О необходимых условиях регулярности силовской p -подгруппы группы GLn(Zpm) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика» 2013. Т. 6, № 2. С. 18—25

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 512.517

О необходимых условиях регулярности силовской р -подгруппы группы СЬп (Ърт) *

С. Г. Колесников

Сибирский федеральный университет,

Сибирский государственный аэрокосмический университет

Аннотация. В связи с вопросом Б. Верфрица 8.3 из Коуровской тетради установлено, что силовская р-подгруппа группы ОЬп{Ьрт) при п < (р — 1)/2 удовлетворяет известным необходимым условиям регулярности.

Ключевые слова: регулярная р-группа; линейная группа; силовская подгруппа.

1. Введение

Понятие регулярной группы было введено Ф. Холлом в [1]. Им же был установлен следующий критерий регулярности (см., например, [2, теорема 12.4.2]): конечная р-группа С регулярна тогда и только тогда, когда для любых двух элементов а,Ь € С существует элемент с € {а, Ь)' такой,что (аЬ)р = арЬрср. И найдены следующие необходимые условия регулярности: если р -группа С регулярна, то для любых а,Ь € С а) равенство ар = имеет место тогда и только тогда, когда (а-1Ь)р = 1 [2, теорема 12.4.4]; б) [ар,Ь] = 1 (или [а,Ьг] = 1) тогда и только тогда, когда [а,Ь]р = 1 [2, теорема 12.4.3]; в) множества

{ЦС) = {х € С | хр = 1}, Вг(С) = {хр | х € С}, г = 1,2,...,

являются характеристическими подгруппами в С [2, теорема 12.4.5].

В 1982 году Б.Верфриц поставил в Коуровской тетради вопрос [3, вопрос 8.3]: для каких натуральных чисел п, т и простого числа р силовская р-подгруппа Рп(Ърт) общей линейной группы СЬп(Ърт) над

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 12-01-00968, проекта «Алгебро-логические структуры и копмплексный анализ с приложениями к передаче и защите информации», выполняемому в рамках «Задание Минобрнауки РФ», гранта КГПУ им. В. П. Астафьева НШ № 10.

кольцом Zpm классов вычетов целых чисел по р -примарному модулю является регулярной? Изучая коммутаторное строение матричных групп, Ю.И. Мерзляков в [4] установил, что ступень нильпотентности группы Рп(Ърт) равна пт — 1. Поскольку р -группы ступени нильпотентности меньше, чем р, регулярны [2, стр. 205], группа Рп(Ърт) регулярна при пт — 1 < р. В работе А. В. Ягжева [5], для случая т = 1, и работе С. Г. Колесникова [6], для случая т = 2, было показано, что группа Pn(Zpm) регулярна тогда и только тогда, когда п < (р + 1)/т. В [7] автором была установлена регулярность группы Рп(Ърт) при любых т ^ 1, когда п2 < р. Учитывая, что свойство регулярности наследуется на подгруппы и фактор-группы, из приведенных результатов следует полный ответ на вопрос Б. Верфрица для п = 2. Когда п > 2, ответ на вопрос остаётся неизвестным лишь для конечного числа простых чисел заключённых в промежутке от 2п + 1 до п2. Цель статьи — показать, что в оставшихся случаях группа Рп(Ърт) удовлетворяет сформулированным выше необходимым условиям регулярности.

Отметим, что автором и Н.В. Мальцевым в работах [7], [8] исследовался и аналог вопроса Б. Верфрица для силовских р -подгрупп групп Шевалле над Zpm.

2. Определения и основная теорема

Для всякого целого неотрицательного числа I через . будем обозначать идеал кольца Zpm, порождённый элементом р1, а множество квадратных матриц порядка п, у которых все элементы лежат в идеале ■]1, будем обозначать Мп(.). Очевидна следующая

Лемма 1. Для всякого целого неотрицательного числа I множество Мп(.1) является идеалом кольца всех матриц порядка п с элементами из Ърт и имеют место следующие включения:

А) Мп(.1) • Мп.) с Мп(31+к);

Б) ркА е Мп(.Р+к), если А е Мп.1).

Множество матриц сравнимых с единичной матрицей по модулю идеала Мп(Зг), г = 1, 2,..., образуют подгруппу в ОЬп (Ър™), которая называется конгруэнц-подгруппой и обозначается Кп(Ърт,.]%).

