Научная статья на тему 'О некоторых свойствах минимальных вершинных расширений орграфов'

О некоторых свойствах минимальных вершинных расширений орграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
99
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абросимов Михаил Борисович, Моденова Ольга Владимировна

Some properties of minimal vertex extensions of directed graphs are studied, and analysis of the results of computational experiment on the construction of minimal vertex 1-extensions of oriented graphs with the number of vertices up to 6 is given.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On properties of minimal extensions of orgraphs

Some properties of minimal vertex extensions of directed graphs are studied, and analysis of the results of computational experiment on the construction of minimal vertex 1-extensions of oriented graphs with the number of vertices up to 6 is given.

Текст научной работы на тему «О некоторых свойствах минимальных вершинных расширений орграфов»

Рис. 1. Дерево G и его минимальное реберное 1-расширение

Рис. 2. Сверхстройное дерево G и его минимальное реберное 1-расширение

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.

3. Абросимов М. Б. Минимальные расширения неориентированных звезд // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов, 2006. Вып 7. С. 3-5.

4. Абросимов М. Б., Комаров Д. Д. Минимальные реберные расширения сверхстройных деревьев с малым числом вершин // Саратов: Саратов. гос. ун-т, 2010. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 18.10.2010 № 589-В2010.

5. Кабанов М. А. Об отказоустойчивых реализациях графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов, 1997. Вып.1. С.50-58.

УДК 519.17

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ ОРГРАФОВ

М. Б. Абросимов, О. В. Моденова

Симметризацией орграфа GG = (V, а) называется неограф G = (V,, (a U а-1)\Д), то есть симметризация орграфа получается заменой дуг ребрами и удалением петель.

В работе [1] удалось найти некоторые связи точных вершинных k-расширений орграфов с точными вершинными k-расширениями неографов. Приведем некоторые из полученных результатов.

Теорема 1. Пусть (С * — точное вершинное к-расширение орграфа (С. Тогда отношения смежности а и а* являются одновременно либо рефлексивными, либо анти-рефлексивными.

Теорема 2. Пусть (С* —точное вершинное к-расширение орграфа (С. Тогда симметризация (* является точным вершинным к-расширением симметризации СС.

Теорема 3. Пусть (С —диграф с числом вершин больше 1, тогда его точное вершинное к-расширение, если оно есть, также будет диграфом.

Теорема 4. Пусть (* —точное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда дополнение (* является точным вершинным к-расширением дополнения (.

Обратным орграфом, или обращением орграфа ( = (V, а) называется орграф ( = (У,0), получающийся заменой ориентации всех дуг (: в = а 1 = {(и, у) Е Е V х V : (у,и) Е а}.

Теорема 5. Пусть (* — точное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда обращение (* является точным вершинным к-расширением обращения (.

Точное вершинное к-расширение является частным случаем минимального вершинного к-расширения. При переходе к минимальным вершинным к-расширениям от точных вершинных к-расширений некоторые из полученных свойств сохранились. Удалось получить следующие результаты.

Теорема 6. Пусть (* —минимальное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда отношения смежности а и а* являются одновременно либо рефлексивными, либо антирефлексивными.

Теорема 7. Пусть (* —минимальное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда симметризация (* является вершинным к-расширением симметризации (.

Теорема 8. Пусть (* —минимальное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда обращение (* является минимальным вершинным к-расширением обращения (.

Отдельный интерес представляет случай, когда минимальное вершинное к-расши-рение диграфа также является диграфом. Был проведен вычислительный эксперимент по построению минимальных вершинных к-расширений всех диграфов с числом вершин до 6. В работе рассматриваются полученные в ходе эксперимента результаты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов М. Б., Долгов А. А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2007. №23. С. 211-216.

УДК 519.178

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ДРЕВОВИДНОЙ ШИРИНЫ ГРАФА

В. В. Быкова

Древовидная ширина — числовой параметр, характеризующий меру древовидности графа. Графы с ограниченной древовидной шириной образуют специальный класс графов, называемых частичными к-деревьями. Этот класс графов был введен четверть

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.