CC BY
8
УДК 514.76
Г. А. Банару1
1 Смоленский государственный университет, Россия mihail.banaru@yahoo.com doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-3
О несуществовании структуры Кенмоцу на аст-гиперповерхностях косимплектического типа келерова многообразия
Установлено, что почти контактная метрическая структура косимплектического типа на гиперповерхности келерова многообразия размерности не ниже шести не может быть структурой Кенмоцу.
Ключевые слова: келерово многообразие, почти контактная метрическая структура, структура косимплектического типа, структура Кенмоцу.
1. К числу самых важных дифференциально-геометрических структур на многообразиях относится почти контактная метрическая структура (almost contact metric, аст-структура). Напомним, что под почти контактной метрической структурой на нечетномерном ориентируемом многообразии N понимают четверку тензорных полей ф, r, gj, для которой выполняются такие условия [1]:
r(£) = 1; ф(£) = 0; Г°Ф = 0; ф2 = -id
фФХ,ФУ) = (X,Y) -r(X)r(Y), X,Y еХ(N).
Поступила в редакцию 12.05.2019 г. © Банару Г. А., 2019
Здесь Ф — поле тензора типа (1,1), ^ — векторное поле, г/ — ковекторное поле, g = (•,•) — риманова метрика, ) — модуль гладких векторных полей на многообразии N.
Одним из наиболее содержательных примеров почти контактных метрических структур является введенная в рассмотрение в начале 70-х годов прошлого века структура Кенмоцу, которую обычно определяют следующим условием [2]:
УХ(Ф)У = {ФХ,У)%-г/(У)ФХ, X,7 еК(N).
Многообразия Кенмоцу и их многочисленные обобщения — одна из самых популярных тем современных исследований в области контактной геометрии. В этой области работают десятки геометров и физиков из различных стран. Выделим фундаментальную монографию [3] румынского специалиста Г. Питиша, содержащую практически все результаты в области многообразий Кенмоцу, которые были получены до 2005 года.
2. Около 10 лет назад В. Ф. Кириченко и И. В. Ускорев ввели в рассмотрение особый вид аст-структуры, получивший название структуры косимплектического типа [4]. Она определяется как почти контактная метрическая структура с замкнутой контактной формой. Отметим, что структура Кенмо-цу является важнейшим нетривиальным примером аст-струк-туры косимплектического типа (тривиальным примером, естественно, служит косимплектическая структура).
В статье [5] рассматривались оснащенные аст-структурой косимплектического типа гиперповерхности келеровых многообразий. Было установлено, что матрица второй квадратичной формы погружения гиперповерхности И2" \ на которой индуцирована почти контактная метрическая структура косимплектического типа, в келерово многообразие М2", " > 3, имеет вид:
Г.А. Банару
(Ю ) =
0
Юар 0 0
0.0 апп 0.0
0
0 0 ю ~ ар
р, s = 1,..., 2п —1.
Давно известна первая группа структурных уравнений аст-структуры на гиперповерхности келерова многообразия размерности не ниже шести [6]:
1 а а р ■ а р ■ аР
аю = юр ли + га ю л®! га юр л ю ;
йюа=—юрлюй —га^ЮрЛЮ — \ааВаР лю ; (1)
а
а
аю = —Юр ю люа + гап/дю л ю — гаЩ со л со р .
Здесь {юа}, {юа} — компоненты форм смещения (юп = ю); {ю^} — компоненты форм римановой связности; юа = юа;
а, р,у = 1,...,п — 1; а,Ь,с = 1,...,п ; а = а + п .
Принимая во внимание упомянутый выше результат из [5], для случая аст-структуры косимплектического типа мы можем переписать уравнения (1) в следующем виде:
7 а а р . ар
аю = юр лю + га юрлю;
аюа = —юррлюр— гаарюр> лю ;
аю = о.
(2)
Теперь сопоставим (2) с первой группой структурных уравнений структуры Кенмоцу [1]:
а а а
аю = юр лю + юлю ;
daa = ~Ю0с ЛЮР + Ю Л0„;
da = 0.