Следуя [4], определим последовательность функций Е^, п,к = 1, 2,..., от натуральных аргументов г], полагая

Р(к)(г,з ) = —

г — ] — к

п

здесь [х] — целая часть числа x (ближайщее к x слева целое число). Множество квадратных матриц порядка п, у которых элемент, стоящий

на пересечении г-й строки и ]-го столбца, лежит в идеале 1(г,3'), обозначим через Мп(рПк^). Нетрудно видеть, что имеют место следующие включения:

МпЕ1) Э Мп^) Э ... . Множество матриц порядка п с элементами из кольца Ърт сравнимых

с единичной матрицей по модулю Мп (Еп1) является максимальной р-подгруппой в СЬп(Ърт) [9, стр. 95, упражнение 7]. Поэтому можем считать, что

Рп(Ърт) = {Е + А I А € Мп(Е^)},

здесь и далее через Е обозначаем единичную матрицу порядка п. Также в [9, стр. 138] показано, что к-й централ группы Рп(Ърт) совпадает с пересечением

1к (Рп (Ърт )) = (Е + Мп (Е(к))) П БЬп (Ърт ).

Оказывается, что включения для произведений матриц из множеств Мп(Е(к) тоже описываются функциями Епк\ Более точно, справедлива

Лемма 2. Пусть к1,...,к3 — произвольные натуральные числа и Аг € Мп(Е(к)), г = 1,...,в. Тогда

А! • А2 •... • А5 € Мп(Е(к1+-+к°)).

Доказательство. Лемму достаточно доказать для случая в = 2. Пусть А1 = Цац||, А2 = ||а|| и С = А1А2 = Цс^||. Функции Е(к для любых натуральных чисел к1,к2 и фиксированных г,],1 больших нуля и не превосходящих п, удовлетворяют неравенству

Р(к1 )(г,1) + Е(к2\1,з) > Е(к1+к2)(г,з). Отсюда следует, что

п п

сгз = £ аг1 а'1з € £ 1 ^ (г'1)1 ^^ = 1=1 1=1

П

= ^2 1рПк1)(г1)+Рп2)(1,3) с 1^Пк1+к2)(г,з) 1=1

и, значит, А^2 е Мп(Е^1+к2)). □

Диагональю с номером к, 1 — п ^ к ^ п — 1, квадратной матрицы В порядка п назовём множество таких элементов с!^ этой матрицы, что г — $ — к.

Лемма 3. Пусть В е Мп{вП1)), В е М,п(1т-2), т ^ 2, в — целое число, 0 ^ в < п—1. Если все элементы диагоналей 1—п, ...,в .матрицы В лежат в 1т-1, то у матриц ВВ и ВВ в идеале 1т-1 лежат все элементы диагоналей 1 — п, ...,в + 1.

Доказательство. Пусть натуральные числа удовлетворяют неравенствам: 1 ^ ^ п и г — $ ^ в + 1. Запишем элемент с^ матрицы ВВ в виде следующих двух сумм

г-1 п

с%3 — ^ ^ Ьги!и] + ^ ^ Ьгийщ.

и=1 и=г

Элементы йщ первой суммы лежат в 1т-1, поскольку для них и — $ ^ г — $ — 1 ^ в. Во второй сумме элементы Ьги лежат в 1, так как их индексы удовлетворяют условию г — и ^ 0, а элементы йщ лежат 1т-2. Значит, с^ е 1т-1. Доказательство включения в 1т-1 элемента с3 произведения ВВ устанавливается как выше с использованием равенства

з п

с3 — ^ ^ йгиЬиЗ + ^ ] йгиЬиЗ. и=1 и=3+1

□

При доказательстве справедливости необходимых условий регулярности группы Рп(Ърт) существенным образом используется следующая основная

Теорема 1. Пусть А, В е Рп(Ърт), т ^ 2, р ^ 5 и 2 ^ п ^ (р — 1)/2. Равенство Ар — Вр имеет место тогда и только тогда, когда А — ВС для некоторой матрицы С е Кп (Ърт, 1т-1).

Доказательство. Пусть А — Е + А', В — Е + В', где А1, В' е Мп(Е(1)),

? (1Ь

-> е Мп(Е

и Ар — Вр. Покажем, что В — А' — В' е Мп(Е(тп-п+1)).

Включение В е Мп(Е(1)) очевидно. Пусть включение В е Мп(Е(11),

1 ^ I < тп — п + 1, уже доказано. Из равенства Ар — Вр следует, что р

р

Е

г=1

(Р) ((В' + В)г — В 'г) — о,

здесь и далее О — нулевая матрица порядка п. Матрицы — (В' + В)г — В'г при г ^ 2 являются однородными многочленами от В' и В

степени г, причем, матрицу В содержит каждое слагаемое. Значит, по лемме 2

^^г е Мп(Еп1+г-1)) с Мп(Епш)), г ^ 2.

В частности, из неравенства п ^ (р — 1)/2 следует, что

^р е Мп(Е,(1+р-1)) с Мп(Е,(1+п+1).

Далее, биномиальные коэффициенты (р), когда 1 ^ г ^ р — 1, кратны р, поэтому

Wi е Мп(Е(1+п+1)), 2 < г < р — 1.

