36
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3
УДК 517.518
О НЕСУММИРУЕМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИИ
А. А. Кирюхина1, Т.П. Лукашенко2
Ранее было доказано, что только множители Вейля А^ со свойством < оо обес-
k= 1
печивают сходимость почти всюду орторекурсивного разложения функции, которое не сходится к ней по норме. Результат перенесен на методы суммирования, которые постоянную с некоторого номера последовательность суммируют к ее пределу.
Ключевые слова: сходимость почти всюду, орторекурсивные разложения, суммирование последовательностей.
It was proved earlier that only Weyl multiplier A^ with the property < 00 provides
k=1
the almost every where convergence of an orthorecurcive expansions of a function which does not converge to it in the norm. This result is extended to summation methods that sum a sequence being constant staring with some its element to its limit
Key words: convergence almost everywhere, orthorecursive expansions, summation of sequences.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-5
Понятие орторекурсивных разложений — обобщения ортогональных разложений — было введено в 1999 г. в работах [1, 2], подробная публикация [3] вышла в 2001 г.
Пусть H — гильбертово пространство над полем R или C, а (ek} — конечная или счетная система нормированных элементов H, последовательно занумерованная натуральными числами.
Определение. Орторекурсивное разложение (ОР) элемента f € H по последовательности элементов (ek} осуществляется следующим образом:
1) положим ro = f;
2) если задан остаток приближения rn—1 € H, n € N, и элемент en, то полагаем
f n — (rn— 1 ) en)j rn - rn— 1 fnen- (1)
Назовем f орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента f € H по системе (ek}, а ряд
CT(f) = fkek — орторекурсивным рядом Фурье элемента f € H по системе (ek}. k
Легко видеть, что rn (f) — f — fk ek и для ортонормированной системы функций (ek} орторе-
k^n
курсивные коэффициенты Фурье являются обычными коэффициентами Фурье, а орторекурсивный ряд Фурье — обычным рядом Фурье. Из (1) следует равенство Пифагора
||rn— 1II2 — ||rn||2 + |fn |2. (2)
Из равенств (1) и (2) получаем
n n 2
f = ro = E fk ek + rn и ||f ||2 — ||ro||2 — E|fk| + ||rn ||2. (3)
k=1 k=1
1 Кирюхина Алена Алексеевна — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alena.kirukhina@math.msu.ru.
Kiriukhina Alena Alekseevna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.
2Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenko@mail.ru.
Lukashenko Taras Pavlovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.
© Кирюхина А. А., Лукашенко Т. П., 2024
© Kiriukhina A. А., Lukashenko T. P., 2024
(be)]
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №3
37
Из (3) следует аналог неравенства Бесселя ||/||2 ^ ^ /к и утверждение, что / = ^ /квк тогда
к
к
- 2
2
¡к
. Отметим еще, что
и только тогда, когда выполняется аналог равенства Парсеваля ||/1|2 = ^
к
в силу (3) имеем
||/1| = ||Г0| > ||Г1| > |Г2| > ||гз| > ||Г4|| > ....
В работе [4] рассмотрен вопрос о множителях Вейля сходимости почти всюду для орторекур-сивных разложений (о множителях Вейля для ортогональных разложений см. [5, с. 335]) и доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть /, ||/1| = 1, — элемент сепарабельного гильбертова пространства Н (над
те те
полем М или С), ак > 0, к € М, — такая числовая последовательность, что ^ ак = +гс и ^ ак <
к=1 к=1
V, 0 < V ^ Тогда найдется такая нормированная система {ек}^=1 в Н, что орторекурсивное
те
разложение ^ /квк элемента / по ней обладает следующими свойствами: к=1 1
\1к\<ак, ^<\\гп\\<1, к,пеП,
и нормированная последовательность остатков ц^ц всюду плотна на единичной сфере 5(0) = {х € Н : ||х|| = 1}. "
Следствие 1. Орторекурсивное разложение элемента / из теоремы 1 не сходится в Н и его ортогональная проекция (проекция всех его членов) на любое невырожденное подпространство Н (отличное от {0}) не сходится в этом подпространстве. Следствием теоремы 1 является также
Теорема 2. Рассмотрим сепарабельное пространство Лебега Ь2 (О) и Ак такую строго
те
положительную последовательность, что все ^ 1 и ^ у- = оо, тогда для любой функции
к=1 к
/(х) € Ь2(О), ||/(х)|| > 0, найдется такая нормированная последовательность функций {вк(х)}те=р что орторекурсивный ряд /(х) по системе {вк(х)}те=1 не сходится по норме пространства и не сходится поточечно почти всюду на О, при этом
X/12 ■ Ак < гс. (4)
\]к|2 к=1
В настоящей работе изложены аналогичные результаты для матричных методов суммирования Т = (с(т,п)) (см. [6, с. 72, 73]), которые постоянную с некоторого номера последовательность ап суммируют к ее пределу. Нетрудно проверить, что критерием таких методов являются условия:
те
1) Е С(т,п) —► 1 при т — гс;
п=1
2) С(т,п) —> 0 при п — гс для любого т.
Заметим, что такими методами являются все регулярные методы суммирования (см. [6, с. 72]). Из теоремы 1 легко получить следующую теорему.
