О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МАКСИМАЛЬНО ПОДВИЖНЫХ ПРОСТРАНСТВ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ $A_n ( x )$ НЕНУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.76

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МАКСИМАЛЬНО ПОДВИЖНЫХ ПРОСТРАНСТВ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ An (x) НЕНУЛЕВОЙ

КРИВИЗНЫ

© А. И. ЕГОРОВ

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г. Белинского,

кафедра математического анализа e-mail: julia5507@mail.ru

Егоров А. И. — О некоторых свойствах максимально подвижных пространств аффинной связности An (ж) ненулевой кривизны // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 89-92. - В статье рассматриваются пространства пространства аффинной связности An (ж), допускающие группы движений максимального порядка r = n2. В этих максимально подвижных пространствах находятся ковариантно постоянные независимые векторные поля Ключевые слова: группа движений, ковариантно постоянные векторные поля

Egorov A. I. — About some properties of a maximally mobility spaces of affine connectivity An (ж) of nonzero curvature // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 8992. — In this article spaces of affine connectivity An (ж) are considered. They are supposing group of motion of the maximum order r = n2. In this maximally mobility spaces independent covariantly constant vector fields are found.

Keywords: group of motion, covariantly constant vector fields

В работе рассматриваются свойства максимально подвижных пространств аффинной связности Ап (ж). Профессор И.П. Егоров в своей известной монографии [1] определил все пространства аффинной связности Ап (ж) с группой движений Ог максимального порядка (г = п2). Справедлива следующая теорема [1] :

ТЕОРЕМА. I. Коэффициенты связности Г*д, максимально подвижного пространства Ап (ж) ненулевой кривизны с транзитивной группой движений всегда можно привести к виду:

^ = г2і = ... = rni = --1-5^-, (є = ±1) (1)

2 11 21 •" n1 ж12 +4є

другие Г!-й = 0, если An (ж) - симметрическое пространство или к виду

1Г1 _г2 = =rn = (ж1 + 1) (2)

01 11 Г 21 = ... = Г n1 = Р . , (2)

2 ж1 + y другие коэффициенты связности равны нулю, y Є R, Y = — 1.

II. Обратно, всякое пространство Ап (х), коэффициенты связности которого определяются этими формулами, где 7 € Д, 7 = -1, является максимально подвижным пространством ненулевой кривизны.

Рассмотрим вопрос о существовании ковариантно-постоянных векторных полей а (а® (х)) в пространствах аффинной связности (1), (2).

1. Сначала проведем рассуждения для пространств Ап (х) (2). Наша задача найти векторные поля а (а® (х)), чтобы

4 = дХ7 +Г^'а" =0, (^' = 1, 2,...,п). (3)

Система (3) есть система, содержащая п2 уравнений, в частных производных первого порядка. При решении системы (3) необходимо рассмотреть три возможных случая:

а) Эллиптический тип: 7 > 0, (7 = 72),

б) Гиперболический тип: 7 < 0, (7 = —72),

в) Параболический тип: 7 = 0.

Из условий интегрируемости системы уравнений (3) следует, что необходимо в нашем случае:

а1 = 0.

(4)

Система (3) имеет точно (п — 1) независимых решений.

Приведем эти решения системы (3) отдельно для каждого типа: а); б); в).

Следовательно, для максимально подвижных пространств аффинной связности Ап (ж) ненулевой кривизны мы получим:

1. Эллиптический тип 7 > 0, (7 = 72):

аі = і0;л/ж12 + 72 ■ е^агсіз^; 0; ...;0

а2

(а)

2. Гиперболический тип 7 < 0, (7 = —72):

— атсЬз — г. і ; 0;...; ( 0; 0; •-/ж12 + 72 ■ еттатсізХГ;...; 0

-1 = < 0; 0; 0; ...; ^ж12 + 72 ■ е71 71

Ж

аі

а2

V*12 — 72 ■ (іТ-^)2,1 ;0;- ;0}

0.0^ ■ (§т^)2,і;...;0

2Т1

ап — 1 —

1

0; 0; 0; ...0; /ж2-^2 ■ (^) 271

3. Параболический тип 7 = 0:

(с) <

а1 = -I 0; ж1 ■ е х1 ; 0;...; 0 а2 = І0; 0; ж1 ■ е- Х1;...; 01

ап-1 = |0;0;0;...; ж1 ■ е х1 |

п

МАТЕМАТИКА »»»»»

Далее исследуем структуру тензорных полей ДЗ^, Дзк, Дгі,н, (і, І, к, І = 1, 2, 3, ...п) характеризующих пространство Ап (ж) (2).

