Неподвижные точки толерантных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Коробченко

УДК 513.6

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ТОЛЕРАНТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

В статье получен аналог теоремы Брауэра о неподвижных точках для толерантных отображений.

Толерантное пространство [1] является наиболее общей математической моделью понятия схожести и предсталяет собой пару (X, т), где X — множество, а т С X х X — рефлексивное бинарное отношение, называемое отношением толерантности. Принято записывать для краткости х\тх2 вместо (х^ х2) £ т и называть точки Ж! и х2 толерантными.

Максимальные по включению подмножества Ь С X, все точки которых попарно толерантны, называются классами толерантности.

Отношение эквивалентности £Т такое, что

х!£Тх2 ^^ т < х! >= т < х2 >, где т < х >= {х' £ X|х'тх},

называется ядерным, и его классы еТ < х > называются ядрами толерантности, и обозначаются х. Если классы толерантности интерпретируются как признаки, по которым устанавливается сходство (толерантность), то ядра — это все элементы, имеющие одинаковый набор признаков. Если все ядра толерантности таковы, что х = {х}, то пространство (X, т) называется безъядерным.

Определение 1. Отображение / : (X, т) —> (У,@) толерантных пространств называется сильно толерантным, если

Если отображение f удовлетворяет лишь первому свойству из (1), то отображение f называется толерантным. Для безъядерных пространств оба понятия толерантности и сильной толерантности совпадают.

отображение. Неподвижной точкой отображения / называется точка х £ X такая, что f(х)тх.

Для толерантных простанств развита гомотопическая теория [2], в которой роль единичного отрезка I = [0,1] С К берут на себя толерантные отрезки (1П, ¿п), где

х!тх2 /(x!)9f (х2), х^тх2 /(х!)е0/(х2).

(1)

Определение 2. Пусть f : (X, т) —> (X, т) — толерантное

Определение 3. Два (сильно) толерантных отображения

/о,/ : (X, т) (У, в)

называются толерантно гомотопными, что записывается /0 ~ /1? если найдется п € Ми (сильно) толерантное отображение

^ : (X х /п,т х 1П) (У,в)

такие, что

(Ух € X) /о(х) = ^(х,0), /1 (х) = ^(х, 1).

Определение 4. Толерантное пространство (X, т) называется

толерантно стягиваемым, если тождественное отображение толерантно

гомотопно постоянному.

Каждое толерантное пространство (X, т) определяет

симплициальный комплекс S (X), вершинами которого являются

ядра толерантности, а симплексы — это конечные наборы ядер

с попарно толерантными представителями. При этом сильные

толерантные отображения индуцируют, согласно свойствам (1),

симплициальные отображения. По симплициальному комплексу S(X)

строится (см. [1]) цепной комплекс С(X, к) = ф Сд(X, к), где Сд(X, к) —

ч>о

линейное векторное пространство над к, базисом которого являются ориентированные симплексы

[Хо,Х1,... ,Хд], (У = 0,д) хгтх^. (2)

/

гомоморфизм

/# = {(/#)* : С(X, к) Сд(У,к)}д>о,

который на базисе определяется формулой

(Уд ^ 0) /#([хо, х1,..., хд]) = [/(хо),..., /(жд)]. (3)

Комплекс С(X, к) определяет пространство Н(х,к) = ф Н(X, к)

^о

гомологий толерантного пространства (X, т), а цепное отображение /# индуцирует линейное отображение гомологий:

/ = {(/)д : Н(X,k) Нд(У,к)}?>о.

Следующая теорема является толерантным аналогом известной теоремы Брауэра о неподвижных точках.

Теорема 1. Если толерантное пространство (X, т) имеет конечное число классов и является толерантно стягиваемым, то любое сильно толерантное отображение f : (X, т) —> (X, т) имеет неподвижную точку.

Доказательство. Из предложения 1.2.5 работы [2] и толерантной стягиваемости пространства (X, т) следует гомотопность f ~ 1х. Отсюда по теореме 2.2.1 из [2] получаем = (1х)* = 1 н(х,к). Это позволяет вычислить число Лефшеца [3] оператора которое определяется формулой

а(Д.) = Еыгтгш, .

^о

В самом деле, согласно предложению 2.2.3 из [2], имеем

№ {ok:q=o0;

Отсюда следует, что A(f*) = A(1H(X,k)) = 1.

Так как в (X, т) конечное число классов, то число ядер тоже будет конечным. Это значит, что пространство C(X, 0) будет конечно порожденным. Следовательно, имеет место теорема Хопфа (см. [3, теорема 4.7.6.]), т.е.

A(f#) = Af = 1 = 0.

Отсюда, по определению числа Лефшеца, следует, что

(3q ^ 0) Tr(f#)q = 0. (4)

Из (4), (3) и определения следа Tr получается, что

(3[x0,...,xq]) (f#)q ([x0,...,xq]) = [/ (хГ0),...:/ (fq)] = [x0 : . . . , Xq]. (5)

Наконец из (5) и (2) получаем

(3q ^ 0)(3ж0,... , Xq G X) f (жг)тжг,

что и доказывает теорему.

Замечание. Примерами пространств (X, т), для которых имеет

(n n \

X Im., X ¿m. I .

i=1 i=1 J

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zeeman E.C. The topology of brain fnd visual perception // The topology of 3-Manifolds/ Ed. M.K. Fort, 1962.

2, Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006,

3, Спеньер Э. Алгебраическая топология, М,:Мир, 1971,

УДК 517.51+517.98

С.А. Крейс

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА СИНТЕЗА, АССОЦИИРОВАННОГО С АЛЬТЕРНАТИВНЫМ ДУАЛЬНЫМ ФРЕЙМОМ

Пусть X - банахово пространство и X* - сопряженное к нему. Далее, пусть задано банахово пространство Xd, состоящее из числовых последовательностей а = {ап} и удовлетворяющее следующему условию: система канонических ортов |еп} образует базис в Xd.

Определение 1. Пусть заданы линейные ограниченные операторы А : Xd ^ Х^п В : X ^ X. Оператор Б : Xd ^ X называется сплетающим для пары [А, В], если коммутативна диаграмма

X X

5

5

т.е. если имеет место равенство

Б А = ВБ.

Определение 2. Пусть заданы системы {хп} С X и {уп} с X*. Для всех х € X имеет место принадлежность {(х,уп)} € Xd. Предположим, что существуют положительные постоянные А, А, В, В такие, что для любого х € X выполняется неравенство

А ||х||х — ||{(х,Уп)}||х — В ||х||х (1)

и любого у € X* выполняется неравенство

А ||у||х* — ||{(хп,у)}||Х* — В 11у 11х* (2)

44