О НЕСУММИРУЕМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

36

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

УДК 517.518

О НЕСУММИРУЕМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИИ

А. А. Кирюхина1, Т.П. Лукашенко2

Ранее было доказано, что только множители Вейля А^ со свойством < оо обес-

k= 1

печивают сходимость почти всюду орторекурсивного разложения функции, которое не сходится к ней по норме. Результат перенесен на методы суммирования, которые постоянную с некоторого номера последовательность суммируют к ее пределу.

Ключевые слова: сходимость почти всюду, орторекурсивные разложения, суммирование последовательностей.

It was proved earlier that only Weyl multiplier A^ with the property < 00 provides

k=1

the almost every where convergence of an orthorecurcive expansions of a function which does not converge to it in the norm. This result is extended to summation methods that sum a sequence being constant staring with some its element to its limit

Key words: convergence almost everywhere, orthorecursive expansions, summation of sequences.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-5

Понятие орторекурсивных разложений — обобщения ортогональных разложений — было введено в 1999 г. в работах [1, 2], подробная публикация [3] вышла в 2001 г.

Пусть H — гильбертово пространство над полем R или C, а (ek} — конечная или счетная система нормированных элементов H, последовательно занумерованная натуральными числами.

Определение. Орторекурсивное разложение (ОР) элемента f € H по последовательности элементов (ek} осуществляется следующим образом:

1) положим ro = f;

2) если задан остаток приближения rn—1 € H, n € N, и элемент en, то полагаем

f n — (rn— 1 ) en)j rn - rn— 1 fnen- (1)

Назовем f орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента f € H по системе (ek}, а ряд

CT(f) = fkek — орторекурсивным рядом Фурье элемента f € H по системе (ek}. k

Легко видеть, что rn (f) — f — fk ek и для ортонормированной системы функций (ek} орторе-

k^n

курсивные коэффициенты Фурье являются обычными коэффициентами Фурье, а орторекурсивный ряд Фурье — обычным рядом Фурье. Из (1) следует равенство Пифагора

||rn— 1II2 — ||rn||2 + |fn |2. (2)

Из равенств (1) и (2) получаем

n n 2

f = ro = E fk ek + rn и ||f ||2 — ||ro||2 — E|fk| + ||rn ||2. (3)

k=1 k=1

1 Кирюхина Алена Алексеевна — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alena.kirukhina@math.msu.ru.

Kiriukhina Alena Alekseevna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.

2Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenko@mail.ru.

Lukashenko Taras Pavlovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.

© Кирюхина А. А., Лукашенко Т. П., 2024

© Kiriukhina A. А., Lukashenko T. P., 2024

(be)]

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3

37

Из (3) следует аналог неравенства Бесселя ||/||2 ^ ^ /к и утверждение, что / = ^ /квк тогда

к

к

- 2

2

¡к

. Отметим еще, что

и только тогда, когда выполняется аналог равенства Парсеваля ||/1|2 = ^

к

в силу (3) имеем

||/1| = ||Г0| > ||Г1| > |Г2| > ||гз| > ||Г4|| > ....

В работе [4] рассмотрен вопрос о множителях Вейля сходимости почти всюду для орторекур-сивных разложений (о множителях Вейля для ортогональных разложений см. [5, с. 335]) и доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть /, ||/1| = 1, — элемент сепарабельного гильбертова пространства Н (над

те те

полем М или С), ак > 0, к € М, — такая числовая последовательность, что ^ ак = +гс и ^ ак <

к=1 к=1

V, 0 < V ^ Тогда найдется такая нормированная система {ек}^=1 в Н, что орторекурсивное

те

разложение ^ /квк элемента / по ней обладает следующими свойствами: к=1 1

\1к\<ак, ^<\\гп\\<1, к,пеП,

и нормированная последовательность остатков ц^ц всюду плотна на единичной сфере 5(0) = {х € Н : ||х|| = 1}. "

Следствие 1. Орторекурсивное разложение элемента / из теоремы 1 не сходится в Н и его ортогональная проекция (проекция всех его членов) на любое невырожденное подпространство Н (отличное от {0}) не сходится в этом подпространстве. Следствием теоремы 1 является также

Теорема 2. Рассмотрим сепарабельное пространство Лебега Ь2 (О) и Ак такую строго

те

положительную последовательность, что все ^ 1 и ^ у- = оо, тогда для любой функции

к=1 к

/(х) € Ь2(О), ||/(х)|| > 0, найдется такая нормированная последовательность функций {вк(х)}те=р что орторекурсивный ряд /(х) по системе {вк(х)}те=1 не сходится по норме пространства и не сходится поточечно почти всюду на О, при этом

X/12 ■ Ак < гс. (4)

\]к|2 к=1

В настоящей работе изложены аналогичные результаты для матричных методов суммирования Т = (с(т,п)) (см. [6, с. 72, 73]), которые постоянную с некоторого номера последовательность ап суммируют к ее пределу. Нетрудно проверить, что критерием таких методов являются условия:

те

1) Е С(т,п) —► 1 при т — гс;

п=1

2) С(т,п) —> 0 при п — гс для любого т.

Заметим, что такими методами являются все регулярные методы суммирования (см. [6, с. 72]). Из теоремы 1 легко получить следующую теорему.