Отсюда,

рВ — — ^ — ^р е Мп(Е(1+п+1))

г=2 ^

и, следовательно, В е Мп(Еп+^). Таким образом, включение В е

М,п(тп - п+1)ч

(Е ) доказано.

Индукцией по номеру диагонали в, 1 ^ в ^ п — 1, матрицы В с помощью леммы 3 и аналогичных рассуждений устанавливаем включение А! — В' — В е Мп(1т-1). Положив сейчас С' — (Е + В')-1В и С — Е + С', будем иметь

ВС — (Е + В ')(Е + С') — (Е + В')(Е + (Е + В ')-1В) —

— Е + В' + В — Е + А' — А. и, очевидно, С' е М,п(1т-1).

Обратно, пусть Е + А' — (Е + В')(Е + С') и С' е М,п(1т-1). Из кратности р биномиальных коэффициентов (р), когда 1 ^ г ^ р — 1, и равенства рС' — О следует

(Е + В' + С' + В 'С ')р — Е + ^ ^ (В' + С' + В 'С ')г —

р-1 / ' \

Е + (В' + С' + В 'С')р + ^ Мв 'г

г=1

Любое произведение, содержащее не менне двух матриц из идеала Мп(1т-1), равно нулевой матрице, поэтому

(В' + С' + В 'С ')р — В 'р + В 'р-1С' + В 'р-2С 'В + ... + С 'В 'р-1.

В произведении В'к С 'В '1, когда к + I = р — 1, обязательно к ^ (р — 1)/2 ^ п или I ^ п. Значит, по лемме 2 В'к е Мп(гПаП) С Мп(.1) или В'1 е Мп (.), откуда

В 'кС'Ва е Мп У) • Мп(,1т-1) = {О}. Поэтому (В' + С' + В'С')р = В'р и, следовательно,

р / ■ \

Ар = (Е + В' + С' + В 'С')р = Е + ^ \)ВН = (Е + В ')р = Вр.

г=1

Теорема доказана. □

3. Необходимые условия регулярности

Всюду далее предполагаем, что натуральные числа т,п и простое число р удовлетворяют неравенствам: т ^ 2, р ^ 5 и 2 ^ п ^ (р — 1)/2.

Следствие 1. Пусть А, В е Рп(Ърт), 1 ^ г ^ т — 1. Равенство Ар = Вр имеет место тогда и только тогда, когда А = ВС для некоторой матрицы С е Кп(Ър™, .т-г).

Доказательство. Будем вести индукцией по г. Случай г = 1 разобран в теореме 1. Пусть г > 1 и Ар = Вр. Тогда (Ар)р— = (Вр)р— и по предположению индукции существует матрица О е Кп(Ърт ,.т-%+1) такая, что Ар = ВрО. Рассмотрим канонический гомоморфизм р кольца Ърт на кольцо Ърт-1+1 (взятие вычета по модулю рт-г+1). Он продолжается до гомоморфизма р группы Рп(Ър т ) на группу Рп(Г^рГп — г+1 ). Ядром р служит конгруэнц-подгруппа Кп(Ърт ,,]т-г+1). В группе Рп(Ърт—1+1) имеет место равенство

(р (А))р = р(Ар) = р(ВрО) = р(Вр)р (О) = р (Вр) = (р(В ))р.

По теореме 1 р(А) = р(В)С для некоторой матрицы С из конгруэнц-подгруппы Кп(Ърт—1+1 ,.т-г) группы Рп (^рГп — г+1 ) . Перейдя к прообразам, получим требуемое равенство.

Обратно, пусть А = ВС и С е Кп(Ърт,.т-г). Тогда р(А)=р(В)р(С), где р(С) принадлежит конгруэнц-подгруппе Кп(Ърт—1+1 ,.т-г) группы Рп(Хрт—1+1). Используя теорему 1, получаем

р (Ар) = (р (А))р = (р (В ))р = р (Вр)

или, переходя к прообразам, Ар = ВрО, где О е Кп (^рт , .1т-г+1). По индукции А? = (Ар)р1-1 = (ВрО)р1-1 = В?. □

Следствие 2. Множества &г(Рп(Ър™)) и Ог(Рп(Ър™)), г — 1,... т — 1, образуют характеристические подгруппы в Рп(Ърт).

Доказательство. Множество &г(Рп(Ърт)) состоит из эдементов, порядки которых не превышают рг, а множество Ог(Рп(Ърт)) — из рг -х степеней всех элементов группы Рп(^рт ). Характеристичность обоих множеств вытекает из инвариантности порядка и степени элемента относительно автоморфизма.

