О несепарабельных всплеск-функциях типа Мейера в пространствах Бесова и Лизоркина Трибеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2

Библиографический список

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

2. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитиче-ских функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. 344 с.

3. Анищенкова Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: Дис. .. . канд. физ.-мат. наук. Смоленск, 2002. 120 с.

4. Анищенкова Н.Г., Зверович Э.И., Расулов К.М. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге // Докл. НАН Беларуси. 2002. Т. 45, № 6. C. 22-25.

5. Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функ-

ций: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Смоленск, 2007. 115 с.

6. Медведев Ю.А., Расулов K.M. О решении первой четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в случае окружности // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям. Смоленск: Изд-во Смоленск. ун-та, 2005. Вып. 6. C. 83-93.

7. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. 379 с.

8. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.

УДК 517.5

О НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫХ ВСПЛЕСК-ФУНКЦИЯХ ТИПА МЕЙЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА ИЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ

С.А. Гарьковская

Воронежский государственный университет,

кафедра функционального анализа и операторных уравнений

E-mail: GarkovskayaSA@mail.ru

Статья посвящена доказательству возможности использования несепарабельных всплеск-функций типа Мейера в качестве разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Ли-зоркина - Трибеля. Этот результат является первым шагом в доказательстве безусловной базисности вышеназванных всплеск-функций в рассматриваемых шкалах.

Ключевые слова: всплеск, несепарабельные всплески, пространства Бесова, пространства Лизоркина - Трибеля, разбиение единицы.

Nonseparable Wavelets of Meyer Type in Besov and Lizorkin -- Triebel Spaces

S.A. Garkovskaya

Voronezh State University,

Chair of Functional Analysis and Operator Equations E-mail: GarkovskayaSA@mail.ru

It is proved that Fourier transforms of nonseparable wavelets of Meyer type can be used as decomposition of unity in definition of Besov and Lizorkin - Triebel spaces. The result is the first step in the proof of unconditional basisness of above mentioned wavelets in scales under consideration.

Key words: wavelet, nonseparable wavelets, Besov spaces, Lizorkin - Triebel spaces, decomposition of unity.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Определение 1 [1, с. 93]. Совокупность замкнутых пространств V- С ), І Є Ъ, называ-

ется кратномасштабным анализом в Ь2 (Кп) с матричным коэффициентом расширения М, если выполнены следующие условия (аксиомы):

мш. V С У-+і для всех і Є Ъ;

МК2. и Vj плотно в Ь2 (Ъ);

7ЄЖ

MR3.fl V- = {0};

-еж

МК4. / Є V) ^ / (М7 •) Є V для всех І Є Ъ;

МК5. существует функция ^ Є Уо, такая что последовательность {^(- + п)}пеж образует базис Рисса в V).

Функция ^ называется масштабирующей. Если масштабирующая функция некоторого кратномасштабного анализа не является тензорным произведением функций одной переменной, то такой кратномасштабный анализ называют несепарабельным.

© С.А. Гарьковская, 2009

Построение всплеск-функций, соответствующих кратномасштабному анализу {V,},^г, подробно описано в работе [1, с. 120]. Всплеск-функции для несепарабельного кратномасштабного анализа в дальнейшем будем называть несепарабельными всплеск-функциями.

В данной работе рассматривается семейство несепарабельных всплеск-функций типа Мейера, построенное в работе [2]. Доказана возможность использования преобразований Фурье функций этого семейства в качестве обобщенного разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Ли-зоркина - Трибеля. Этот результат является первым шагом в доказательстве безусловной базисности вышеназванных всплесков в рассматриваемых шкалах. На наш взгляд, он имеет и самостоятельный интерес. Базисность сепарабельных всплесков, построенных на основе всплесков Мейера - Давида, изучена в работе [1, с. 498]. Базисность несепарабельных всплесков в шкале пространств Бесова рассмотрена в работе [3]. Базисность несепарабельных всплесков в шкале пространств Лизоркина -Трибеля, насколько известно автору, исследуется впервые.

