CC BY
18
Клоков А.С., Ламонина Л.В., Смирнова О.Б. О некоторых возможностях ИКТ в повышении мотивации бакалавров инженерных направлений подготовки // Электронный научно-методический журнал Омского ГАУ. -2017. -№4 (11) октябрь - декабрь. - URL http://e-journal.omgau.ru/images/issues/2017/4/00469.pdf. - ISSN 24134066
УДК 004.9:378.016:62
Клоков Александр Сергеевич
Кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУВО Омский ГАУ, г. Омск as. klokov@omgau. org
Ламонина Людмила Владимировна
Старший преподаватель ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск lv. [email protected]
Смирнова Оксана Борисовна
Старший преподаватель ФГБОУ ВО Омский ГАУ, г. Омск [email protected]
О некоторых возможностях ИКТ в повышении мотивации бакалавров инженерных
направлений подготовки
Аннотация: В статье рассмотрены некоторые направления повышения мотивации бакалавров инженерных направлений подготовки. Одно из таких направлений в современном обществе связывается с применением ИКТ в решении практических задач. В статье описывается ряд математических задач, которые служит средством решения частных практических задач. Способы решения подобных математических задач интегрированы с возможностями применения ИКТ.
Ключевые слова: повышение мотивации, ИКТ, практические задачи, математические задачи, интеграция.
Одной из отличительных особенностей современного процесса подготовки бакалавров по инженерным направлениям является интеграция фундаментальных и специальных (профессиональных) знаний. Содержательная часть таких фундаментальных дисциплин как математика, физика, теоретическая механика и ряда других позволяет решать совокупность частных профессиональных задач. Однако методы решения подобных задач могут оказаться достаточно трудоемкими, охватывать большой теоретический, к примеру, математический материал. В этой связи наблюдается снижение мотивации обучающихся к решению такого рода профессиональных задач. Одним из перспективных направлений повышения мотивации бакалавров инженерных направлений подготовки является применение информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) в решении профессиональных задач. Опираясь на эмпирический опыт авторов, можно предположить, что освоение математических методов и способов решения профессиональных задач посредством ИКТ позволяет повысить
мотивацию обучающихся. Данный подход может помочь, и преподавателям, и обучающимся иначе представить себе место и роль многочисленных математических задач, значительно ускорить процессы анализа и интерпретации новой информации, в том числе в области профессиональной деятельности.
Данная статья посвящена рассмотрению ряда математических задач, которые, на взгляд авторов статьи, могут мотивировать обучающихся к освоению профессиональных знаний, занятию учебно-исследовательской работой уже с первого курса, а также развивать у них навыки проведения вычислительных экспериментов с использованием ИКТ, в частности базы знаний WolframAlpha [1].
Решение многочисленных прикладных и профессиональных задач сводится к решению систем уравнений. По этой причине первой задачей, рассматриваемой в статье, является задача решения систем линейных алгебраических уравнений. Эта задача касается поведения точных решений двух слабо различающихся систем линейных алгебраических уравнений, в которых даже очень малое изменение правой части приводит к существенному изменению её решения (рис. 1, рис. 2). [2] На примере такой задачи обучающиеся знакомятся с так называемыми плохо обусловленными задачами. Проводя вычислительный эксперимент (для этого необходимо только изменять значения элементов матрицы при неизвестных и в столбце свободных членов в запросе, который будет вводиться в командную строку базы знаний WolframAlpha), можно исследовать влияние малых изменений элементов матрицы при неизвестных или в столбце свободных членов.
Например, запрос для матричного решения системы уравнений:
|9,7х + 6,6у = 9,7 [4,1 + 2,8у = 4,1
имеет вид: {{х},{у}}={{9.7,6.6},{4.1,2.8}}Л(-1).{{9.7},{4.1}}, в результате выполнения которого получаем решения системы (рис. 1)
Рис. 1 Решение системы линейных алгебраических уравнений
В случае изменённых векторов свободных членов данной системы нетрудно заметить, что запрос будет иметь следующий вид: {{х},{у}}={{9.7,6.6},{4.1,2.8}}л(-1).{{9.7},{4.11}} (рис.2).
{i*>.iy>}-{{9.7,6.6),{4.1 ДвЙЧ-1 И9.ЗД11}» *« I
в e в ii ::: Web Apps = Examples Random
Input: ill /9.7 6.6 -s-i / 9.7 \ l.y.1 '1.4.1 2.8 J 'U.llJ Орел code
Result oa
Soliftlon: x as 0.34, у a 0.97
® Download page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE
Рис. 2 Решение системы линейных алгебраических уравнений
В следующей задаче рассмотрим пример решения нелинейного уравнения. Из большого числа примеров, иллюстрирующих применение различных алгоритмов решения нелинейных уравнений, в качестве примера можно выбрать уравнение:
х3 - 2 х - 5 = 0.