Видно, что в силу независимости базисных форм уравнения (2) не могут соответствовать структуре Кенмоцу. Таким образом, доказана
Теорема. аст-структура косимплектического типа на гиперповерхности келерова многообразия размерности не ниже шести не может быть структурой Кенмоцу.
Доказанная теорема дополняет результаты о почти контактных метрических структурах, индуцированных на гиперповерхностях келеровых многообразий [7; 8].
Список литературы
1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
2. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1972. Vol. 24. P. 93—103.
3. Piti§ Gh. Geometry of Kenmotsu manifolds. Bra§ov, 2007.
4. Кириченко В. Ф., Ускорев И. В. Инварианты конформного преобразования почти контактных метрических структур // Математические заметки. 2008. Т. 84, № 6. С. 838—850.
5. Банару Г. А. О почти контактной метрической структуре косимплектического типа на гиперповерхности келерова многообразия // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 7—11.
6. Степанова Л. В. Контактная геометрия гиперповерхностей ква-зикелеровых многообразий : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1995.
7. Степанова Л. В.., Банару Г. А., Банару М. Б. О квазисасакиевых гиперповерхностях келеровых многообразий // Изв. вузов. Матем. 2016. № 1. С. 86—89.
8. Банару М. Б. О почти контактных метрических 1-гиперповерх-ностях келеровых многообразий // Сибирский математический журнал. 2014. Т. 55, №4. C. 719—723.
r.A. EaHapy
G. Banaru1 1 Smolensk State University 4 Przhevalsky St., Smolensk, 214000, Russia mihail.banaru@yahoo.com doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-3
On nonexistence of Kenmotsu structure on acm-hypersurfaces of cosymplectic type of a Kahlerian manifold
Submitted on May 12, 2019
Almost contact metric (acm-)structures induced on oriented hypersur-faces of a Kahlerian manifold are considered in the case when these acm-structures are of cosymplectic type, i. e. the contact form of these structures is closed. As it is known, the Kenmotsu structure is the most important non-trivial example of an almost contact metric structure of cosymplectic type.
The Cartan structural equations of the almost contact metric structure of cosymplectic type on a hypersurface of a Kahlerian manifold are obtained. It is proved that an almost contact metric structure of cosymplectic type on a hypersurface of a Kahlerian manifold of dimension at least six cannot be a Kenmotsu structure. Moreover, it follows that oriented hyper-surfaces of a Kahlerian manifold of dimension at least six do not admit non-trivial almost contact metric structures of cosymplectic type that belong to any well studied class of acm-structures. The present results generalize some results on almost contact metric structures on hypersurfaces of an almost Hermitian manifold obtained earlier by V. F. Kirichenko, L.V. Stepanova, A. Abu-Saleem, M.B. Banaru and others.
Keywords: Kahlerian manifold, almost contact metric structure, structure of cosymplectic type, Kenmotsu structure.
References
1. Kirichenko, V.F.: Differential-geometric structures on manifolds. Odessa (2013) (in Russian).
2. Kenmotsu, K.: A class of almost contact Riemannian manifolds. Tôhoku Math. J. 24, 93—103 (1972).
3. Piti§, Gh.: Geometry of Kenmotsu manifolds. Braçov: Publ. House Transilvania Univ. (2007).
4. Kirichenko, V.F., Uskorev, I. V.: Invariants of conformai transformations of almost contact metric structures. Mathematical Notes, 84:5, 783—794 (2008).
5. Banaru, G.A.: On the almost contact metric structure of cosymp-lectic type on a hypersurface of a Kähler manifold. Differ. Geom. Mno-goobr. Figur. Kaliningrad. 49, 7—11 (2018) (in Russian).
6. Stepanova, L. V.: Contact geometry of hypersurfaces of quasi-Käh-lerian manifolds. PhD thesis. Moscow (1995) (in Russian).
7. Stepanova, L. V., Banaru, G.A., Banaru, M.B.: On quasi-Sasakian hypersurfaces of Kähler manifolds. Russian Mathematics, 60:1, 73—75 (2016).
8. Banaru, M.B.: On almost contact metric 1-hypersurfeces in Kähle-rian manifolds. Siberian Mathematical Journal, 55:4, 585—588 (2014).
