CC BY
9
evalExp (plus (Lit (1 :: Int)) (Lit (2 :: lilt)))
В то же время выражения вида
plus (Lit (1 :: Int)) (Lit True)
не пройдут статического контроля типов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Hinze R. Fun with phantom types // The Fun of Programming, Cornerstones in Computing, Palgrave, 2003, P. 245-262,
2, http://www.haskell.org/haskellwiki/Phantom_type
3, http://babel.ls.fi.upm.es/~pablo/Papers/Notes/GADTs.html
УДК 517.95
Д.В. Поплавский
О НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ МАТРИЦЫ ВЕЙЛЯ СОГЛАСНО НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДФ
Рассмотрим следующую задачу:
ut + 2ux(3u2 + v2) + 4uvvx + uxxx = 0,
vt + 2vx(3v2 + u2) + 4vuux + vxxx = 0, x > 0, t > 0,
(i)
u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = vo(x), (2)
u(0,t) = ui(t), ux(0,t)= u2 (t), uxx(0,t) = u3 (t), v(0, t) = vi(t), vx(0,t) = v2(t), vxx(0,t) = v3(t).
(3)
где щ, Ук, к = 0, 3, - непрерывные комплекснозначные функции (м0(ж), г>о(ж) Е Ь(0, то), и0(0) = М1(0), у0(0) = У1(0)). Известно, что система (1) допускает эквивалентное представление нулевой кривизны [1], что дает возможность для нахождения ее решения применить метод обратной спектральной задачи [2], в котором нелинейная задача (1)-(3) сводится к обратной спектральной задаче на полуоси для дифференциальной системы с кратными корнями характеристического многочлена [3]. При этом соответствующей спектральной характеристикой выступает матрица Вейля. В [2] получены эволюционные уравнения на элементы матрицы Вейля и алгоритм решения задачи (1)-(3). То обстоятельство, что данные уравнения носят нелинейный характер, в определенной степени затрудняет реализацию метода обратной спектральной задачи именно в случае «полуоси». В настоящей статье приводится один
из возможных способов получения решения указанных эволюционных уравнений с представлением такого решения явными формулами, позволяющими свести нелинейную задачу к линейной [4].
Пусть (и(х, £), -и(х,£)) - решение задачи (1)-(3). При фиксированных £ > 0 рассмотрим дифференциальную систему:
У' — Р(х, £)У = АРоУ, х > 0, (4)
где
/0 и V \ ( в\ 0 0 \
Р = г ( и 0 0 ) , Ро = ( 0 в2 0 ) , в = -г, = г.
\ V 0 0/ V 0 0 в2 /
А
50 = {А : Ре (Ав) < Рв (А02)} и = {А : Ре(А02) < Ре (Ав)} . Обозначим Ф(х, £, А) = (Фх (х,£,А) , Ф2 (х,£,А) , Ф3 (х,£,А)) := := [Ф^(х,£, А)]^к=хз, где Фк(х,£,А), к = 1,3, - решения (4), удовлетворяющие следующим условиям: а) при А € 50 : Фх1(0,£, А) = 1, Фх(х,£,А) = 0(еЛв1Ж), х ^ то; Фх2(0,£,А) = Фз2(0,£,А) = 0, Ф22(0,£,А) = 1; Ф1з(0,£,А) = Ф2з(0,£,А) = 0, Фзз(0,£,А) = 1; б) при А € 51 : Фц(0, £, А) = 1, Ф2х(0,£,А) = 0, Фх(х,£,А) = 0(еЛв2Х), х ^ то; Ф12(0,£,А) = 0, Ф22(0,£,А) = 1, Ф2(х, £, А) = 0(еЛвх), х ^ то; Фхз(0, £, А) = Ф2з(0, £, А) = 0, Фзз(0, £, А) = 1.
Определим матрицу М(£, А) следующим образом: а) при А € 50 :
/1 0 0 \ /1 0 0 \
М(£, А) = ( М21(£,А) 10 ) := ( Ф2х(0,£,А) 10 ) ; \ Мзх(£,А) 0 1 ) \ Фзх(0,£,А) 0 1 /
б) при А € 51 :
1 0 0 1 0 0 М(£, А) = ( 0 1 0 ) := ( 0 1 0
\Мзх(£,А) Мз2(£,А) 1/ \Фзх(0,£,А) Ф32(0,£,А) 1
Решения Фк(х, £, А) называются решениями Вейля. Матрица М(£,А) -матрицей Вейля системы (4).
Определим также М0(А) = [М^(А)]^к=хз := (0,А)]^к=хз
(матрица Вейля для начальных условий {и0(х), -и0(х)}), = А2— - 2(и2 + ^2) и
Р 0(£,А) = [Р° М)],^ =
—Aw
U1W1 + 2iAu2 - 4U3 V1W1 + 1 iAv2 - 4V3
4i J u1w1 — 1 iAu2 — 4u3 A(A2 — 2u2)
v1w1 — |iAv2 — 4 v3 — 2 Au1v1 Теорема. Положим,:
—2 AU1V1
A(A2 — 2v2)
aj npw A E So : Z =
M21 M31
Z0 =
Q22 =
p0 770 p0
F 22 — F11 F 23
F 32
PO 77О F 33 — F11
npw A E S1 : Z =
M31 M32
Q22 =
pO pO p 0 F33 — F1 1 —F2 1
770
F33 — F 2 2
M201
M31
, Q21 =
, Q12 = ( —F?2, —
Z0 =
M31
M2
, Q21 =
F01
F31
13
0
F 31 0
F 32
, Q12 = ( —F103, — ^Э^
тогда Z(р,\) при А Е £0 V 51 удовлетворяет следующей задаче Коши для нелинейного матричного уравнения Риккати:
^ = ОпМ + - ZQl2(t)Z, Z(0, А) = Z0(А). (5)
В силу леммы Радона решение задачи (5) может быть представлено в следующем виде:
Z (t,A) = Y (t,A)(X (t,A))—1, где (X(t, A), Y(t, A)) — решение задачи Коши для линейной системы
X = Q12Y, X(0, A) = 1,
Y = Q21X + Q22Y, Y(0, A) = Z0(A).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Наянов В.И. Многополевые еолитоны, М,: Физматлит, 2006, 272 е,
2, Поплавский Д. В. Метод обратной спектральной задачи для векторного модифицированного уравнения КдФ на полуоси // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 108-111,
3, Yurko V.A. An inverse spectral problem for differential systems on the half-line with multiplied roots of characteristic polynomial //J. Inv. Ill-Posed Problems, 2005, Vol. 13, № 5. C. 503-512.
4, Поплавский Д. В. Прямые и обратные задачи спектрального анализа и их приложения к нелинейным эволюционным операторам: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2006. 116 с.
