CC BY
232
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 133-134
УДК 531
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С СУХИМ ТРЕНИЕМ
© 2011 г. В. Ф. Журавлев, Д.М. Климов
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва [email protected]
Поступила в редакцию 15.06.2011
Предложена новая полная модель сухого трения, в которой учтено контактное взаимодействие тела с поверхностью. Модель применяется для изучения следующих явлений: динамика волчка Томсона, динамика кельтского камня, шимми колеса самолета.
Ключевые слова: сухое трение, волчок, шимми.
1. Общий вид полной пятимерной модели сухого трения имеет вид:
Мх = К Л У^кач (X У )^у + Щ >
My = -R 3 Л ia„, (x. y )dxdy - IF, M, = - fR jj
D
•стка
(X ’y) [ur2 + x(vy + lax) -
D
КI
- y (v, - la y )]dxdy,
Fx =- fR 2 JJO
( x . y)
Fy = - fR 2 jj
D
|vc 1 ач (x. y ) К1
= o( x, y)
1+
(vx - uy - lay )dxdy, • (vy + ux + la x )dxdy;
xay - yax h /
/a +a,
M (u, v) = lim
Pn (u, v)
F (u, v) = lim
Rn (u, v)
4. Кельтский камень [2].
5. Шимми [3]. Уравнения колебаний переднего колеса самолета имеют вид:
mx + px =
my + py = -
F0v
v + b |sy| 3F0nhs2y
15nv + 32b |sy|'
C . = hs2N - fRNv R 5 v + b |sy|’
... M0sy . hs
A + w = -. + fNj— +
|sy | +av 5
R
+ fN—y, (0 < v < V).
Диаграмма нормальных напряжений в контакте:
3N 2 2
с(0,р) =-jyjs -р (1 + hpcos0) h =|h|sgnv.
2. Разложения Паде моделей трения (на примере двумерной модели).
Интегральные представления для главного момента и главного вектора элементарных сил трения являются однородными функциями скоростей со степенью однородности 0, поэтому они могут быть представлены аппроксимациями Паде в виде отношения двух полилинейных функций одинакового порядка:
2ns
Линеаризация уравнений в окрестности стационарного проскальзывания:
y + A<2 y +Ly = 0, Y + £y + ~2 Y- Sy = 0,
где
,2 = P ,2 = q ,2 =,2 fNhs A,1 = , A2 = , л2 = A 2
m A
2
£ = M 0s aAv
hs2 fN 5mv
L =
S =
5A fNR Al .
п^<х Qn (и, V) ’ ’ 7 п^<ю Бп(и,V)
(сходимость равномерная во всей области изменения переменных и и V).
Далее рассматриваем ряд механических систем, динамика которых изучается с использованием приведенной выше модели сухого трения.
3. Волчок Томсона [1].
Критерий Рауса — Гурвица приводит к необходимым и достаточным условиям шимми:
15л/тА(Х2 - Х,^) < (Зл/те2 + 16аЯА)hF0.
Список литературы
1. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамике вол -чка Томсона (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением // Изв. РАН. МТТ 2005. №6.
2. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Глобальное дви- 3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О механизме яв-
жение кельтского камня // Изв. РАН. МТТ. 2008. №3. ления шимми // Докл. РАН. 2009. Т. 428, №6.
ON CERTAIN DYNAMIC PROBLEMS OF A RIGID BODY WITH DRY FRICTION
V.Ph. Zhuravlev, D.M. Klimov
The new full model of forces of dry friction which appear as a result of interaction with surface is proposed. The model is used for the investigation of the following phenomena: motion of tippe top, motion of celtic stone, shimmy of airplane wheel.
Keywords: dry friction, top, shimmy.