Этот выбор обосновывается историческими причинами. «Я называю знаменитым х3 - 2х - 5 = 0 уравнением по той причине, что оно было единственным, на котором Валлису удалось показать метод Ньютона, когда он его впервые опубликовал, вследствие чего это уравнение непременно служило примером каждому изобретателю нового способа численного решения уравнений. Придумайте численный метод, не показывая его действия на этом уравнении, и вы будете пилигримом, не входящим через малые ворота» (Письмо de Morgan^ к Whewel^ , от 20 января 1861 г). Ученик de Morgan"a по методу Горнера нашёл корень этого нелинейного уравнения с точностью до 51 значащей цифры, равным x=2,094551481542326591482386540579302963857306105628239. Впоследствии, в 1850 году, корень был найден до 101 десятичного знака [3]. Решение данного нелинейного уравнения методом Ньютона, методом бисекции (половинного деления) и методом секущих, используя базу знаний WolframAlpha, осуществляется с помощью запросов следующего вида: solve xA3-2*x-5=0 Newton's method (рис. 3) solve xA3-2*x-5=0 bisection method (рис. 4) solve xA3-2*x-5=0 secant method (рис. 5)
е
т н ш *т
¡гЛсгргсгв^-зг:
юЬг /"-¡»-Ё-О I мп N ^угил'в гггИю(1
,т - ЭДМВ14№Ш1Г
£/тЬг:сТс[та& Ье^аг Лсгагог:
Ь.1 -ь---- 3^-2
^ L-.li.af | 1 а^ | в ВША. | А Г--1П ^ | А
¿ТСрЕ | | —™™ .
Пп1Ч 1 ЩиЬяцЧгчП:
№ега::ап йздшп:
ТГГТ ,.
У / («И
/
/
/ /
Рис. 3. Решение уравнения методом Ньютона
Рис. 4. Решение уравнения методом половинного деления
■
| 5-о1уе и зесаят тйИо^
1грь~ ¡тетргаасоп:
1 вЕуг дс* — 2 ж — 5 * О
В: ■Л'еЬ А.с-р е. — Ьхаггс-'е= Й:апск>гг
«сап! тсгИсиЗ
ПехЫя: Я" — 2-0^*55 »не
"""Ч рпяпСш »з - О в, та Л"» ~
ЁугпЬоЛр Лмгтт ог | ЪГ &н «лань
- 2 л,-1 -5)
- 2 Хш-4 + 1-2^1
I МО« ! 1 я™« .яде. 1
I» тпсКни» ришаъп
Ижгнйоп кВавдлгпс
Рис.5. Решение уравнения методом секущих
Решение данного нелинейного уравнения с помощью базы знаний WolframAlpha можно осуществить без указания метода решения (рис. 6).
i _ в к-З-Э^и-б-О 1 а
я т я* SI Web Apfys = tianx »e? uc£ lían dorn
interpret ntor: lotwc ** - 2i-S »Q
Results: Í 45 - V 3929 ч- V 45 - V 1929
• 4Í45 -V 1929 < — L - ■ VIT 1 ■} 45 <- * / 1929
(-1 -tVHjyt 45 - V1929 + . (VT+«1^-45 f 1929
Э2*1
Ra at pkHL
15 м 5
1 л ^^-«Г u u
Рис. 6. Пример решения уравнения solve xA3-2*x-5=0 без указания выбора метода
Корень уравнения может быть вычислен с любой точностью. Способы задания точности нахождения корня представлены на рисунке 7.
Пример. Задание точности вычислений 1 способ
Marc die -s.
