CC BY
10УДК 512.54
Г. В. Пастухова
Об одной проблеме из Коуровской тетради
Работа посвящена теории конечной группы. Мы решили проблему Ши Виджи из тетради Коурова (сборник группы нерешенных задач) о классе спорадических групп после примера группы J1.
Ключевые слова: конечные простые спорадические группы, Коуровская тетрадь.
G. V. Pastukhova
About One Problem from Kourov's Writing-Book
The work is devoted to the finite group theory. We have resolved the problem of Shi Vidgi from Kourov's writing-book (a collection of non-resolved group problems) about the class of sporadic groups after the example of group J1.
Keywords: final simple sporadic groups, Kourov's writing-book.
Рассмотрим проблему Ши Вуджи, которую озвучил А. С. Кондратьев в 12-ом издании Коуровской тетради (вопрос 12.39) [3]:
Верно ли, что конечная группа и конечная простая группа изоморфны, если у них один и тот же порядок и одно и то же множество порядков элементов?
Если Н конечная группа, то через Or(H) обозначим множество порядков элементов группы Н. Доказана следующая теорема.
Теорема: Пусть G такая конечная группа, что \G\ = \Ji\ и множества порядков элементов G и J¡ совпадают. Тогда G = J¡.
Для доказательства воспользуемся теоремой о строении группы порядка pq, где p и q - простые числа [2, с. 101-103]. Также необходимы теоремы Силова и лемма Фраттини. Общая идея такова: имея четкий список порядков элементов, используя метод от противного и вышеуказанные теоремы, перебрать все возможные варианты нормальной подгруппы данной группы.
Доказательство. Возьмем группу J¡, напомним, что это первая группа Янко, одна из спорадических групп и ее порядок \Ji \ =23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19. Имеем 0r(J)={1,2,3,5,6,7,10,11,15,19} [1]. Допустим, что G - непростая группа и N - минимальная нормальная подгруппа G. Тогда возможны два случая.
Случай 1. N = ZpxZpx...xZp. Так как \G\ делится только на первые степени нечетных простых чисел, то прир - нечетном N = Zp и \N\=p.
Случай 1.1 Пусть \N| = 19 и N = Р - силовская 19-подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q-подгруппы Q имеем QP = PQ, и тогда QP - подгруппа порядка 19q. При q = 5 получаем, что \QP| = 95, и так как 5 не делит 19-1=18, то по теореме о строении группы порядка pq имеем, что QP = <a> - циклическая порядка 95 и в G существует элемент порядка 95, что невозможно по условию.
Случай 1.2 Пусть |N| = 11 и N = Р - силовская 11-подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q-подгруппы Q имеем QР=РQ, и тогда QР - подгруппа порядка 11q. При q = 3 получаем, что ^Р| = 33, и так как 3 не делит 11-1= 10, то QP=<a> - циклическая порядка 33 и в G существует элемент порядка 33, что невозможно по условию.
Случай 1.3 Пусть |N| = 7 и N = Р - силовская 7-подгруппа. Так как Р нормальна в G, то для любой силовской q-подгруппы Q имеем QP=PQ, и тогда QP - подгруппа порядка 7q. При q = 5 получаем что ^Р| =35 и, рассуждая аналогично, получаем, что в G существует элемент порядка 35, что невозможно по условию.
© Пастухова Г. В., 2011
Об одной проблеме из Коуровской тетради
Т3
Случай 1.4 Пусть N=5 и N = Р - силовская 5-подгруппа. Так как Р нормальна в О, то для любой силовской д-подгруппы Q имеем QP=PQ, и тогда 0Р-подгруппа порядка 5д. При q = 3 получаем, что ^Р| =15 и в О существует элемент порядка 15, что невозможно по условию.
Случай 1.5 Пусть N=3 и N = Р - силовская 3-подгруппа. Так как Р нормальна в О, то для любой силовской д-подгруппы Q имеем QP=PQ, и тогда QP - подгруппа порядка 3д. При д = 5 получаем, что ^Р| =15 и в О существует элемент порядка 15, что невозможно по условию.