Напомним определение пространств Бесова и Лизоркина - Трибеля [4, с. 57].

Пусть Б(Кп) — пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на Кп, Б'(Кп) — множество всех умеренных распределений на Кп.

Определение 2. Обозначим через £(Еп) совокупность всех систем а = {а,(ж)}°=0 С Б(Кп), таких что:

(1) Бирра0 С {х е Кп| |х| < 2}, Бирр аз С {х е Кп| 2-7'-1 < |х| < 2,+1}, ] = 1, 2, 3,...;

(и) для каждого мультииндекса а существует положительное число са, при котором 2-?Н |^аа,(х)| < са для всех ] = 1, 2, 3,... и всех х е Кп, где |а| = а1 + а2 + ■ ■ ■ + ап;

О

(111) Е а^ (х) = 1 для каждого х е Кп.

з=0

Определение 3. Пусть —го <з< го, 0 < q < го и а = {а, (х)}°=0 е £(Кп).

(I) Если 0 < р < го, то пространства Бесова Вр,,(Еп) определяются следующим образом:

Б‘„Л(Г>) = {/1 / е Б'(Г>), ||/|вр,,(Г>)|| = ||2зГ-1 аз/(Ь„(Г>))|| =

О г 5 1

= (Е ( |2”Е-1 азр/(х)1Р*) У < го}

к=0

с естественным видоизменением при q = го.

(II) Пусть 0 < р < го. Пространства Лизоркина - Трибеля Гр (Кп) определяются следующим образом:

(Кп) = {/1 / е Б'(Кп), ||/|^,,(Кп)|| = ||2*>Г-1 аз/р(Кп,гр)|| =

/ОО р 1

(¿|2*3 Г-1 а, Г/(х)|*) 5 ¿х) р < Ц.

К™ к=0

с естественным видоизменением при q = го.

Доказательство основной теоремы основано на использовании известных результатов о мультипликаторах [1, предлож. 11.4.7; 4, теорема 1.6.3].

Будем использовать обозначение А(£) ^ В(£) в случае, когда А(£) ^ сВ(£), где с — константа, не зависящая от £.

Предложение 1. Пусть 0 <р< го, 0 <q < го, {/к (х)}О=0 — последовательность целых функций экспоненциального типа ^ = (дк1,..., дкп). Тогда при к > п + тдПпр ,) для любой системы функций Мк (£), £ е Кп, Мк е НК к = 0,1,2,...,

|{Г-1 (Мк/)}О=0, мг,)|| « ||{м,(№1Й,,,.,№„е„)}“<,, 1о(Н2К)|| ■ ||{/к}О=0, ь„(г,)||,

где НК — пространство бесселевых потенциалов, а константа не зависит от /к и Мк.

Предложение 2. Пусть 0 < р < го, О = Вь = {у| у < Ь}, Ь > 0. Тогда

||Г-1МГ/|£р|| < с||М(Ь-)|Н2*||||/|£р||,

Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2 где с не зависит от b, f е L^, = {f| f е S'(Rn), suppfF с О, ||/|Lp|| < го}, M(x) е HK,

K > n_________n

min(p,1) 2 '

Пусть n = 2, M := ^2 1 ^ ' Рассмотрим семейство несепарабельных всплеск-функций типа

Мейера, соответствующих матрице M. Построение этого семейства всплеск-функций описано в работе [2]. Согласно [2], несепарабельные всплеск-функции типа Мейера могут быть построены для любой матрицы размерности 2 х 2 с определителем, равным ±2. Для удобства читателя напомним основные этапы построения.

Полагаем g : R ^ [0, го) — бесконечно дифференцируемая функция, такая что suppg := {n е R : g(n) =0} = (-го, 1/4), V1 = (8, 2), V2 = (8, -2), V3 = (-3, 2), V4 = (-3, -1). Определим бесконечно

4

дифференцируемую функцию h : R2 ^ [0, го) формулой h(£) := П g((£, V?}), где £ = (£ь£2) е R2.

j=1

Обозначим через conv X выпуклую линейную оболочку множества X с R2 и через X° — внутренность множества X. Очевидно, supp h = (conv{(±2/3,0), (0, ±1/2)})°.

