О некоторых зависимостях для определения давления на поверхности плоского или осесимметричного тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т.о м XXIV 199 3

М 2

УДК 533.6.011.31.5 : 532.582.33

О НЕКОТОРЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОГО ИЛИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА

В. П. Котенев

Предлагается метод определения давления на известной линии тока ненулевой кривизны. Рассмотрены примеры плоских и осесимметричных течений газа.

Для оценки изменения газодинамических параметров вдоль поверхности тел, обтекаемых стационарным потоком невязкого газа, применяются приближенные зависимости, основанные на результатах численных расчетов. Так, в [1] на основании данных таблиц [2] предлагаются формулы для распределения давления по поверхности сферы или цилиндра. Более общие результаты можно получить, рассматривая уравнения газовой динамики в независимых переменных «давление—функция тока», которые используются, например, при исследовании плоских установившихся движений газа [3]. Переменные такого типа применяются и при рассмотрении нестационарных одномерных течений [4]. На основе независимых переменных «давление — две функции тока» изучаются пространственные сверхзвуковые течения газа на больших расстояниях от обтекаемого тела [5]. В работе [6] динамические переменные используются для поиска единой аналитической формы описания приближенных методов расчета, возможности оценки точности и построения высших приближений.

В данной работе для уравнений газовой динамики, записанных в переменных «давление — функция тока», получено разложение решения в ряд по приращению давления. Это разложение использовано для создания эффективного алгоритма интегрирования решения вдоль линии тока на поверхности тела в плоском и осесимметричном течении.

1. Установившиеся течения невязкого газа около поверхности тела описываются системой уравнений Эйлера.

Рассмотрим неортогональную систему с контравариантными координатами:

хх = р, л1 — ф

и базисными векторами

g■l = grad р, == эгас! ф.

Здесь г|з — функция тока, т. е. ц = - руг' йг + риг" йг; г, г—цилиндрические или декартовы координаты;

V, и — проекции вектора скорости V на радиальное и осевое направления соответственно или на декартовы оси; р — давление, р — плотность.

Для плоских движений газа г = 0, для осесимметричных г=1.

Заметим, что (^2-К) = 0.

Ё этих переменных уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, условия сохранения энтропии 5 для совершенного газа с показателем адиабаты у вдоль линии тока (г|) = сопз1;) принимает вид:

др

а векторное уравнение движения:

д-У- + г'У1-& = О, (I)

др

1

где

г\У-?) Р

' Введем функцию 0 (р, 1|з) — угол между вектором скорости в исследуемой точке поверхности и осью тела (линии тока). Тогда

и ■— V сое 6, V = V я!п 0, V = У и2 -|- V2-Из уравнения (1) следует: ,

или ^ — ‘ . (2)

др р др дУ

Далее, так как

др2 др \ др I др др

К= У< (3)

д2У -р._ М2— 1 др2 " р21/2

где М — местное число Маха.

Аналогично можно получить:

1)(2М2 — 3) -3

др3 р2К2 др р3И

дрдр2 р

(4)

= 4- ^ + ± -Дт; {~ ( —777 + (6М2 — 7) 4- 2Л~1

др4 3 др3 3 р2 V2 [ др \ р V1

+ _1_ (М2 - 1) (2М2 - 3) (ЗМ2 - 4) ра V4

М2 — 1\2 , 12 д2в

р2 V3 } р др др2

-3^(дЛ \2_ 4к2 ** ** + К* (*- V - «(М*-1) (*. Г (5)

\dpij др др3 \др ] р2К2 \др)

Предполагая вектор скорости V дифференцируемым необходимое число раз, при условиях справедливости интеграла Бернулли и сохранения энтропии вдоль линии тока (тела), находим связь между давлением р и углом наклона 0 касательной к телу ненулевой кривизны в виде ряда:

- - , /дУ 1 (д2У -\

( ^ Уо) - VI + у)о Ар + Т1 (^г У)о V +-

-+тг(0-у)оЛрк + °(*р*+1)- (V

Заметим, что для достижения такой же точности с помощью ряда Тейлора при

/ <Э40 \

л|?=сопв1 для функции 0 = 0 (р, 4>) требуется знание производной —в точке раз-

\др /о

(дк~Ч\

ложения, тогда как в (6) достаточно знать —г—; , т. е. на порядок меньше.

\др /о

Тем не менее применение (6) в качестве решения должно быть обеспечено знанием

(д"о \

б начальной точке (точке разложения) производных I —— высокого порядка т.

\"Р /о

В этом случае задача представляется тривиальной.

2. Из (6) с учетом (2), (3), (4) следуют формулы:

^«+1^яС08(вп + 1, 0„).

V2 + (д2¥-у) *р2

п ^ 1 др» • )п '2

'/„_1^со8(в„_1, 0Я) + 0№).

Уп + \Уп со;5 (вв + 1. Йп) = Уп-1 уп СОБ (0„_!, 0„) ■

ЇР. (д— Г/

Р п “ К

Д^з

~зГ

О (ДРъ)

ГМ2

^+1^СО8(0я+11вп)=2|^+ I »

- 2

I р2У2

гпг п

1 _у2(дЬ\2

П \др)п

- ^я_1^ясо8(0я_,. 0„) + О(Д^); уп + 1 Уп сое (0„+1. 0«) = уп—1 Уп с05 (®п—і > ®л)

Р п

+ зі^К--

д/>21 2!