Многократное нажатие кнопки после получения результата вычислений
:. Ivv >':■ 1" . :: U Q
Н В Ш ^ 131 webАрр5 S Е*лгПр1е& Random
(количества значащих цифр) результата. 2 способ
Ввод запроса в командную строку
solve хА3-2*х-5=0 to 195 digits
solve x'3-2-x-5-Q
Input Interpretation:
lalvc x3 - 2x-5 = 0
I Fewer JgitTj Jjiorr dig'ls Z:
2.09455148154232Й5Ч14В238654П5793 Q2963 85 73 QlS] 05 62 82391803041 28529Q' 4531218998348366714626728177715775786083952118906296345984514039 842081282370173965531394055476160225828188949Í443972226659155954
2Л945514В1ЭД232б59141ШВйЭДа57ЧЗП29бЗа5730й1П5б2В2391ВП30412852ОТ 453121В99ВЭ4вЭбб71402б72В17771577578&083952118906296345984514039 Í4ÍÚ8128237U17306553134405S4761í02258281889491 A4 3972226659155954
L0472757407711632957411932702896514819286530528141195901520б42б4 522656094991741833573133640888578878930419760594531481729922 570199210406411850869827656970277380801129140944745721986113 32957797725 -
L13593988908892818624&492629029436671186321Е2719507632605012823 50033170021320993404803267499142079234937713155514128745845054 20734364930395522893174237108862046566639117456178185195162683 463783431
- 1.047Z7574C77H6329S741193270289651« 192865 305 2814U95901520642É4 52Í65609499174183Э57313Эб40в8в5788?89304] 97605*531431729922-570199210406411850вМв27б5607027738080112914044474S7I1986 ИГ 3295779773-
1,135939KB9flH»92Bl 8634549263Ш943667118632112719507633605013833 50033170021320993404803267499142079254937713155514128745845054 20734364930Э95522893174237108862046566639]17456178165I«162883 4637834í
1.047275740771163295741193270289651481928653052814119590152064264 522656094991741833573133640888578878930419760594531481729922 570199210406411850869827656970277380801129140944745721986113 . 32957797725 -
1.13593988908892818б245492б2902943бб7118632112719507632605012S23 50033170021320993404803267499142079234937713155514128745845054 20734364930395522893174237108862046566639117456178185195162683 46378343 i
-1.0472757407711б3295741193270289051«1928б53052а14П95Ч01520б42б4 522656094991741833573133640888578S789304] 9760594531*81Т29922' 570199210406411в50869в27б56970277380в01129140944745721986113". 3295779773-
1.1359398В90В892818б24*192б2Ч02943бб7118632112719507632605012833 5003317(Ю21320993404803267499142079234937713155514128745345054 207343649303955228931742371088020465666391174S6178185195162683 46,17834 г
Рис. 7. Решение уравнения x3-2x-5=0 с точностью до 195 значащих цифр
Достаточно часто при решении некоторых профессиональных задач будущий инженер сталкивается с необходимостью интегрирования дифференциальных уравнений. В этой связи следующим классом задач, которые описываются в статье, является задача нахождения общего и частного решения дифференциальных уравнений. В данном случае может
представлять интерес пример, который демонстрирует влияние неточности исходной информации на поведение его решения.
Пример. Решить уравнение y'(x)=y(x)-ax при заданных начальных условиях: y(0)=b, где a, b — постоянные величины и проанализировать поведение полученного решения при различных значениях a и b.
Используя запрос вида: solve {y'(x)=y(x)-a*x, y(0)=b}, получим решение рассматриваемого уравнения в аналитической форме с указанием вида дифференциального уравнения (рис. 8)
Рис. 8. Решение дифференциального уравнения у'(х)=у(х)-ах, у(0)=Ь
Преобразуем полученное решение (рис. 8) к следующему виду: у(х) = (-а + Ь)■ ex + а(1 + х). В частном случае, при а=1, Ь=1 точное решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид у(х)=(1+х). Нетрудно заметить, что если начальное условие задано с точностью 0,01 (1%), то решение уравнения может находиться в пределах от у1 = х + 0,01 ■ ех +1 и до у2 = х - 0,01 ■ ех +1 (рис. 9, 10, 11).
y1= x+0.01*eAx+1
y2=x- 0.01*eAx+1
Рис. 9. Решения дифференциального уравнения при различных начальных условиях
I -0.01 *е* 3+3+1 to 5 digits в 1
т & т ъ с:: Web Apps = Examples Randorn
Assumirg "е" i a mathematical corstart! U se ;'3" as a unit и —
o.ob'+a+i 5üiam Орел «de
Result 3,7991
I 0.01 *е*3+3+1 to 5 digits В 1
Hi ai Si Web App'i = Examples ^C Random
Assuming <■ s a marhemaiical cons
O.Ol i3 +3+1 S digif:
Üper ккм ¿5)
4,2009
Рис. 10. Относительная ошибка 5 % при X=3
-O.Ol + 6 +1 5 digit*
Орел caric -'У
2.«57
P-DU' + i + l S dtpti
Dpmr.fc®
Hmric 11.034
Рис. 11. Относительная ошибка 58 % при X=6
При x=3 относительная ошибка в определении у достигает 5%, а при x=6 уже составляет - 58%. Относительная ошибка быстро возрастает с ростом переменной х. Ошибка уже заложена в исходной информации. Подобного рода ошибку называют внутренней неустойчивостью [4].
Познавательный интерес обучающихся, как показывает практика, повышается и за счет включения заданий, интегрирующие фундаментальные и специальные знания, с одной стороны и приводящие к некоторым «парадоксам» и «нестыковкам», с другой. Примером такой задачи может служить задача, которую условно назовем «Задача о математической истинности арифметических операций и поглощении, диффузии медленных нейтронов». Данная задача позаимствована из [5].
