CC BY
25
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 514.76
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОГО МАКСИМАЛЬНО ПОДВИЖНОГО РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА V4
© А. И. ЕГОРОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: rector@spu-penza.ru
Егоров А. И. - О некоторых свойствах одного максимально подвижного риманова пространства V4 // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 9-10. - В статье рассматривается риманово пространство V4 с группой движений G8 . В этом максимально подвижном пространстве находятся ковариантно постоянные независимые векторные поля % (%%) .
Ключевые слова: группа движений; ковариантно постоянное векторное поле; риманово пространство.
Egorov A. I. - About some properties of a maximum mobility of Riemannian space V4 // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 9-10. - This article describes the Riemannian space with a group of motion G8 . In this maximally mobile space independent covariantly constant vector fields % (%%) are found.
Keywords: group of motion, independent covariantly constant vector fields, riemannian space.
В работе рассматриваются некоторые свойства одного риманова пространства V4 нулевой сигнатуры с группой движений G8 максимального порядка. Метрика такого пространства V4 в некоторой, локальной системе координат имеет следующий вид:
ds2 = 2dx1dx3 + 2dx2dx4 +(x4j (dx3j . (1)
Это риманово пространство V4 нулевой сигнатуры впервые рассматривалось профессором Егоровым И. П. в его известной монографии [1].
1. В римановом пространстве V4 (1) решается вопрос о существовании ковариантно постоянных независимых векторных полей % . Система из шестнадцати уравнений в частных производных первого порядка, определяющая ковариантно постоянные векторные поля имеет следующий вид:
z!j =f%j+rj” = о, (2)
где
ГЗ4 = г4з = -Г323 = x4, (i, j = 1,2,3,4), (3)
остальные составляющие Г^ равны нулю.
Условия интегрируемости рассматриваемой системы имеют следующий вид:
%3 = 0 ; %4 = 0 .
Интегрируя эту систему уравнений получим, что необходимо:
=ах; £,2 = а2; £,3 = 0; £,4 = о},
где {а1, а2 } е R,
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ
Физико-математические и технические науки •
№ 18 (22) 2010 г.
или
I = {ах; а2;0;0}. (4)
Найденное векторное поле \ изотропное и оно содержит два независимых векторных поля:
і = {1;0;0;0}, | = {0;1;0;0}. (5)
1 2
Следовательно, мы приходим к следующему выводу:
ТЕОРЕМА 1. В максимально подвижномримановом пространстве V4 (1) всегда существует точно два независимых ковариантно постоянных изотропных векторных поля (6).
2. Рассмотрим далее некоторые свойства тензора кривизны Rjjke риманова пространства V4 (1) .
Составляющие объекта аффинной связности Г1]к (3) могут быть также записаны в следующем виде:
Г)к = А^1к + Б'С]к, (і,у,к = 1,2,3,4)
где
А =81; Б =82 ; Dз4 = D43 = х4 ; С33 = х4 ; остальные Djк, Сук равны нулю. Нетрудно убедиться, что составляющие тензора кривизны Rіjke риманова пространства Р4 (1) имеют следующую специальную структуру:
І = 8'8 у -Че , (Є = ±1) (6)
(і, і, к, I = 1,2,3,4)
где
1) є у,к = 0 ; єке = -єек .
2) єке = АкБе - АеБк (простой бивектор)
3) е2 = 0 (нильпотентный бивектор, то есть 8ур&Р = 0 ),
где
е34 =-е43 =-1, А3 =-1; Б4 = 1, ^434 = 1,
остальные е у = 0 , Аі = 0, Бу = 0, Rjjke = 0.
Таким образом, имеет место следующий вывод.
ТЕОРЕМА 2. Тензор кривизны Rjjke риманова пространства V4 (1) необходимо имеет структуру (6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности // Учёные записки Пензенского педагогического института. Казань: Изд. КГУ, 1965. С. 3-179.
