К динамике тел, контактирующих при движении с шероховатой плоскостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 40-41

УДК 531

К ДИНАМИКЕ ТЕЛ, КОНТАКТИРУЮЩИХ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТЬЮ

© 2011 г. В.В. Андронов

МГТУ им. Н.Э.Баумана, Москва

ап^оп33@.кого1еу-пе1;.ги

Поступила в редакцию 15.06.2011

Приводятся основные положения теории поликомпонентного сухого трения при контакте твердых тел с шероховатой опорной плоскостью. Обсуждаются различные возможности использования факта многомерности трения в современных технологиях. Обращается внимание на многомерный характер трения также и в случае точечного контакта и вытекающую отсюда неудовлетворительность исторически сложившейся традиции описания точечного контакта простым законом Кулона. Анализируется ряд задач динамики с качением при адекватном учете фрикционного взаимодействия.

Ключевые слова: сухое трение, закон Кулона, плоский и точечный контакт с трением, поликомпонентное трение, преобразованное трение, аппроксимации Паде.

О законе Кулона

Задачи динамики твердого тела, соприкасающегося с шероховатой плоскостью, можно разделить на задачи с плоским и с точечным (условно) контактом. И те и другие обычно рассматриваются в предположении, что характер взаимодействия тела с основанием в касательной плоскости подчиняются закону сухого трения Кулона. В его изначальном виде этот закон сформулирован для поступательного движения и записывается так:

Р = -/№1\у\, (1)

где Р — сила трения, препятствующая поступательному скольжению тела со скоростью V; / — коэффициент трения, N — модуль силы взаимодействия между телом и плоскостью по нормали к ней. При непоступательном характере скольжения написанный закон нарушается, однако его можно применять для малых участков площадки контакта в дифференциальной форме:

СЕ = -/а (г СЮ.

V (г )|

(2)

векторов г и интегрируя по всей площадке контакта, получаем силу и пару сил — силу трения Р и момент трения М. При заданном характере распределения с(г) эти величины, естественно, оказываются функциями кинематических параметров — поступательной V и угловой ю скоростей тела:

Р = Р (V, ю), М = М (V, ю).

Эти функции, представленные их Паде-аппрок-симациями, имеют следующий вид (Я — характерный размер площадки контакта, а, Ь — постоянные) [1—4]:

р=р, ру ) =- Р°(^ ’ ^), м =- М°и К *’ у' \V\ +Ь \и\ ■

| и|+а|V |

Здесь /СЕ — сила трения, приходящаяся на элемент площадки контакта СЮ, г — радиус-вектор точки этого элемента, о(г) и Кс(г) — нормальное давление на элемент и вектор его скорости скольжения.

Поликомпонентное кулоново трение

Приводя эту плоскую распределенную систему элементарных сил трения к началу отсчета

(V = ^^2+у^ Ф 0, и = ЯаФ 0). (3)

Так обстоит дело, если не учитывается трение качения. При учете трения качения появляются две новые фрикционные характеристики — проекции момента трения качения, так что в общем случае движения выпуклого тела трение характеризуется пятью скалярными компонентами.

О некоторых задачах с поликомпонентным сухим трением

Как видно из (3), все три компоненты трения (Рх , Ру , М) взаимосвязаны. Изменение одной из них вызывает изменение других. Осуществляя целенаправленное изменение (управление), можно сообщать движению тела желаемые свойства. Это обстоятельство находит применение в разнообразных приборах, технологических и транс-

портно-технологических машинах, в том числе устройствах с вибрационным принципом действия [4—6]. Часто динамической моделью процессов в таких устройствах служит тяжелое плоское твердое тело, расположенное на шероховатой наклонной плоскости с малым углом наклона к горизонту, а ход процесса отождествляется с движением тела вдоль этой плоскости в направлении малой скатывающей силы. Рассматривается цикл задач динамики в рамках этого направления в теории систем с сухим трением.

Другой тип рассмотренных задач относится к движению выпуклого тела (например, шара), когда контакт с плоскостью считается точечным. Однако реальные тела всегда соприкасаются по некоторой площадке, пусть и весьма малой, но конечной, поэтому феномен поликомпонентности трения остается действующим и при точечном контакте. Тогда из зависимости (3) следует, что при наличии верчения (п Ф 0) сила трения покоя исчезает: F(0, v) = 0. Вместе с этим исчезают и физические причины для неподвижности точки контакта. Следовательно, сухое кулоново трение не может служить причиной для возникновения неголономной связи. Неизбежно возникает скольжение. При этом зависимость для силы трения получается отличной от формулы (1), соответствующей закону Кулона в его простейшей форме, обычно применяемой в подобных задачах. Вследствие этого известный подход к учету трения в задачах качения требует переосмысления.

На это, кстати, указывают и далекие от действительности результаты решения некоторых из-

вестных задач, найденные при таком моделировании трения (постоянство скорости верчения в задаче о бильярдном шаре, весьма экзотические условия для придания шару криволинейной траектории [4] и многое другое). Пример такого несоответствия мы имеем в традиционном решении задачи о движении тяжелого шара по внутренней поверхности вертикального цилиндра, согласно которому очевидного систематического опускания шара не происходит — центр шара периодически возвращается в исходное положение. Но все становится на свои места, если трение описать адекватным образом, учитывая его поликомпонентный характер.

Исследование проведено совместно с

B.Ф. Журавлевым.

Список литературы

1. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 5.

C. 762—767.

2. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задачах динамики твердых тел // Успехи механики. 2005. №3. С. 58—76.

3. Журавлев В.Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости // МТТ. 2006. №6. С. 3—9.

4. Андронов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.-Ижевск: РХД, 2010. 184 с.

5. Андронов В.В. Механические системы с преобразованным сухим трением // МТТ. 1988. №1. С. 40—49.

6. Андронов В.В. Механика в лесоинженерном деле. М.: Изд-во Московс. гос. ун-та леса, 2000.176 с.

TO DYNAMICS OF BODIES BEING IN CONTACT WITH A ROUGH PLANE IN MOTION

V.V. Andronov

Basic propositions on the theory of multicomponent dry friction are presented. Distinctive possibilities of the using the fact of the friction multidimensionality in modern technologies are discussed. Special attention is given to the multidimensional character of the friction under conditions of point contact followed by inconsistency of its description using simple Coulomb's law. Some problems on rolling with adequate accounting of the friction are analyzed.

Keywords: dry friction, Coulomb's law, plane and point contact with friction, multicomponent friction, transformed friction, Pade-approximations.