2) образующие, начиная с третьего, можно менять местами: х1х2х4х3 = х1х2х3х4. Более подробно данное многообразие описано в [1]. Кроме того, в алгебре Ли любой элемент в пространстве Рп можно представить в виде линейной комбинации элементов вида хпх^1 х^-2 ... х^-(п_1). Значит, полилинейная часть Рп(А2) является линейной оболочкой элементов хпх^х^1 .. . хг(п_2), где ¿1 < ¿2 < ■ ■ ■ < ¿п-2.
Размерность полилинейной части многообразия А2 равна п — 1, то есть сп(А2) = = п — 1. Разложение характера неприводимого модуля этого многообразия имеет вид Хп(А2) = Х(п-1д), а кодлина многообразия равна единице: /п(А2) = 1.
Соответствующая разбиению (п — 1,1) диаграмма Юнга имеет вид
Такой диаграмме соответствует тождество х1х2^1п-2 — х2хЛп-2 = 0.
Воспользовавшись свойством антикоммутативности, получим, что это тождество эквивалентно так называемому тождеству энгелевости
х2Х1п-1 = 0. (4)
Заметим, что в случае многообразия алгебр Ли тождество энгелевости имеет вид хУт = 0, а не хХт = 0 ввиду антикоммутативности х2 = 0. Тождество (4) не выполняется в многообразии А2, так как в нём лежит метабелева ненильпотентная алгебра с базисом е, к и таблицей умножения ке = — ек = к, ее = кк = 0 [1, с. 173]. Изложим в виде теоремы хорошо известный факт.
Теорема 2. Пусть Ш — почти нильпотентное многообразие алгебр Ли. Тогда Ш = А2.
Доказательство. Пусть многообразие Ш является почти нильпотентным, но не совпадает с многообразием А2. Понятно, что ненильпотентное многообразие А2 не является собственным подмногообразием многообразия Ш Так как кратность те(п_1д) = 1 как в самом многообразии А2, так и в многообразии всех алгебр Ли, то в Ш выполняется тождество (4). Тогда из результата Е. И. Зельманова [4] получаем, что в Ш выполняется тождество нильпотентности ж1ж2 ... хт = 0 для некоторого натурального числа т. Значит, Ш — нильпотентное многообразие. Таким образом, получили, что А2 — единственное почти нильпотентное многообразие алгебр Ли. ■
Перейдём к изложению основной части работы: к описанию почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница. Напомним, что алгеброй Лейбница над полем Ф называется линейная алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница
(ху)г = (хг )у + х(уг).
В другом виде получаем
х(уг) = хуг — хгу. (5)
Отметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество антикоммутативности х2 = 0, то (5) эквивалентно тождеству Якоби. Значит, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница, и многообразие алгебр Ли А2 также является почти нильпотент-ным многообразием алгебр Лейбница.
Из тождества (5) следует, что любой элемент может быть представлен в виде линейной комбинации левонормированных элементов. Поэтому определение нильпотент-ной алгебры следующее: алгебра называется нильпотентной алгеброй ступени с, если в ней выполняется тождество х1х2 ... хс+1 = 0 с левонормированной расстановкой скобок, но не выполняется тождество х1 х2 ... хс = 0. В многообразии N нильпотентных алгебр Лейбница ступени с коразмерность сга(Дс) равна нулю при п > с. Рассмотрим многообразие алгебр Лейбница 2Ж, в котором выполнено тождество х(уг) = 0. Полное описание этого многообразия приведено в [5]. Для многообразия 2Ж справедливо следующее разложение для характера: х«(2^) = Х(п) + Х(п_м).
Кроме того, в работе [5] получено, что соответствующие неприводимые модули порождаются полной линеаризацией следующих элементов:
д(п) = х^^-1, £(п-1,1) = х2 х1Хп_2 — х^Х-2.
Пусть А — некоторая алгебра Лейбница. В работе [5] показано, что линейная оболочка квадратов элементов алгебры является идеалом, который обозначим I.
Утверждение 1. Для любого элемента Ь из алгебры А и любого элемента с из идеала I выполняется равенство Ьс = 0, то есть идеал является правым аннулятором алгебры. В частности, идеал I является алгеброй с нулевым умножением.
