О некоторых свойствах секвенциального замыкания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2003, вып. 11, с. 21-27

УДК 515.122:515.126.2

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ СЕКВЕНЦИАЛЬНОГО

ЗАМЫКАНИЯ

А.А. Чемёркин

In this paper it is proved that the operation of sequential closure generates some topology on a set. Properties of this topology are considered.

Пусть (У, т) — топологическое пространство. Замыкание множества А С X в топологии т будем обозначать el А (или при необходимости с\ТА).

Определение 1. Подмножество А топологического пространства (Х,т) называется секвенциально замкнутым, если оно содержит предел каждой своей сходящейся последовательности. Наименьшее секвенциально замкнутое множество, содержащее множество А, называется его секвенциальным замыканием и обозначается scl А.

Приведем основные свойства секвенциального замыкания в следующей лемме (см., например, [1, с.4], [2, с.14]).

Лемма 1. Для любых А, В С X верно

1. scl0 = 0

2. А С scl А С el А

3. А секвенциально замкнуто ФФ- А = scl А 4- scl (scl А) = scl А

5. А с В =>■ scl А С scl В

6. scl (A U В) = scl A U scl В 1. scl (А П В) С scl А П scl В.

Из леммы 1 следует, что оператор, который каждому подмножеству X сопоставляет его секвенциальное замыкание, является оператором Куратовекого, следовательно, на X существует единственная топология, операция замыкания в которой совпадает е операцией секвенциального замыкания в исходной топологии г (ем. [3, с.68]). Эту топологию будем называть секвенциальной 'топологией, ассоциированной с г, и обозначим sr. Замкнутые множества в топологии st — это множества, секвенциально замкнутые в т, и для каждого А С X selT А = elST А.

© 2003 А.А. Чемёркин

E-mail: archem-math@mail.ru Омский государственный университет

22 А.А. Чемёркии. О некоторых свойствах секвенциального замыкания

Предложение 1. Множество А С X открыто в топологии sr тогда и только тогда, когда

Ух Є А , VС X ( хп -Д х в т =ї 3п0 Є N : Уп > щ хп Є А). Доказательство. Необходимость.

Пусть А открыто в sr, тогда А = X \ В, где В секвенциально замкнуто в т. Допустим, что существуют х (г .1 н последовательность {х„ }•„ . С X, для которых утверждение предложения не выполнено, то есть

і„Ді в г и VieN Зщ > k : хПк Є В.

Очевидно, что каждое из чисел пk (к Є N) можно выбирать так, что п^+і > щ, то есть найдется подпоследовательность {./•„. }•/,. •. последовательности {х„ лежащая в В. Так как д-яв топологии т, то хПк ДївгиїЄВ, поскольку В секвенциально замкнуто в т. Получили противоречие с тем, что х Є А. Достаточность.

Если предположить, что В = X \ А не является секвенциально замкнутым в топологии т, то существует последовательность {х„ }• „. . С В, сходящаяся в т к некоторому элементу х Є А. Тогда найдется номер п Є N, для которого хп Є А. Получили противоречие. ■

Предложение 2.

1. Топология sr мажорирует топологию т.

2. Сходящиеся последовательности в топологиях т и sr одни и те же.

3. Если на множестве X заданы две топологии г и а, сходящиеся, последовательности в которых одни и те же, то sr = sa. В частности, секвенциальная топология, ассоциированная с топологией sr, совпадает с пей.

Доказательство.

1. Утверждение непосредственно следует из того, что замкнутое множество является секвенциально замкнутым.

2. Так как sr У г , то последовательность, сходящаяся в sr, сходится и в т. Покажем обратное. Пусть хп —>• х в т и V Є Op (У, sr) — окрестность точки х в sr. Тогда по предложению 1 существует номер % Є N такой, что для каждого н > н,і хп Є V, следовательно, хп Щ х в sr.

3. Следствие утверждения 2 и предложения 1. ■

Определение 2. Топологическое пространство (У, т) будем называть секвенциальным, если топологии т и sr совпадают (см. также [4, с.94]).

Класс секвенциальных пространств достаточно широк. Например, любое топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности (тем более полуметризуемое пространство), является секвенциальным (см. [3, с.105]). Однако наличие первой аксиомы счетности не является необходимым условием для секвенциальности пространства (см. [4, с.95]). Используя [5, с.204], получаем следующий простой пример несеквенциального пространства.

