Нестационарные движения двусферического китайского волчка Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 143-144

143

УДК 531.36

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДВУСФЕРИЧЕСКОГО КИТАЙСКОГО ВОЛЧКА

© 2011 г. А.А. Зобова

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматриваются нестационарные движения двусферического волчка тип-топ на плоскости с сухим трением [1-3]. Методом обобщенных бифуркационных диаграмм Смейла проведено аналитическое исследование таких движений. Проведено численное исследование нестационарных движений волчка в рамках регуляризованных динамических уравнений (вводится деформируемость опорной плоскости). Найдены некоторые «псевдостационарные» движения с почти нулевой скоростью проскальзывания. Изучены их свойства в зависимости от упругих свойств плоскости.

Ключевые слова: сухое трение, волчок тип-топ, метод обобщенных диаграмм Смейла.

Рассматривается динамика двусферического («реального») волчка на шероховатой плоскости. Волчок моделируется двумя шаровыми сегментами с центрами 01 и 02 и радиусами г1 и г2, (г 1 > > г2) (рис. 1), жестко связанными стержнем, направленным вдоль общей оси симметрии этих сегментов (модель впервые рассмотрена в [4]). Если китайский волчок быстро закрутить вокруг вертикально расположенной оси симметрии при наинизшем расположении центра масс (с опорой на сегмент большого радиуса), то он перевернется на 180° и начнет вращаться вокруг вертикально расположенной оси симметрии при наивысшем расположении центра масс (с опорой на ножку, которая моделируется сегментом малого радиуса), и после некоторого времени постепенно вернется обратно в устойчивое положение равновесия.

Пусть единичный вектор динамической и геометрической оси симметрии е = 0102 / |01021 составляет угол 0 с единичным вектором восходящей

вертикали у. Волчок касается плоскости большим сферическим сегментом в точке С1 , если 0еД1 = [0, п — а), и меньшим сферическим сегментом в точке С2, если 0е Д2 = (п — а,п]; волчок касается плоскости двумя точками, если 0 = = п — а. Центр масс лежит на оси симметрии 0102. На волчок, помимо силы тяжести и реакции опорной плоскости, действуют силы сухого трения (включая силы трения скольжения, верчения и качения) и наложена односторонняя голономная связь: скорость наинизшей точки шара имеет неотрицательную проекцию на вектор восходящей вертикали (возможны подскоки волчка над опорной плоскостью).

Для численного интегрирования задачи о движении волчка введем достаточно простую вязкоупругую модель Кельвина — Фойгхта, связывающую деформацию опорной плоскости е (расстояние от наинизшей точки волчка до плоскости) и нормальную реакцию:

0 є [0, п - а) 0 є (п - а, п] 0 = п - а

Рис. 1

144

АЛ. Зобова

N = ■

[0, s> 0,

[-n1s- n2S, s< 0.

Таким образом, вводится новая переменная (вертикальная координата центра масс волчка) и дополнительное дифференциальное уравнение

= (V, у), где v — скорость центра масс волчка.

Это предположение позволяет численно решать задачу Коши для любых начальных условий (в том числе и для движений с множественными ударами и переворотами) с помощью достаточно простого численного алгоритма без переключений. Удары моделируются с помощью этого алгоритма и указанной модели для вертикальной реакции.

Аналитическое исследование опирается на анализ стационарных и нестационарных движений в «порождающей» системе, в которой момент трения полагается равным нулю. Тогда в каждой из областей фазового пространства, соответствующих отрезкам Д1 и Д2 изменения угла 0, су -ществует линейный по псевдоскоростям интеграл Джелетта К1 = — /Г (Jю, г ) = к1, а полная механическая энергия является невозрастающей функцией времени:

1 2 1

Н = ^ту + ^(Jю,ю) = (г,у) < к,

Н = (Е,и) + (М,ю) < 0.

Наличие первого интеграла и невозрастающей со временем полной механической энергии позволяет построить эффективный потенциал системы с помощью модифицированной теории Рауса [5]. Свойства критических точек эффективного потенциала определяют существование, устойчивость и бифуркации стационарных движений волчка, т.е. таких движений, при которых постоянен угол нутации 0, а скорость скольжения равна нулю. Результаты исследования свойств эффективного потенциала и стационарных движений двусферического волчка изложены в [6].

Движение изображающей точки по плоскости (к2, к) для порождающей (с нулевым моментом сил трения) системы и исходной системы позво-

ляет качественно описать нестационарные движения волчка (аналогично работе [7]), а также указать достаточные для существования наблюдаемых в натурных экспериментах движений с переворотом условия на силы и моменты трения. С помощью обобщенных диаграмм Смейла найдены некоторые «псевдостационарные» движения с почти нулевой скоростью проскальзывания, существование которых зависит от упругих свойств опорной плоскости. Результаты исследования сопоставляются с результатами работ [4, 8, 9].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 10-01-00292, 09-08-00925), Совета по грантам Президента РФ (грант поддержки молодых российских ученых МК-698.2010.1) и АВЦП«Развитие научного потенциала высшей школы» на 2009-2010 гг. (2.1.1/6194).

Список литературы

1. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С. 60-67.

2. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. C. 762-767.

3. Карапетян А.В. Двухпараметрическая модель трения // ПММ. 2009. № 4. С. 515-519.

4. Leine R. I., Gloker Ch. A set-valued force law for spatial Coulomb - Contensou friction // Europ. J. Mech. A/Solids. 2003. V. 22, № 2. P. 193-216.

5. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

6. Зобова А.А., Карапетян А.В. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // ПММ. 2009. Т. 73, № 6. C. 867-877.

7. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. МТТ 2008. № 3. C. 33-41.

8. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамике волчка Томсона (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением // МТТ. 2005. №6. С. 157-168.

9. Косенко И.И., Александров Е.Б. Реализация модели Контенсу - Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. C. 499-517.

NON-STEADY MOTIONS OF A TWO-SPHERICAL TIPPE-TOP A.A. Zobova

Non-steady motions of a two-spherical tippe-top on a horizontal plane with dry friction are considered. The analytical investigation of non-steady motions was provided by the method of generalized Smale bifurcation diagrams. Numerical analysis of such motions was done by integration of regularized dynamic equation (the elasticity of the support plane is assumed). Some pseudo-steady motions were found with nearly vanishing sliding velocity. Their properties as a function of elastic properties of the plane were investigated.

Keywords: dry friction, tippe-top, the method of generalized Smale bifurcation diagrams.