CC BY
28
а б
Рис. 1. МВ-1Р цикла Cn при чётных n
аб Рис. 2. МВ-1Р цикла Cn при нечётных n
Количество минимальных вершинных 1-расширений Cn
|V | m Количество МВ-1Р
3 8 1
4 8 1
5 11 7
6 11 1
7 14 60
8 14 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Минимальные k-расширения предполных графов // Изв. вузов. Математика. 2003. №6(493). С. 3-11.
2. Heyes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.
УДК 519.17
К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ ТОЧНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ
М. Б. Абросимов, А. А. Долгов
Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом (далее неографом). Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом или диграфом.
Граф G* называется точным вершинным k-расширением графа G, если любой граф, получающийся удалением произвольных к вершин графа G*, изоморфен графу G.
Точное вершинное к-расширение является частным случаем минимального вершинного к-расширения. Известно, что в общем случае граф может иметь много неизоморфных минимальных вершинных к-расширений. В работе [1] доказывается, что если неограф с числом вершин n > 1 имеет точное вершинное k-расширение, то оно является и его минимальным вершинным к-расширением, более того, неограф с числом вершин n > 1 может иметь только одно точное вершинное к-расширение. Если бы оказалось, что некоторый граф G имеет два или более точных вершинных 1-расширения, то эти графы были бы нереконструируемыми, так как они имели бы одинаковый набор максимальных подграфов, который состоит из единственного графа G. Для ориентированных графов ситуация оказывается более сложной, так как, с одной стороны, нет полного описания общего вида точных вершинных к-расширений, а с другой стороны, известно, что существуют нереконструируемые орграфы.
Пара 3-вершинных турниров (циклическая тройка и транзитивная тройка) являются неизоморфными точными вершинными 1-расширениями одного и того же 2-вершинного турнира. Для точных вершинных 1-расширений с числом вершин больше 3, являющихся транзитивными турнирами или вершинно-симметрическими орграфами, единственность доказана [2, 3]. В этих же работах описываются результаты вычислительного эксперимента, который показал, что все точные вершинные 1-расширения орграфов с числом вершин 2 < n ^ 12 являются единственными.
Известно, что орграфы в общем случае являются нереконструируемыми. Так, семействами нереконструируемых диграфов являются шесть семейств Стокмейера [4]. Удалось установить следующий результат.
Теорема 1. Диграфы из семейств Стокмейера не являются точными вершинными 1-расширениями никаких орграфов.
Полученный результат означает, что если существует орграф с числом вершин больше 2, который имеет два или более неизоморфных точных вершинных 1-расширения, то число вершин этого орграфа не менее 13, а его точные вершинные 1-расширения являются нереконструирумыми и не входят ни в одно известное семейство нереконструируемых орграфов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Минимальные расширения дополнений графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 4. С. 11-19.
2. Абросимов М. Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 187-190.
3. Абросимов М. Б., Долгов А. А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2007. №23. С. 211-216.
4. Stockmeyer P. A Census of non-reconstructable digraphs, I: six related families // J. Combinat. Theory. 1981. V.31. P. 232-239.