Случай 1.6 Пусть N1=2. Тогда для ХеЫ\{е} и любого хе О х А1х= Х получаем хХ=Хх. Тогда для элемента х 7-порядка имеем о(х0 = о(х)о(() = 2 • 7 = 14, что невозможно по условию.
Случай 1.7 Пусть N=2 • 2, то есть N = Z2xZ2. Тогда рассмотрим полупрямое произведение N и Б19. Существует хе Б19 такой, что хХ = (х, для ХеЫ\{е}. В противном случае £19 разбивает Ы\{е} на орбиты длины 19 и 19 делит 22-1, что невозможно, тогда хХ = Хх и о(х() = о(х) • о(0 = 2 • 19 =38, что невозможно по условию.
Случай 1.8 Пусть N=2 • 2 • 2 и N=Р*P*Р - силовская подгруппа порядка 23. Рассмотрим подгруппу U=NQ порядка 23 • 19. Такая подгруппа существует, так как N - минимальная нормальная подгруппа С и NQ=QN для любой Q<О. Пусть хе О\{е}, тогда существует Хе N\{е^}, что хХ = (х. В противном случае 19 делит 23-1, а это невозможно. Тогда о(хХ) = о(х) • о(Х) = 19 • 2=38 и в О существует элемент порядка 38, что опять же невозможно по условию.
Случай 2. N есть прямое произведение простых неабелевых групп.
Заметим, что N - простая группа. Действительно, в противном случае, если N - прямое произведение нескольких, скажем, к простых неабелевых групп, то в силу того, что \А\ делит N1, в свою очередь, ¡N1 делит \^\, получаем \А\ делит \^\, но \А| не делит Л Значит, N - простая группа. Рассмотрим все возможные случаи, которые вытекают из того, что порядок простой группы N должен делить Л. А именно, из списка простых неабелевых групп, порядки которых не превосходят Л, выбираем те, порядки которых делят Этот список можно найти в [1, с. 146].
Случай 2.1. N = А5, где |А5| =22 • 3 • 5. Применим лемму Фраттини. Пусть Pе £у15(М), N= А5. По лемме Фраттини О=А5 • NО(P). С одной стороны, 19 делит |О|, с другой стороны, 19 не делит \А5|. Следовательно, 19 делит \NО(P)\ и в NО(P) существует подгруппа порядка 19. В NО(P) Р - нормальная группа, и если Q суть 19-подгруппа группы NО(P), то РQ = QXP - циклическая подгруппа порядка 19 • 5=95 и в О существует элемент порядка 95, что невозможно по условию.
Случай 2.2. N = Ь2(7), где \Ь2(7)\=22• 3 • 7. Снова применим лемму Фраттини. Пусть PеБу17( N = Ь2(7). По лемме Фраттини О=N• С одной стороны, 19 делит |О|, с другой стороны, 19 не
делит N. Следовательно, 19 делит и в ^^существует подгруппа порядка 19. В Р -
нормальная группа, и если Q есть 19-подгруппа группы NО(P), то PQ=QXP - циклическая подгруппа порядка 19 • 7=133 и в О существует элемент порядка 133, что невозможно по условию.
Случай 2.3. N = Ь2(11), где ^Р)^2 • 3 • 7 • 11. Снова применим лемму Фраттини. Пусть P е £у111(М), N = Ь2(11). Как и выше, получаем, что в О существует элемент порядка 209 = 11 • 19, что невозможно по условию.
Таким образом, О - простая группа. Далее снова из теоремы о классификации конечных простых групп [1, с. 146] вытекает, что О = 31, так как среди простых неабелевых групп только J1 имеет порядок 23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19, то теорема доказана.
Библиографический список
1. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию [Текст] / Д. Горенстейн. - М. : Мир, 1985 г. - 352 с.
2. Каргаполов, М. И., Мерзляков, Ю. И. Основы теории групп [Текст] / М. И. Каргаполов, Ю. И. мерзляков. - М. : Наука, 1982 г. - 288 с.
3. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп [Текст]. - Новосибирск : Институт математики СО АИ СССР, 1998 г. - 75 с.
14
Г. В. Пастухова