Доказательство. Элемент вида аЬ + Ьа принадлежит множеству I, так как аЬ + Ьа = (а + Ь)2 — а2 — Ь2. Пусть Ь — элемент алгебры А, тогда произведение а2Ь = = (аЬ)а + а(аЬ) принадлежит множеству I. Поэтому I является правым идеалом. Из тождества Ь(аа) = 0 следует, что произведение Ьа2 является нулевым и поэтому также принадлежит идеалу.
Рассмотрим произведение (а +1)(а +1) = а2 +1 = 1. Значит, в фактор-алгебре А/1 выполняется тождество антикоммутативности, по модулю которого тождество (3) эквивалентно тождеству Якоби, то есть фактор-алгебра А/1 является алгеброй Ли. ■
В работе [6, с. 39 (следствие 2.3)] доказано, что в классе разрешимых алгебр Лейбница существует ровно два описанных выше почти нильпотентных многообразия. Основной целью данной работы является обобщение этого результата на случай всех алгебр Лейбница.
Теорема 3. В случае нулевой характеристики основного поля существует ровно два почти нильпотентных многообразия алгебр Лейбница. Это многообразие метабе-левых алгебр Ли А2 и многообразие левонильпотентных ступени не выше двух алгебр Лейбница 2 N.
Доказательство. Пусть и — новое почти нильпотентное многообразие. Предположим, что все тождества, которые выполнены в и, выполняются и в 2Ж. Тогда 2Ж С и, но многообразие и почти нильпотентно, а значит, 2N = и. Таким образом, в и выполнены какие-то тождества, которые не выполняются в 2Ж Возможны два случая, отвечающие разбиениям (п) и (п — 1,1).
Тождество, соответствующее разбиению (п) Ь п, имеет вид жТХП-1 = 0.
Разбиению (п — 1,1) Ь п соответствуют тождества вида
п-2
Е asXlXSх2ХП-*-2 = 0. (6)
«=0
Левая часть тождества является линейной комбинацией элементов, соответствующих стандартным таблицам Юнга. Стандартная таблица для (6) выглядит следующим образом:
1 2 5 + 2 п
5 + 2
Соответствующий этой таблице элемент имеет вид жТХ^жгХП-5-2. Более подробно о теории представлений симметрической группы можно найти в [2].
Пусть в (6) а = Е аэ = 0. В многообразии 2N, согласно тождествам ж(уг) = = жуг — жгу и ж(уг) = 0, сомножители, начиная со второго, можно менять местами. Поэтому (6) по модулю тождеств многообразия 2N имеет вид ажТ ж^-2 = 0. Таким образом, оно выполняется в этом многообразии вопреки предположению. Получили противоречие, следовательно, а = Е а« = 0. Подставив в это тождество вместо ж2 элемент ж2, получим —ажТХТп = 0.
Итак, в обоих рассматриваемых случаях получили, что в многообразии и выполнено тождество жтХТ = 0 для некоторого натурального т (т = п — 1 или т = п).
Подставим в последнее тождество вместо жт сумму у + ж2. Так как все слагаемые вида у... (ж2) ... равны нулю, в качестве следствия получаем тождество вида ж2Ут = 0 или эквивалентные ему частичные линеаризации:
жуУт = —ужУ"
ж2/(Ут,...,Ут) = 0,/ (У1,...,Ут)
Е УР( 1) . . . УР(т) .
Рассмотрим алгебру Лейбница Ь из многообразия и и множество элементов ^ = {а е Ь : а/(Уь ..., У" = 0 для любых ут,... ,ут е Ь}. Докажем, что ^ является правым идеалом.
Пусть a Е If, значит, af (Yi,... , Ym) = 0 для любых yi,..., ym Е L. Умножим на b Е L справа: af (Y1,..., Ym)b = 0, но, с другой стороны, дифференцируя при помощи элемента b по тождеству Лейбница, получим
m
abf (Yi,..., Ym) + Е af (Yi,..., [Y,B],..., Ym) = 0,
s=i
где [Ys, B] = YsB — BYs — коммутатор линейных операторов.