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

23

Пример 1. Рассмотрим несчетное множество X (например множество вещественных чисел R) и две топологии т и о на нем. Топологию т возьмем дискретной, открытыми множествами в топологии о назовем X. 0 и дополнения до конечных или счетных подмножеств множества X. Легко видеть, что последовательность {.Г„ }•„ . сходится к элементу X Є X в топологии о тогда и только тогда, когда найдется такой номер щ\ Є N, что для каждого и > хп = х, то есть сходящиеся последовательности в топологиях г н л одни и те же. Тогда st = so (см, утверждение 3 предложения 2), причем sr = т (так как sr У т и т является дискретной топологией). То есть so — дискретная топология и, следовательно, so Ф о.

Пусть Р(Х) — множество всех подмножеств множества X. Определим оператор S ■,V{X)^V{X) по следующему правилу

S(A) = {х Є X | 3 {х„ }•„. . С А : хп —)■ х в г}-, где А С X.

Для п Є N положим Sn+1(A) = S(Sn(Л)),

Предложение 3.

1. Для каждого подмножества А С X верно А С S(Л).

2. Если A d В и В секвенциально замкнуто, то для любого п Є N Sn(Л) С В.

3. Пусть {(Xj,Tj)\j Є J} — семейство топологических пространств и на

П Xj задана топология произведения, тогда 5(П Aj) = ф[ S{Aj), где Aj С JGJ j£J jeJ

xr

Доказательство.

1, Если x Є А, то последовательность хп = х (п Є N) сходится к х н. следовательно, х Є 5(П),

2, Доказательство проведем индукцией по п Є N. Пусть п = 1 и х Є S(A), тогда найдется последовательность {./•„ }•„ . С А С В, которая сходится к .г в топологии т, откуда получаем, что х Є В, так как В секвенциально замкнуто, то есть S(A) С В. Пусть далее S" (. 1) с В, проводя аналогичные рассуждения, как и для п = 1, получаем, что Sn+l(A) С В.

3, Через Рі (і Є J) обозначим операторы проектирования Xj на Хі. Тогда

ieJ

последовательность { Х„ }• „ . с } J Xj СХОДИТСЯ В ТОПОЛОГИИ произведения К Ч 10-

PJ

менту х (г } J Xj тогда и только тогда, когда для любого і Є J 1){х„ } —>• /'(./•) в PJ

топологии Ті (см,, например, [3, с,129]), откуда и получаем требуемое равенство.

Из утверждения 2 следует, что для каждого п Є N S"'(A) С м-1.1. В следующем примере показано, что для любого п Є N можно указать топологическое пространство X и его подмножество А, для которого Sn(A) = м-1.1. так же построено пространство X и множество В С X такое, что (J Sn(B) ф sel В.

Пример 2. Рассмотрим множество Cq(R) непрерывных на R функций с ком-

24 А.А. Чемёркии. О некоторых свойствах секвеициалвиого замыкания

пактным носителем. Множества вида

ІД = {хє Со (К) | Vt Є R \x(t)\ < p(t)} , где // e C(R), p > 0

образуют базу окрестностей нуля (функции, тождественно равной нулю) некоторой линейной топологии т на C0(R). Последовательность С C0(R)

сходится в топологии т к функции <д Є C0(R) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1, Существует компакт К в R такой, что для любого п Є N верно включение supp (рп С К.

2, На компакте К последовательность <д„ сходится к <д равномерно. Действительно, пусть последовательность {<Дп}пеМ сходится к нулю в смысле условий 1, 2, Возьмем базисную окрестность нуля в топологии т I /( и положим a = min //(/). где К — компакт из условия 1, тогда a > 0 в силу теоремы

Вейерштрасса, Из условия 2 следует, что найдется номер по Є N такой, что для любого п > п0, для любого t Є R |<д„(Д| < а, то есть <д„ Є ТД и, следовательно, {<Oi}neN сходится к нулю в топологии т.