Пусть f — й2-периодическая функция, задаваемая выражением f (£) := Е h(£ + k) для £ е R2.

keZ2

Маска (определение маски см. [1, с. 94]) задается формулой

mo(£) := Vf(£)/(f(£) + f(£ + (1/2,1/2))).

Заметим, что m0 е C^ — й2-периодическая функция, удовлетворяющая условиям |m0(£)|2 + + |m0(£ + (1/2,1/2))|2 = 1, для всех £ е R2, m0(0) = 1.

ГО

Полагаем р(£) := П m0((M*)-j£), где M* — матрица, сопряженная с матрицей M. Тогда функ-

j=0

ция р является масштабирующей функцией для кратномасштабного анализа {Vj }jez, соответствующего матрице M.

Преобразование Фурье всплеск-функции типа Мейера определяется формулой

■0(£) := m0((M*)-1 £ + (2, 1))eni(il +ia)p((M*)-1 £) для £ =(£1,£2) е r2.

Функции p и tp имеют компактные носители. Из построения следует, что supp р с [— 1; 1]2,

г п 2

■2 ; 2~|2 supp ih((M * ) —(j —1).

supptp с [— §; 3]2, suppip((M*) (j 1)-) с |^—3 ■ 2^i1; 3 ■ 2

2. ОСНОВНОЙ результат

Теорема 1. Полагаем р, ф е Ь2 ^2) — масштабирующая функция типа Мейера и всплеск-функция типа Мейера, соответствующие матрице М = ^, V = {V,(£)}°=0, ^0(£) = (р(£),

V, (£) = ф((М *)-(з’-1) £) при ^ = 1, 2,3,...

(¡). Пусть —го < 5 < го, 1 <q < го, 1 <р < го. Тогда ||/|Вр,, (R2 )||^ = |2в3 Г-1^, Г/11, (Ьр^2))|| является эквивалентной нормой в Вр,(R2).

p,q'

(ii). Пусть —го < s < го, 1 < q < го, 1 < p < го. Тогда ||f |Fp,q (R2 )||v = ||2sj F-1 Vj Ff |Lp(1q,

является эквивалентной нормой в Fp,q(

Доказательство. Шаг 1. Вначале докажем, что систему функций {|Vj(£)|}|=0, где v0(£) = р(£), Vj(£) = t((M*)-(j-1)£) при j = 1,2,3,... можно использовать в качестве обобщенного разбиения единицы в определении шкал пространств Бесова и Лизоркина - Трибеля.

Отметим следующий факт. По построению функция |р| является бесконечно дифференцируемой и 0 < |р(£)| < 1. Поскольку функция |t(£)| = m0^(M*)-1 £ + ^, 2))P((M*)-1 £) является бесконечно дифференцируемой и supp гр е [— 2; 2]2, то для |t(£)| и всех ее производных Daгр = al 1р2

2 2 dSl dS2

выполнено следующее свойство: для любого мультииндекса а существует положительное число са, при котором для всех £ е R2 выполнено неравенство |DatP ^ са.

Рассмотрим функции |V,(£)| = |ф((М*) 1)£)| при о = 1, 2, 3,... Если обозначить

М,-1 .= (тиС? — 1) т12° — 1А

\т21° — 1) т22 ° — 1)у

то матрицу (М*)-(,-1) можно найти по формуле

(M*)

*)-(j-1) := 1 / m22(j - 1) m21(j - 1)

2j 1 \-m12 (j - 1) m11 (j - 1) )

Для коэффициентов матрицы Мз-1 справедлива оценка |т^(о — 1)| ^ 212, которая легко доказывается по индукции.

Обозначим

П-1 (£)= ^,-1>1 (£1 ,£2Л .= М*-(,-1)£ = ^ ( т22° — 1)£1 — Ш21 ° — 1)£Л .