Теорема 3. Пусть Т = (с(т п)) — матричный метод суммирования сформулированного выше типа, функция /, ||/1| = 1, — элемент сепарабельного гильбертова пространства Н (над полем М или С размерности не меньше 2), а ак > 0, к € М, — такая неубывающая числовая последователь-

тете

ность, что ак = +°о и ^ < г/, 0<г/^|. Тогда найдется такая нормированная система к=1 к=1 к 4

те

{вк }те=1 в Н, что орторекурсивное разложение элемента / по ней ^ /квк обладает следующими

к=1

свойствами:

если к] — подпоследовательность, содержащая все номера с /к = 0, то

и существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел П], что апз — средние ОР вышеуказанного матричного метода суммирования — таковы, что

1

— < \\&п ■ ^ 1

2 м п 3 м --

и нормированная последовательность и и всюду плотна на единичной сфере ¿>(0) = {ж € Н :

II П] II

||ж|| = 1}.

Доказательство. Достаточно после каждого п-го шага ОР в теореме 1 добавлять такое количество нулевых членов (что легко получить, добавляя в последовательность (е^по которой осуществляется разложение, члены, ортогональные полученному остатку разложения), чтобы соответствующие средние приближались к остатку разложения настолько, чтобы выполнялись соотношения (3) и отличие от остатка было меньше 2-п.

Следствие 2. Орторекурсивное разложение элемента f из теоремы 3 не суммируется в Н вышеуказанным методом суммирования и его ортогональные проекции на любые невырожденные подпространства Н (отличные от (0}) не суммируются данным методом в этих подпространствах.

Теорема 4. Рассмотрим сепарабельное пространство Лебега (О) размерности больше 1 и Л^ — такую неубывающую, строго положительную последовательность, что все Л^ ^ 1 и = °°> тогда для любой функции /(ж) € Ь2(£1), ||/(ж)|| > 0, и любого метода суммирования указанного типа найдется такая нормированная последовательность функций (е^(х)}^=1, что орторекурсивный ряд f (ж) по системе (е^(ж)}^=1 не суммируетсяся данным методом суммирования по норме пространства и не суммируетсяся поточечно почти всюду на О, при этом

I2 ' Лк <

к=1

где — подпоследовательность всех отличных от нуля коэффициентов разложения.

Эта теорема сразу следует из теоремы 3. Отметим только, что если бы ОР из теоремы 3 суммировалось указанным в ней методом суммирования на множестве положительной меры, то нашлось бы его подмножество также положительной меры, на котором последовательность средних метода суммирования сходилась равномерно (см. [7, с. 122-123]), а тогда на пространстве Лебега на этом подмножестве имела бы место суммируемость по норме, что противоречит следствию.

Также получена следующая

Теорема 5. Рассмотрим сепарабельное пространство Лебега ¿2(О) размерности больше 1 и Хк — такую строго положительную последовательность, что все ^ 1 и Х^Г = 00> то~

гда для любой функции /(ж) € £2(О), ||/(ж)У > 0, и любого метода суммирования указанного выше типа найдется такая нормированная последовательность функций (е^(ж)}^=1, что орторекурсивный ряд / (ж) по системе (е^ (ж)}^=1 не суммируетсяся данным методом суммирования по норме пространства и не суммируетсяся поточечно почти всюду на О, при этом

¿|Л|2 ■ Л*, < гс. (5)

к=1

Эта теорема аналогична теореме 2 и легко получается несложным видоизменением доказательства теоремы 2, в котором выбирается счетная всюду плотная на единичной сфере система элементов и затем последовательно мелкими шагами осуществляется переход от полученного остатка разложения, параллельного соответствующему элементу выбранной системы, к остатку, параллельному следующему элементу выбранной системы. При этом необходимо следить, чтобы в итоге было выполнено условие (4). После получения остатка разложения, параллельного очередному элементу выбранной на единичной сфере системы, следует добавить достаточное количество нулей в разложение (выбирая очередные элементы системы разложения ортогональными остатку), чтобы средние метода суммирования хорошо приблизили указанный остаток. При этом необходимо следить, чтобы в итоге была выполнена оценка (5).

Полученные результаты доказывают, что без предположений о сходимости ОР (в каком-либо смысле) невозможно установить результаты о сходимости или суммируемости ОР. Сходимость ОР к разлагаемому элементу естественна и выполняется для целого ряда систем, представляющих интерес с точки зрения теории и приложений.

Исследования авторов поддержаны Московским центром фундаментальной и прикладной математики МГУ имени М.В. Ломоносова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукашенко Т.П. Рекурсивные разложения, подобные ортогональным // VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование". Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". 26 мая - 1 июня 1999 г.: Тез. докл. Ростов-на-Дону: РГЭА, 1999. 331.

2. Лукашенко Т.П. Об орторекурсивных разложениях по характеристическим функциям промежутков // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы школы-конф., посв. 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань: Изд-во "Казан. мат. о-во", 1999. 142-143.

3. Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-т. Матем. Механ. 2001. № 1. 6-10.

4. Galatenko V.V., Lukashenko T.P., Sadovnichiy V.A. Convergence almost everywhere of orthorecursive expansions in functional systems // Advances in Dynamical Systems and Control. Studies in Systems, Decision and Control. Vol. 69. Springer Int. Publ. Switzerland, 2016. 3-11 (Садовничий В.А. Избранные труды. Математика, механика и их приложения. Т. 6. М.: Изд-во МГУ, 2019. 200-207).

5. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.

6. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963.

7. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.

Поступила в редакцию 01.05.2023