Пусть теперь последовательность {<ДП}ПЄМ сходится к нулю в топологии т. Тогда <д„ сходится к нулю равномерно на R (для доказательства этого достаточно в качестве функций ц из определения базисных окрестностей нуля брать сколь угодно малые постоянные). То есть нужно показать только выполнение условия 1, Предположим, что (J supp9?„ не ограничено сверху (случай неограниченности снизу рассматривается аналогично), тогда можно найти такие возрастающие последовательности {пД*,ем С N и С R, что <д„ДД) ф О,

Положим ц(Д) = ^nk^tk^ [k е N), p(t) = p(ti) при t < t\, и на каждом из промежутков [tk,tk+1] определим функцию ц как отрезок прямой, соединяющей точки (Д, p(tk)) и (tk+1, p(tk+1)) на плоскости. Таким образом, ц Є C(R) и ц > О, то есть I /( — окрестность нуля в топологии т. Тогда существует «о Є N такой, что для любого п> щ (рп Є ТД Однако

Vn Є N ЗА: Є N : nk > п и > д(Д).

Полученное противоречие показывает, что У supp ipn ограничено сверху.

Таким образом, сходимость последовательности к нулю в топологии

т равносильна сходимости ее к нулю в смысле условий 1, 2, Осталось лишь заметить, что <д„ сходится к <д (как в т, так и в смысле условий 1, 2) тогда и только тогда, когда (рп — <д сходится к нулю.

Далее зафиксируем функцию <д0 Є C0(R) такую, что уд > 0 и уд ф 0 тождественно, Определим функции (pm(t) = <До(~) (тп Є N) и, используя идею О,Г, Смолянова [6, с,15], рассмотрим множество

Аі = і — + \ m, е N, Аем} .

I т к )

Покажем, что 5(Пх) Д S'2 (АД = scl

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

25

Рассмотрим последовательность функций {VVi}neN С . ф. она определяется двумя последовательностями натуральных чисел {///„ }•„. . и {/,•„ }■ таких, что фп = — + ду2-. Если последовательность {///„ }•„. •. не ограничена, то носители

фп не могут лежать в одном компакте (если ф 0 г, точке о Є R, то ipm ф О

в точке rna и фп(тпа) Ф 0), То есть, если фп сходится в т, то тп ограничена.

Далее, если kn ограничена, то возможна сходимость лишь к элементу из А, если

же kn не ограничена, то фп может сходиться только к функции вида — (р е N),

Р

Таким образом,

5(А1) = А1и{^|рем}.

Причем функция ф = 0 не принадлежит >'(.ф ). однако ф Є S2(.ф ). так как

последовательность — сходится в топологии т к ф при р -д оо. Легко видеть,

Р

что S'2 (уф) = (дії)U{ф} и S'2 (уф) = scl А\, потому что S'2 (уф) содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей.

Далее определим функции <pmn{t) = <д0 {ууфру) (m-> п Є N) и зададим множество

і2 = (Д + ^ + Дд|тЄМ,пеН^ем},

I т n к )

Рассуждая аналогично, получаем, что

S(A2) = Л2 U { — + — I m е N, п Є МІ ,

I тп )

И далее

52(Л2) = 5(Л2)и{^|рем}.

То есть ф є S3(A2) \ S2(A2) и S3(A2) = S2(A2) U {ф} = sclA2, Определяя Pki...k„(t) = Щ (т----—), продолжаем строить множества Ап, причем для

каждого п е N имеем ф е Sn+l(An)\Sn(An) и Sn+l(An) = Sn(An)U {ф} = sclAn. Теперь определим пространство X = Н Хп, где Хп = Со (К) (п Є N), причем

на X зададим топологию произведения. Рассмотрим подмножество В = \\ Ап

П&І

пространства X. Для к Є N имеем Sk(B) = П Sk(An) (см, предложение 3),

Так как ф є Sk+1(Ak) \ Sk(Ak), то Sk(B) ф. Sk+1(B), следовательно, ни одно из множеств Sk(B) (к Є N) не является секвенциально замкнутым, то есть не может совпадать с секвенциальным замыканием В. Более того, множество С = (J Sn(B) также не совпадает с scl В. Действительно, рассмотрим поеледо-

вательность {Ф„ }•„. . С С, где Ф п = (ф,. . . ,Ф, рп+1, рп+2, • • • )• причем функция ф стоит на первых п местах, а на остальных стоят произвольные функции рт из соответствующих множеств Л,„. Тогда Ф„ сходится к Ф = (ф, ф,..,) в топологии произведения, однако Ф не принадлежит С.