По определению множества If каждое слагаемое суммы отдельно равно нулю. В качестве примера рассмотрим случай m = 2. Тогда многочлен имеет вид f(Y[,Y2) = = YiY2 + Y2Yi, получаем, что ayiy2 + ay2yi = 0. Умножим последнее равенство на b справа и, используя правило дифференцирования, получим
abyiy2 + a(yib)y2 + ayi (y2b) + aby2yi + a(y2b)yi + ay2(yib) = = abf (Yi, Y2) + af ([Yi,B], Y2) + af (Yi, [Y,B]) = 0.
Так как два последних слагаемых по определению множества If равны нулю, получаем, что abf (Yi, Y2) = 0 для любых элементов yi,y2 из алгебры L.
В предыдущих выкладках мы использовали тот факт, что в алгебрах Лейбница выполняется равенство x(yz) = ayz — azy = a[Y, Z]. Таким образом, abf (Yi,... , Ym) = 0 для любых ys Е L. Следовательно, ab Е If.
Из тождества (7) следует, что abXm = —baXm = 0, а значит, произведение ba принадлежит идеалу If и, следовательно, идеал является двусторонним. Заметим, что в идеале If справедливо тождество zf (Yi,... , Ym) = 0, которое эквивалентно тождеству zXm = 0, то есть выполняется энгелевость, и по теореме из работы [7] идеал If является нильпотентным. Из тождества (8) следует, что для любого элемента a из алгебры L квадрат этого элемента a2 принадлежит идеалу If, следовательно, в фактор-алгебре L/If выполняется тождество x2 = 0, а значит, L/If является алгеброй Ли. Рассмотрим два случая:
1) Фактор-алгебра L/If не является нильпотентной алгеброй Ли. В этом случае, так как L/If принадлежит многообразию U, A2 является ненильпотентным подмногообразием U. По теореме 2 в этом случае U = A2.
2) Фактор-алгебра L/If является нильпотентной некоторой ступени с. По определению идеала If в алгебре L выполняется тождество yiy2 ... yc+iXm = 0. Следовательно, выполняется также тождество энгелевости, и по теореме из работы [7] многообразие U является нильпотентным. Это противоречит условию теоремы.
Таким образом, 2N и A2 — единственные почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница. ■
Авторы выражают благодарность С. П. Мищенко за ценные советы и постоянное внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448с.
2. Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. American Mathematical Society Providence, RI, 2005. 352 p.
3. Ширшов А. И. и др. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978. 432 с.
4. Зельманов Е. И. Об энгелевых алгебрах Ли // ДАН СССР. 1987. Т. 292. №2. С. 265-268.
5. Drensky V. and Cattaneo G. M. P. Varieties of metabelian Leibniz algebras //J. Algebra Appl. 2002. V. 1. No. 1. P. 31-50.
6. Череватенко О. И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ульяновск, 2008. 69 с.
7. Фролова Ю. Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница // Вестник Московского государственного университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. №3. С. 63-65.
REFERENCES
1. Bakhturin Yu. A. Tozhdestva v algebrakh Li [Identities of Lie Algebras]. Moscow, Nauka Publ., 1985. 448 p. (in Russian)
2. Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods. American Mathematical Society Providence, RI, 2005. 352 p.
3. Shirshov A. I. et al. Kol'tsa, blizkie k assotsiativnym [Rings that are Nearly Associative]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 432 p. (in Russian)
4. Zel'manov E. I. Ob engelevykh algebrakh Li [On Engel Lie algebras]. Reports USSR Academy of Sciences, 1987, vol.292, no.2, pp.265-268. (in Russian)
5. Drensky V. and Cattaneo G.M.P. Varieties of metabelian Leibniz algebras. J. Algebra Appl., 2002, vol.1, no. 1, pp. 31-50.
6. Cherevatenko O. I. Nekotorye effekty rosta tozhdestv lineynykh algebr [Some Effects of Linear Algebra Identities Increase.] PhD Thesis, Ul'yanovsk, 2008. 69 p. (in Russian)
7. Frolova Yu. Yu. O nil'potentnosti engelevoy algebry Leybnitsa [On the nilpotency of Engel Leibniz algebra.] MSU Bulletin. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2011, no.3, pp. 63-65. (in Russian)
