О некоторых свойствах оператора синтеза, ассоциированного с альтернативным дуальным фреймом Текст научной статьи по специальности «Математика»

2, Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006,

3, Спеньер Э. Алгебраическая топология, М,:Мир, 1971,

УДК 517.51+517.98

С.А. Крейс

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА СИНТЕЗА, АССОЦИИРОВАННОГО С АЛЬТЕРНАТИВНЫМ ДУАЛЬНЫМ ФРЕЙМОМ

Пусть X - банахово пространство и X* - сопряженное к нему. Далее, пусть задано банахово пространство Xd, состоящее из числовых последовательностей а = {ап} и удовлетворяющее следующему условию: система канонических ортов {гп} образует базис в Xd.

Определение 1. Пусть заданы линейные ограниченные операторы А : Xл ^ Х^и В : X ^ X. Оператор Б : Xd ^ X называется сплетающим для пары [А, В], если коммутативна диаграмма

X X

Б

Б

т.е. если имеет место равенство

Б А = ВБ.

Определение 2. Пусть заданы системы {хп} С X и {уп} с X*. Для всех х € X имеет место принадлежность {(х,уп)} € Xd. Предположим, что существуют положительные постоянные А, А, В, В такие, что для любого х € X выполняется неравенство

А \\х\\х - \\{(х,Уп)}\\ха - В \\х\\х (1)

и любого у € X* выполняется неравенство

А \\у\\х* - \\{(хп,у)}\\х* - В \\у\\х* (2)

44

Если при этом справедлива формула восстановления

то

х = ^ ^ (x, уп) хп, (3)

п= 1

то пара систем {хп} и {уп} образует кросс-фрейм.

Замечание. Данное определение было введено в [1]. Кросс-фрейм в банаховом пространстве - это аналог альтернативных дуальных фреймов в гильбертовом пространстве.

Рассмотрим пару {хп}, {уп}, образующую кросс-фрейм. Известно [1], что мы можем задать оператор синтеза Б : X^ ^ X, действующий по формулам

Ба = ^(ап,Хп).

Тогда очевидно, что пространство коэффициентов нуль-рядов совпадает с ядром оператора Б: N = Кег (Б).

Наряду с оператором синтеза также введем оператор Я : X ^ Х^:

Ях = {(х, Уп) }

Теорема 1. Пусть определен линейный ограниченным оператор А : Х^ ^ Х^ Б - оператор синтеза. Тогда, существование такого оператора В : X ^ X, что Б является сплетающим для пары [А, В}, эквивалентно принадлежности А (^) С N.

В

существует. Рассмотрим произвольный нуль-ряд Подействуем

оператором А на последовательность (сп):

^ Асп ^п = Б (Асп) = БА (сп) = В Б (сп) = В 0Х = 0. Таким образом, А ^) С N.

Достаточность. Пусть теперь А ^) С N то есть го равенства Бс =0 сразу следует Б Ас = 0. Определим опер атор В следующим образом: В (Б (сп)) = Б А (сп) для всех (сп) Е Xd. Так как опер атор Б сюрьективеп, В определен на всем пространстве X. Из предположения следует В0х = 0 Также легко убедиться, что В - линейный и ограниченный оператор.

В:

X ^ X Б - оператор синтеза. Если существует такой оператор А :

Xd ^ Xd, что Б является сплетающим для пары [А, В]7 то он имеет следующий вид:

А = ШБ + Ао,

где А0 - такой оператор, что А0 (Xd) С N. Доказательство. Рассмотрим равенство

ВБ = Б А.

Подействуем операторами в левой и правой части тождества на оператор Я:

ВБЯ = БАЯ. (4)

Так как для кросс-фрейма верпа формула восстановления (3), то Б Я = = 1х, и ЯБ = 1Хл — Р (см. [1]), где Р - проектор та пространство N. Перепишем формулу (4) с учетом вышесказанного:

В = БАЯ.. (5)

Теперь рассмотрим конструкцию ЯВБ. С учетом (5) получаем

ЯВБ = ЯБАЯБ.

Отсюда следует:

ЯВБ = (I — Р) А (I — Р) = А — АР — РА + РАР.

По теореме 1 А ^) С N. Тогда положим А0 = АР + РА — РАР.

Очевидно, что А0 ^л) С N и А = ЯВБ + А0. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект МК-З^б.2009.1) и РФФИ (проект 10-01-00097-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Крейс С.А. Альтернативные дуальные фреймы в банаховых пространствах// Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 36-38.