Далее наряду с X в тексте будет фигурировать еще одно топологическое пространство Y. Топологии, заданные на X и Y, будем обозначать п и т2, а через ад, st2 обозначим секвенциальные топологии, ассоциированные с д и т2, соответственно,

26 А.А. Чемёркии. О некоторых свойствах секвенциального замыкания

Предложение 4.

1. Секвенциально непрерывное отображение (X,Ti) в (У, т2) является непрерывным отображением, (X,sti) в (У, st2), верно и обратное.

2. Топологии тг и sti совпадают тогда и только тогда, когда каждое секвенциально непрерывное отображение (X, Ті) в любое пространство (У, т2) непрерывно.

Доказательство.

1, Секвенциально непрерывное отображение (Х,Ті) в (У, т2) обозначим через

/, Для доказательства непрерывности / покажем, что прообраз открытого множества открыт. Рассмотрим V Є Ор(У, sr2), покажем, что /-1(У) Є Ор(У, sti). Воспользуемся критерием открытости В ТОПОЛОГИИ ST\ (ем, предложение 1), Пусть X Є f-l{V) И последовательность СХОДИТСЯ К X В ТОПОЛОГИИ Ті,

тогда f(xn) -Д f(x) в т2 (так как / — секвенциально непрерывно). Так как f(x) Є V и V открыто в топологии st2 , то по предложению 1 существует номер щ Є N, такой что для каждого п > щ }'{хп) Є V, следовательно, хп Є /-1(У), откуда имеем /-1(У) Є Op (У, sti).

Покажем обратное. Пусть / является непрерывным отображением (X, sti) в (У, зт2) и последовательность {х„ }• „ •. сходится в топологии Ті к элементу х Є X. По утверждению 2 предложения 2 х„ -д .г г, sti. Тогда f(xn) -Д f(x) в топологии st2, откуда по тому же утверждению получаем, что f(xn) -Д f(x) в т2. Следовательно, отображение / : (Х,ті) -д (У, т2) секвенциально непрерывно,

2, Необходимость, Если / — секвенциально непрерывное отображение (X, ті) в (У, т2), то по утверждению 1 / непрерывно отображает [X, т-\) в (У, st2). Пусть V С У — открытое множество в топологии т2, так как st2 >: т2, то V открыто и в зт2, следовательно, /_1(У) открыто в ті. Таким образом, / является непрерывным отображением (X, гД в (У, т2).

Достаточность, Нужно лишь показать, что ті У sr1; так как топология sti всегда мажорирует топологию ті. Тождественное отображение I из (У, гД в [X, sti) секвенциально непрерывно (см, утверждение 2 предложения 2), следовательно, непрерывно. Пусть множество V открыто В STi, прообраз I^l(V) открыт В Ті, причем / 1 (Г) = V, откуда получаем ті >: sti. ■

Теорема 1. Отображение / топологического пространства (X, тД в топологическое пространство (У, т2) секвенциально непрерывно тогда и только тогда, когда для, каждого подмножества А в X /(selT1 А) С sclT2 f(A). Доказательство. Так как sclT1 А = elST1 А и selT2 f(A) = clST2 /(. 1). то приведенное выше включение равносильно следующему: /(clST1 А) С elST2 f(A), которое в свою очередь выполнено в том и только в том случае, когда / непрерывно как отображение (X, этД в (У, st2) (см, [3, с, 122]), после этого замечания теорема становится непосредственным следствием утверждения 1 предложения 4, ■

Уже в процессе подготовки статьи к печати выяснилось, что справедливость того, что прообраз секвенциально замкнутого множества при секвенциально непрерывном отображении секвенциально замкнут, а также необходимость утверждения теоремы 1 была установлена К.В. Мельниковым в 1992 году.

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

27

Литература

1. Мельников Е.В. Векторнозначные распределения и обобщенная корректность абстрактной задачи Коши. / Омский гос. ун-т. Омск, 1988. Деи. ВИНИТИ 15.03.1988. №1994 - В88. 79 с.

2. Мельников Е.В. Топологические вект,орпы,е пространства. Методические указания. Омск: ОмГУ, 1990. 43 с.

3. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968. 384 с.

4. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

5. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. 250 с.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965. 328 с.