3 \П-1>2(£1 ,£2^ 2,-1 \ —т12(0 — 1)£1 + ти 0 — 1)£2/

Заметим, что |д(£1,£2)| ^ 2-^ для к,т = 1, 2. Тогда, используя доказанные ранее неравенства для производных функции ф(£), получим

|£>“|^(£)|| = |£>“|ф(М*-«-1)£)|| = |В»|ф?(п,-1,1 (£1,£2);П,-1,2«1,&))| «

< £ в Э'в1ф3 (£ь&) 2-"+1 |в|< с„2-2.

0:|0| = |*| 9Пв- 1,1дПв-1,2

Таким образом доказано, что функции |V,(£)| удовлетворяют условию: для каждого мультииндекса а существует положительное число са, при котором для всех о = 0,1, 2,... и всех х е R2 выполнено неравенство 22|а||^а|V,(х)|| < са.

Шаг 2. Докажем утверждение (И) теоремы. Вначале покажем, что

II/|^,(R2)||М = ||2*’Г-1 |vj|Г/|£р(г,,R2)|| < ||/|Гр*,(R2)||.

Поскольку функции |V, | имеют компактные носители, то, полагая а_з(£) = 0, а-2(£) = 0, а-1(£) = 0, можно переписать функции | V, | в виде

Ь (£)| = Ь (£)| £ а[2]+г(£),

г=-3

где [2] обозначает целую часть числа [|]. Тогда

5

||Г-1 И|Г/|Ьр(г,,R2)|| < £ ||Г-11V,|ГР-1а|4]+,Г/|£р(г,,R2)||.

г=-3

Применим предложение 1, в котором заменим М,(£) и /,(х) на |V,(£)|, и Га|¿]+г Г/(х) соответственно. Функции Г-1 а[¿. ]+гГ/ являются целыми функциями экспоненциального типа

= (2[2]+г+1, 2[2]+г+1). Так как НК = при к =1, 2,3,... и для любого о = 0,1, 2,...

1Ь |И? || = £ 1Р“ |1, (£! ,£2 )||^2 (R2 )|| « £ (/ |^|а| | V, |(£ )|2^) 2 <

|а|^К |а|^К К2

^ ^ ( У саа2-j|a|d£j2 < Са2-2|а|6 ■ 2^ < с < го,

1 а 1 ^ К supp Vj 1 а 1 ^ к

т. е. | Vj (£)| е Н2К для любого j = 1, 2,... и для любого к.

Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2 В соответствии с предложением 1 при к > 1 + т1п2р ,) получим

||Г-1 И|Г-1Га|2+Г/|Хр(г,,R2)|| « ||{|^,|(м,х£1 ,Д,2&)}О=0, г«(Н2К)||||Г-1 а|2+/ (г,,R2)||.

Согласно оценкам, доказанным для производных функций |V, (£)|,

IV, (д,х£1,м,2£2)|^2К|| = £ ||В“^(2[2]+г+‘£1 ,2|2]+г+1£2)Р2(R2 ' '

|а|

< £ Са 2_ 2 |а| 2([ 2 ]+Г + 1)|а| ^ с

|а|^к

для любого о =0,1, 2,... Следовательно, существует постоянная с, такая что

||{Ь |(д,1£1,д,2 £2 )}О=0,го (Н2К )| < с< гo,

||г-|Г/|ЬР(г,,^)|| < с|^1а|2]+гГ/, ьр(г,,^)||.

Таким образом, доказано, что величину ||/|Гр (R2можно оценить сверху через с||/|Гр Шаг 3. Докажем обратное неравенство: ||/|Гр,^2)|| < ||/|^. Поскольку для функций р и ф выполняется условие |ф(М*£)|2 = |р(£)|2 — |р(М*£)|2, то

5^2(£) = ,1ІП1 (|(?(£)|2 + £^((м*) (і 1£)|) = к1іп1 |(?((м*) к£)|2 = 1-і=0 0=1

Так как функции |^ | фі-

то ряд Е V.2 (£) в каждой точке £ Є К2 содержит конечное число

слагаемых. Тогда справедливо неравенство

і=о

(£)0 І(£) = 1-

і=0

і=0

Таким образом, доказано, что Е IV?(£)| ^ 1 для любого £ Є К2.