Покажем, что указанные множества являются подгруппами. Действительно, полагая в следствии 1 В — Е, видим, что Ар — Е тогда и только тогда, когда А лежит в конгруэнц-подгруппе Кп(Ърт,1т-г). Значит, 0,г(Рп(Ърт)) — Кп(Ърт,1т-г). Далее, используя формулу бинома и лемму 2, нетрудно убедится в том, что Ар лежит в подгруппе Нг — Е + Мп(Епп+1) для любой матрицы А е Рп(Ър™). Порядок подгруппы Нг равен

(т-г) 1)

и совпадает с порядком Ог(Рп(Ърт)), который ввиду следствия 1 равен

(п — 1)п . / п(п + 1) - 2

\Рп{Ърт)\/\Кп{Ърт, .]т~г)\ =рт^+(т-1 )^/ргп

Значит, множество 15^Рп(7*рт)) совпадает с подгруппой Н¿. □

Следствие 3. Пусть А, В е Рп(Ър™), г ^ 0 - целое. Равенство Ар — Вр имеет место тогда и только тогда, когда (А-1 В)р — Е.

Доказательство. Пусть Ар — Вр. Если г ^ т, то Е — Ар — Вр — (АВ-1)р и доказывать нечего. При г < т ввиду следствия 1 имеем А — ВС, где С е Кп(%рт,1т-г). Отсюда, (А-1В)р — (С-1В-1В)р — (С~1)рг = Е. Обратное утверждение очевидно. □

Следствие 4. Пусть А, В е Рп(Ър™), г ^ 0 - целое. Равенство [Ар, В] — Е (или [А,Вр] — Е) имеет место тогда и только тогда, когда [А, В]р — Е.

Доказательство. В самом деле, если [Ар ,В] — Е, то

Е — [Ар ,В] — (А-1)р В-1Ар В — (А-1)р (В-1АВ )р,

или (В-1АВ)р — Ар. По следствию 1 В-1АВ — АС для некоторой матрицы С е Кп(Ърт,1т-г), откуда

[А, В]р — (А-1 В-1АВ)р — (А-1 АС)р — Е.

Обратно, из равенства [A, B= E следует включение A lB lAB G Kn(Zpm, Jm-i), то есть B-lAB = AC для некоторой матрицы C G Kn(Zpm ,Jm-i). По следствию 1 (AC)pi = Api, поэтому

[Api, В] = {A~l)pi{AC)pi = (A~l)piApi =E. D

Список литературы

1. Hall P. A contribution to the theory of groups of prime-power order У P. Hall УУ Proc. London Math. Soc. - 1934. - Vol. 36, N 1. - P. 29-95.

2. Холл М. Теория групп У М. Холл. - М. : Иностр. лит., 1962. - 468 с.

3. Коуровская тетрадь. Нерешённые вопросы теории групп У ред. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. - 16-е изд. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 2006. - 180 с.

4. Мерзляков Ю.И. Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп У Ю. И. Мерзляков ^ Алгебра и логика. - 1964. - Т. 3, № 4. - С. 49-58.

5. Ягжев А.В. О регулярности силовских p-подгрупп полных линейных групп над кольцами вычетов У А. В. Ягжев ^ Мат. заметки. - 1994. - Т. 56, № 6. -С. 106-116.

6. Колесников С.Г. О регулярности силовских p-подгрупп групп GLn(Zpm) У С. Г. Колесников УУ Исследования по математическому анализу и алгебре. -Томск : ТГУ, 2001. - Т.3. - С. 117-124.

7. Колесников С. Г. О регулярных силовских p -подгруппах групп Шевалле над кольцом Zpm У С. Г. Колесников ^ Сиб. мат. журн. - 2006. - Т. 46, № 6. - С. 1289-1295.

8. Колесников С. Г. О регулярности силовских p-подгрупп симплектических и ортогональных групп над кольцом Zpm У С. Г. Колесников, Н. В. Мальцев УУ Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. - 2011. - Т. 4, № 4. -С. 489-497.

9. Каргаполов М. И. Основы теории групп У М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. - М. : Наука, 1972. - 240 с.

S. G. Kolesnikov

On necessary conditions of regularity of Sylow p-subgroups of the group GLn(Zpm)

Abstract. In connect to B. Vehrfritz's problem 8.3 from Kourovka notebook we prooved that Sylow p-subgroup of group GLn (Zpm) when n < (p — 1)/2 satisfies well-known necessary coditions of regularity.

Keywords: regular p -group; linear group; Sylow subgroup.

Колесников Сергей Геннадьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79, тел.: (3912)206-20-76 (sklsnkv@mail.ru)

Kolesnikov Sergei, Siberian Federal University, 79, Svobodny av., Krasnoyarsk, 660041, professor, Phone: (3912)206-20-76 (sklsnkv@mail.ru)