2 і дЬ \ (д2И \ 3/(50 \2

" >п \дрг)п р„ \ др/п

(7)

(8)

мула (8) с тем изменением, что вместо

Соотношения (7), (8) • используют значения параметров в равноотстоящих по давлению узлах (п—1, п, и+1) на линии тока, а для конечно-разностной аппроксимации

производных 1-^—1 , 1^-) применяются центральные разности. Формулы (7), (8)

г \dpjn \др21п

эффективны для пошагового продвижения решения вдоль линии тока (поверхности тела) ненулевой кривизны. Они были использованы для определения давления на поверхности сферы, цилиндра, эллипсоида вращения с полуосями а = 26 = 2с. В качестве начальных данных задавались 0_1 = 0 (ро—Ар), 0о = 0 (*ро) и в1 = 0(ро + Ар). Здесь давление р0 соответствует сферическому (полярному) углу 0 = 20°, и Ар — выбранный шаг продвижения решения вдоль линии тока. При этом для сферы и цилиндра использованы данные работы [1], а в случае эллипсоида проведена параболическая аппроксимация таблиц [2] в окрестности критической точки. Значения

02 = 0 (ро + 2Ар),... , 0п = 0 (ро+пАр), .. . получены с помощью (7), (8). Был реализован следующий простейший алгоритм. При местных числах М<1 применялась фор-

(дЧ\ /дзв) /дв) /д'^\

— , -— использовались — , — ,

\др'п\др'2]п \др!п—'[ 'др2/я-1

т. е. ошибка па одном шаге возрастала до О (Ар4). При местных числах М>1 на шаге предиктор применялась формула (7), которая сводилась к решению квадратного уравнения для неизвестной Д0 „=0„+,—0„, а на шаге корректор — формула (8). Очевидно, что возможны и другие подходы к применению данных соотношений.

На рис. 1 приведены результаты работ [1, 2], причем сплошная линия соответствует сфере, пунктирная — цилиндру, штрихпунктирная — эллипсоиду. Здесь же кружочками обозначены значения давления, полученные по (7), (8). Потенциальность обтекания при М«,<1 заранее не предполагалась. Сравнение результатов свидетельствует о хорошей точности представленных соотношений.

3. Пусть известна зависимость р = р(0) для некоторой линии тока ненулевой кривизны. Тогда можно предполагать, что эта же зависимость должна быть справедлива на любой другой линии тока, имеющей с данной общую начальную часть и сопряжение достаточной степени гладкости.

Так, например, на рис. 2 изображено семейство осесимметричных тел, полученных путем сопряжения без разрыва кривизны сферы с параболоидом вращения. Здесь же даны условные знаки для обозначения давления на графиках. Зависимости р = р(0) заметно отличаются друг от друга, тем не менее зависимость в виде р=р(0) хорошо описывается одной кривой для крнкретногд числа в набегающем потоке (рис, 3),

Рис, 2

ИЗ

Рис. З

Рис. 4

р її

p~vJ

,

Рис, §

На рис. 4 даны контуры трех осесимметричных тел с общим сферическим началом, переходящим в участки, где зависимость цилиндрического радиуса от осевой координаты задана в виде экспонент и, наконец, параболическими участками. Первое сопряжение имеет гладкость третьего порядка, второе — без разрыва кривизны.

Здесь также приведены условные обозначения. Линейные размеры отнесены к радиусу затупления сферы. Как показано на рис. 5, зависимость в виде р=р (0) для всех тел практически одна и та же, тогда как кривые р = р (г) существенно различаются.

4. Введенная в п. 1 замена координат невырождена, если давление переменно вдоль линии тока т. е.

g^■ Уф 0.

Кроме того, изложенное неприменимо в тех областях течения газа, где модуль дд дв скорости V ~ 0, или ~ 0, или со.

Таким образом, получены формулы, связывающие разные точки на плоском или осесимметричном теле (линии тока) и позволяющие определить на его поверхности давление и другие параметры течения газа.

Отметим, что применение данных соотношений значительно повышает точность расчетов по сравнению с известными методами типа «касательных клиньев», «касательных конусов» и другими приближенными подходами, устанавливающими соответствие между давлением и местным углом наклона линии тока. При этом время расчета составляет несколько секунд для ЭВМ типа БЭСМ-6 и не требует больших затрат памяти машины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Покровский А. Н., Фролов Л. Г. Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока//Изв. АН СССР МЖГ,—1985, № 2.

2. Л ю б и м о в А. Н., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел.—М.: Наука, 1970, т. 2

3. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1966.

4. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1968.

5. Д у л о в В. Г., Рудаков А. И. Пространственные сверхзвуковые течения на больших расстояниях от тела конечного объема//СО АН СССР. ПМТФ, — 1976, № 3.

6. Д у л о в В. Г. О некоторых постановках пространственных задач оптимизации в гиперзвуковой аэродинамике//СО АН СССР. ПМТФ. — 1976, № 5.

Рукопись поступила 23/1 1991 г.