і=0

Поскольку функции а? по условию имеют компактные носители, то, полагая v_3(£) = 0, v_2(£) = 0, v_1 (£) = 0, можно переписать функции а? в виде

^(£) = (£) £ ^2?+г(£)|.

£ ^(£)| г=_3 к=0

Далее, получим

Р-1а?Р/|ір(1,,К2)|| < £

г=_3

Р

Р_1Р|^*2? +г |Р/|Ьр(1,, К2)

£ V |

к=0

Учитывая, что

а / ^.7

°~.7 (?)

са2 , несложно проверить, что —------- е Н2

£ К(5)|' £ К(5)|

к = 0 fc=0

Г-1 ^2,+г|Г/ являются целыми функциями экспоненциального типа д, = (3 ■ 2,+, 3 ■ 2,+).

Применим предложение 1 о мультипликаторах. Получим

°~.7 (0

Є НК. Функции

Р

_1 77 — 1

£ V |

к=0

Р_1Р|Р/|Ьр(1,, К2)

<

<

(3 ■ 2?+^£1, 3 ■ 2?+^£2^ ,1і(Н2К)

1

£ V |

к=0

і=0

Р _1 І^і+г |Р/,ір (1, )

1

а

і

С помощью оценок для производных функций жаз(5)—, полученных ранее, доказано, что

£ К(i)l k = 0

(3 ■ 2j+ 2 £1, 3 ■ 2j+ 2 £2) , (HK)

E |vk1 J j=0

k=0

Таким образом, величину ||/|Гр,(R2)|| можно оценить сверху через с||/|Гр,(R2)|||^. Следовательно, ||/|Гр,,(R2)|||-| является эквивалентной нормой в пространстве Гр,^2).

Шаг 4. Заметим теперь, что по определению р — вещественная неотрицательная функция, |р(£)| = р(£). Для преобразования Фурье всплеск-функции справедливо равенство

гр(£ ) = e-«1+«2> itp(£ )|.

Определим систему функций {gj(£)}°=0 е C-(R2) следующим образом: g0(£) — финитная функция, равная 1 на supp р; g1(£) — финитная функция, g1(£) = епг(^1+^2) на suppt; gj(£) = g1 ((M*)-(j-1)£) для j = 2,3,... Тогда Vj(£) = gj(£)|vj(£)| и выражение для нормы примет следующий вид:

F-1 V, Ff |Lp (i,, R2 )|| = ||F-1 gj |v, |Ff |Lp (i,, R2 )|| = ||F-1gj FF-1|v, |Ff |Lp (i,, R:

-1

-1

-1

Применим предложение 1. Функции Г 11V, |Г/ являются целыми функциями экспоненциального типа д, = (3 ■ 2 ^, 3 ■ 2 ^). Поскольку

п|а|

|D“gj (£)| = 2(j-1)|a| |m22(j - 1) - m12(j - 1)|а1 |m11(j - 1) - m21 (j - 1)|С

-|а|

2(j-1)|a|

(2 ■ 2^""2—h1)|a| = 4|а|п|а|2^"^|а|

и носители функций gj компактны, то

llgj|WK|| = £ ||Dagj|L2(R2)ll = £ (/|D“gj(£)|2d{)2 <

|а|^к r2

42|а|п2|а|2- j"21"2|a|d^ 2 < с ■ 4KnK2- K6 ■ 2

* E .

|a|^K supp gj

Таким образом, gj (£) е HKK для любого j = 1, 2,... и для любого к. Тогда

j+1

2 < го.

|F-1 v,Ff|LP(i,,R2)||« {gj(3 ■ 2^£1,3 ■ 2^£2)}О=0, (HK) {F-1 |v,|Ff}^=0, Lp(i,)