Теорема 3. Пусть Т = (с(т п)) — матричный метод суммирования сформулированного выше типа, функция /, ||/1| = 1, — элемент сепарабельного гильбертова пространства Н (над полем М или С размерности не меньше 2), а ак > 0, к € М, — такая неубывающая числовая последователь-
тете
ность, что ак = +°о и ^ < г/, 0<г/^|. Тогда найдется такая нормированная система к=1 к=1 к 4
те
{вк }те=1 в Н, что орторекурсивное разложение элемента / по ней ^ /квк обладает следующими
к=1
свойствами:
если к] — подпоследовательность, содержащая все номера с /к = 0, то
и существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел П], что апз — средние ОР вышеуказанного матричного метода суммирования — таковы, что
1
— < \\&п ■ ^ 1
2 м п 3 м --
и нормированная последовательность и и всюду плотна на единичной сфере ¿>(0) = {ж € Н :
II П] II
||ж|| = 1}.
Доказательство. Достаточно после каждого п-го шага ОР в теореме 1 добавлять такое количество нулевых членов (что легко получить, добавляя в последовательность (е^по которой осуществляется разложение, члены, ортогональные полученному остатку разложения), чтобы соответствующие средние приближались к остатку разложения настолько, чтобы выполнялись соотношения (3) и отличие от остатка было меньше 2-п.
Следствие 2. Орторекурсивное разложение элемента f из теоремы 3 не суммируется в Н вышеуказанным методом суммирования и его ортогональные проекции на любые невырожденные подпространства Н (отличные от (0}) не суммируются данным методом в этих подпространствах.
Теорема 4. Рассмотрим сепарабельное пространство Лебега (О) размерности больше 1 и Л^ — такую неубывающую, строго положительную последовательность, что все Л^ ^ 1 и = °°> тогда для любой функции /(ж) € Ь2(£1), ||/(ж)|| > 0, и любого метода суммирования указанного типа найдется такая нормированная последовательность функций (е^(х)}^=1, что орторекурсивный ряд f (ж) по системе (е^(ж)}^=1 не суммируетсяся данным методом суммирования по норме пространства и не суммируетсяся поточечно почти всюду на О, при этом
I2 ' Лк <
к=1
где — подпоследовательность всех отличных от нуля коэффициентов разложения.
Эта теорема сразу следует из теоремы 3. Отметим только, что если бы ОР из теоремы 3 суммировалось указанным в ней методом суммирования на множестве положительной меры, то нашлось бы его подмножество также положительной меры, на котором последовательность средних метода суммирования сходилась равномерно (см. [7, с. 122-123]), а тогда на пространстве Лебега на этом подмножестве имела бы место суммируемость по норме, что противоречит следствию.
Также получена следующая
Теорема 5. Рассмотрим сепарабельное пространство Лебега ¿2(О) размерности больше 1 и Хк — такую строго положительную последовательность, что все ^ 1 и Х^Г = 00> то~
гда для любой функции /(ж) € £2(О), ||/(ж)У > 0, и любого метода суммирования указанного выше типа найдется такая нормированная последовательность функций (е^(ж)}^=1, что орторекурсивный ряд / (ж) по системе (е^ (ж)}^=1 не суммируетсяся данным методом суммирования по норме пространства и не суммируетсяся поточечно почти всюду на О, при этом
¿|Л|2 ■ Л*, < гс. (5)
к=1
Эта теорема аналогична теореме 2 и легко получается несложным видоизменением доказательства теоремы 2, в котором выбирается счетная всюду плотная на единичной сфере система элементов и затем последовательно мелкими шагами осуществляется переход от полученного остатка разложения, параллельного соответствующему элементу выбранной системы, к остатку, параллельному следующему элементу выбранной системы. При этом необходимо следить, чтобы в итоге было выполнено условие (4). После получения остатка разложения, параллельного очередному элементу выбранной на единичной сфере системы, следует добавить достаточное количество нулей в разложение (выбирая очередные элементы системы разложения ортогональными остатку), чтобы средние метода суммирования хорошо приблизили указанный остаток. При этом необходимо следить, чтобы в итоге была выполнена оценка (5).
Полученные результаты доказывают, что без предположений о сходимости ОР (в каком-либо смысле) невозможно установить результаты о сходимости или суммируемости ОР. Сходимость ОР к разлагаемому элементу естественна и выполняется для целого ряда систем, представляющих интерес с точки зрения теории и приложений.
Исследования авторов поддержаны Московским центром фундаментальной и прикладной математики МГУ имени М.В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукашенко Т.П. Рекурсивные разложения, подобные ортогональным // VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование". Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". 26 мая - 1 июня 1999 г.: Тез. докл. Ростов-на-Дону: РГЭА, 1999. 331.
2. Лукашенко Т.П. Об орторекурсивных разложениях по характеристическим функциям промежутков // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы школы-конф., посв. 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань: Изд-во "Казан. мат. о-во", 1999. 142-143.
3. Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-т. Матем. Механ. 2001. № 1. 6-10.
4. Galatenko V.V., Lukashenko T.P., Sadovnichiy V.A. Convergence almost everywhere of orthorecursive expansions in functional systems // Advances in Dynamical Systems and Control. Studies in Systems, Decision and Control. Vol. 69. Springer Int. Publ. Switzerland, 2016. 3-11 (Садовничий В.А. Избранные труды. Математика, механика и их приложения. Т. 6. М.: Изд-во МГУ, 2019. 200-207).
5. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.
6. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963.
7. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.
Поступила в редакцию 01.05.2023