Находим для пространства (2) ненулевые составляющие тензора кривизны Д*^:

ДП2 = ДИ3 = ... = ДПп = -Т“““ “2 ; (7 = -1) (5)

(ж12 + 7)

остальные составляющие Д^ = 0.

Ненулевые составляющие тензора Риччи Дав имеют вид: Дц = (1+72)(1 ,22); остальные составляющие

(ж1 +7)

Дзз = 0, с Є Д,

Убеждаемся также, что тензор Риччи представим в виде:

Дав = є (1 - п) \а\р, (є = ±1), (а, в = 1, 2, ..., п) Аа,в сАаАв, С ^ Д,

(6)

(7)

Л _ ^е(^+1) Аі = / ,2 —г

где

41 =

А2 = 0,

л/е(7+1) ’

причем считаем, что

є = +1, если 7 + 1 > 0, є = -1, если 7 + 1 < 0.

2. Рассмотрим теперь симметрическое пространство Ап (ж) (1). Составляющие объекта аффинной связности этого пространства Ап (ж) в некоторой системе координат можно представить в виде (1).

В этом пространстве также рассмотрим вопрос о существовании независимых векторных полей а {а® (ж1, ж2,..., жп)} , которые являются ковариантно-постоянными. Таким образом, наша задача найти независимые векторные поля а {а® (ж1, ж2,..., жп)} , чтобы ковариантная производная от них равнялась нулю:

да®

0, (8)

'3 дж^'

(где г,з = 1, 2, ...,п).

Интегрируя систему (6), получим, что в нашем случае:

И <

а1

аі

, 0; %/ж12 + 4є; 0;...; 0 , 0; 0; Vж12 + 4є;...; 0І ,

г-1 = {0;0;0;...; ^ж12 + 4є| .

Далее исследуем структуру тензорных полей Д*кг, Дзк, (і, І, к, І =1, 2, 3, ...п) характеризующих пространство Ап (ж) (1).

Находим для рассматриваемого пространства ненулевые составляющие тензора кривизны ДЗ^

(і,І, к, І = 1, 2, 3, ...п):

23 Д112 = Д113

п

Д11п

- , і24е—ту, остальные составляющие ДЗ^ = 0.

(ж +4є)

Ненулевые составляющие тензора Риччи Дав имеют вид:

2

с

Ап = 0

Д11 = ^4^(1^-П)2; остальные составляющие Д^- = 0. Убеждаемся также, что тензор Риччи представим в виде:

Дав = £ (1 - п) АаАв, (а, в = 1, 2, ..., п)

Аа,в = 0

(9)

где

А2 = 0,

Дав, 7 0,

Ап = 0,

причем считаем, что

є = +1, если £ =1, є = -1, если £ = -1.

Итак, мы приходим к следующему основному выводу:

ТЕОРЕМА: I Максимально подвижные пространства аффинной связности Ап (ж) (2) допускают точно (п - 1) ковариантно-постоянных независимых векторных полей. Эти векторные поля имеют вид (а), (Ъ), (с) в некоторой системе координат. Тензор Риччи рассматриваемых пространств имеет структуру (6). II Максимально подвижные симметрические пространства аффинной связности Ап (ж)также допускают точно (п - 1) ковариантно-постоянных независимых векторных полей. Эти векторные поля имеют вид (¿).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности. Ученые записки. Пензен. пед. ин-та. Казань: Изд. КГУ, 1965, с. 3-179.