Пользуясь оценкой для производных функций д, (£) получим, что

|Dag,(3 ■ 2^£1, 3 ■ 2^£2)| < 4|а|п|а|2-^|а|(3 ■ 2^ ) = 12|а|п|а|.

|а|

Заметим, что suppg, (3 ■ 2 j+ ■, 3 ■ 2 j+ ■) с [-1; 1]2 для всех j = 0,1, 2,.... Тогда,

||g, (3 ■ 2^ £1,3 ■ 2V £2), WK || = £ ( J |Dag, (3 ■ 2V £j, 3 . 2V £2 )|2d^3 <

H^K R2

< 12|а|п|а|4 < с ■ 12КпК для любого о = 0,1, 2,...

|а|

3 + 1 3 + 1

Следовательно, ||{#,(3 ■ 2—£1,3 ■ 2—£2)}О=0, ¿о(Н2К)|| ^ с < го. Таким образом, доказано, что величину ||/|Гр,^2)||^ можно оценить сверху через с||/|Гр,^2.

ЭО

Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2

Доказательство обратного неравенства проводится аналогично с помощью системы функций {hj (С)}j=o> таких что hj (С) G (R2), h0 (С) — финитная функция, равная 1 на supp р; hi(£) —

финитная функция, h1 (С) = e-ni(il +i2) на supptp; hj (С) = h1 ((M*)-(j-1)C) для j = 2, 3,...

Таким образом, будет доказано, что ||/|Fp (R2)||v является нормой в пространстве Fp (R2).

Шаг 5. Аналогичные рассуждения с использованием скалярного варианта теоремы о мультипликаторах приводят к доказательству эквивалентности норм для пространств Бесова. Как и для пространств Лизоркина - Трибеля, вначале доказывается, что

|BJ, (

Ï2)||H = ||2*j F-1|v, |Ff |i, (L

является эквивалентной нормой в Bp , q(R2). Для этого, как и на шаге 2 доказательства, используется представление функций |vj (С)| в виде

И (С)| = И (С)! £ 2 ]+г (С)

r=-3

и применяется предложение 2 о мультипликаторах. При к > 1 + min2p q) имеем

||F|Vj|F"‘Fa,2]+rFf|LP(R2)|| « |||vj(2[2]+r+‘Cl!2[2]+г+1С2)|Я?|| ||F-1 a,2RrFf, Lp||.

[ 2 ]+r

Ff, L.

Согласно полученным ранее оценкам ||^ 1|^?-|^/|£.

Затем, аналогично шагу 3 доказательства, представим функции (С) в виде

О/(С) = ^ (С) £ ^+г(С)|-

Е к(С)| г=-3 к=0

Применяя предложение 2, получим:

F-1^- F-1F j |Ff |Lp(R2) < (3-2j+^Cl, 3-2j+^C2),H2K F-1|v2J+r |Ff, Lp(R2)

E |vk| E |vk|

k=0 k=0

На шаге 3, в частности, было доказано, что

а

Е V|

k=0

(3 ■ 2j+^Cl, 3 ■ 2j + ^C2),H

/+-

|Bp, q(R2)|||v 1 является эквивалентной нормой

для любого j = 0,1, 2,... Следовательно, величина

в Bp,q(R2).

Доказательство эквивалентности нормы ||f |Bp q(R2)||v проводится аналогично шагу 4. Таким образом, теорема полностью доказана.

Автор выражает благодарность проф. И.Я. Новикову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Библиографический список

1. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Тео- Separable Wavelet Bases with Isotropic Scaling Matrices

рия всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

and their Relations to Besov Spaces / University Bremen.

2. Bownik M., Speegle D. Meyer Type Wavelet Bases Bremen, 2005. 126 p.

in R2 // J. of Approx. Theory. 2002. V. 116. P. 49-75. 4. Трибель Х. Теория функциональных пространств.

3. Lindemann M. Approximation Properties of Non- М.: Мир, 1986. 448 с.

2