Проведем вычисление следующего числового выражения: 0,25.._7,8 104 2'0,048
20 1,1 2,04 -105 0,021 + 0,09 (рис. 12), используя запрос:
(0.25/20)*(sqrt(13)/l.l)*((7.8*10A4)/(2.04*10A5))*((2*0.048)/(0.021+0.019))))) to 3 digits
Г: web Ад>£ = biarnpües эй калdorn
Ar ai:enpi was. made ta fix гг srnaie-iecl pitntticsei, trar^ets. or braces
inpui irtsrpreiatQr:
DJS ЛЗ ?,8 liT i fl.iMi 1 lii.Cl
20 1.1 2.04 10» 0.521 .0.0151
Res Lit:
0.0376
Рис. 12. Точность вычислений 3 значащие цифры
В результате получим значение числового выражения, равное 0,0376.
Поразмышляем о данном выражении с различных точек зрения (включая точку зрения Ферми).
«а) Если предположить, что в результате вычислений получим целое числам (выражение возведем в квадрат, освободимся от знаменателей и будем считать все в тысячных долях единицы). То равенство можно рассматривать как предсказание о результате некоторого «физического эксперимента»: возьмем две группы по 48 предметов (2-0,048), затем повторим это действие 78 000 раз (*7,8-104 ) и т. п. Следовательно, арифметика целых чисел есть «физика собирания предметов в кучки».
б) С математической точки зрения вычисление, конечно, производится иначе: оно состоит из серии некоторых стандартных преобразований левой части тождества. Так, группа символов слева, скажем 0,25/20 заменяется на 0,0125 и т. п. Такая точность вычислений гарантирует «физическую истинность» результата. (Разумеется, Ферми округляет левую часть; и без вычислений ясно, что его равенство не может быть верным буквально, потому что число-^Тз — иррационально.)
в) Для Ферми смысл этого вычисления резюмируется следующей фразой: «Группа A... является столь узкой энергетической полосой, что в процессе замедления через нее проходит только 4% нейтронов» (4 % — это 0,038 справа.). Ясно, что к такому выводу непосредственно прийти нельзя. Ни раскладывание 78 000 кучек по 96 предметов, ни деление 0,096 уголком на 0,04 сами по себе не имеют никакого отношения к нейтронам. Математическое рассуждение входит в физический текст вместе с актом его физического истолкования; именно этот акт и есть самое поразительное в современной физике.
Как бы то ни было, уже на нашем простом примере видны три аспекта математической истинности. Условно их можно обозначить как содержательную истинность, формальную правильность, или доказуемость, и адекватность физической модели» [5].
Таким образом, можно резюмировать, что удачно подобранные математические примеры и задачи, являющиеся средством решения профессиональных задач, позволяют мотивировать обучающихся к учебной деятельности. Кроме того, использование ИКТ помогает преодолевать рутинные вычислительные процедуры, не нарушая логики излагаемого учебного материала, а также позволяет обучающимся проводить вычислительные эксперименты с заданной точностью вычислений и развить их информационную культуру. «Внедрение информационных технологий должно быть направлено на поднятие конструктивной активности, стимулирование познавательной деятельности, развитие умений находить, анализировать и систематизировать нужную информацию...» [6].
Ссылки на источники
1. WolframAlpha: Computational Knowledge Engine. Режим доступа: http://www.wolframalpha.com/ - [20.11.2017].
2. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение: Пер. С англ.- М.: Мир, 1998.- 575 с., ил.
3. Э. Уиттекер и Г. Робинсон Математическая обработка результатов наблюдений, перев. с англ. В. М. Озерецкого, Н. С. Самойловой и В. П. Цесевича, под ред. проф. Н. М. Гюнтера, изд. 2-е, ОНТИ 1935, 364 с.
4. Мак-Кракен Д., Дорн У Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. - М.: Мир, 1977 - 584 с.
5. Манин Ю. И. Математика как метафора. — М.: МЦНМО, 2008. — 400 с.
6. Клоков А.С., Ламонина Л.В., Смирнова О.Б., Сорокин А.Н. К вопросу о возможностях использования свободного и открытого программного обеспечения при обучении бакалавров // Электронный научно- методический журнал Омского ГАУ. - 2017. -№3 (10) июль - сентябрь. - URL http://ejournal.omgau.ru/images/issues/2017/3/00368.pdf. -ISSN 2413-4066
Aleksandr Klokov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Lyudmila Lamonina
Senior Instructor
FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
Oksana Smirnova
Senior Instructor
FSBEI HE Omsk SA U, Omsk
On Some ICT Opportunities in Increasing the Motivation of Bachelor's Degree Students in
Engineering Areas of Training
Annotation. In the article some directions of increase of motivation of bachelors of engineering directions of preparation are considered. One of such trends in modern society is associated with the use of ICT in solving practical problems. The article describes a number of mathematical problems that serve as a means of solving particular practical problems. The ways of solving such mathematical problems are integrated with the possibilities of using ICT.
Keywords: increase of motivation, ICT, practical tasks, math problems, integration.
