Научная статья на тему 'О минимальных вершинных 1-расширениях циклов с вершинами двух типов'

О минимальных вершинных 1-расширениях циклов с вершинами двух типов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
75
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абросимов Михаил Борисович, Бондаренко Полина Павловна

For cycles with vertices of two types where one vertex is of the first type and other vertices are of another type, the minimal vertex extensions are described.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Minimal extensions for cycles with vertices of two types

For cycles with vertices of two types where one vertex is of the first type and other vertices are of another type, the minimal vertex extensions are described.

Текст научной работы на тему «О минимальных вершинных 1-расширениях циклов с вершинами двух типов»

№4 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2011

Секция 7 ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.17

О МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ 1-РАСШИРЕНИЯХ ЦИКЛОВ С ВЕРШИНАМИ ДВУХ ТИПОВ

М. Б. Абросимов, П. П. Бондаренко

Неориентированным графом называется пара С = (V, а), где а — симметричное и антирефлексивное отношение смежности на множестве вершин V. Здесь и далее основные определения даются по работе [1].

Будем рассматривать неориентированные графы, в которых вершины имеют разные типы или окрашены в разные цвета.

Вложением графа С1 = (VI, а1) в граф С2 = С^2,а2) называется взаимно однозначное отображение ^ : V1 ^ ^, при котором сохраняются типы вершин и для всех и,^ € У1 выполняется условие: если (и,^) € а1, то (^(м),^(^)) € а2.

Граф С* = (V*, а*) называется минимальным вершинным к-расширением (МВ-кР) п-вершинного графа С = (V, а) с вершинами р типов, если выполняются следующие условия:

1) С* является вершинным к-расширением С, то есть граф С вложйм в каждый подграф графа С*, получающийся удалением любых его к вершин;

2) С* содержит п + к ■ р вершин;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Отказоустойчивость — способность системы противостоять ошибке и возможность продолжать работу в присутствии этой ошибки. Дж. П. Хейз в работе [2] предложил графовую модель для построения отказоустойчивых реализаций заданной системы. Он рассмотрел минимальные вершинные к-расширения для цепей и циклов с однотипными вершинами, а также минимальные вершинные 1-расширения деревьев с вершинами разного типа. В данной работе рассматриваются циклы с вершинами двух типов: одна вершина первого типа, а остальные вершины — другого типа. Удалось получить следующие результаты.

Теорема 1. Минимальные вершинные 1-расширения цикла Сп с вершинами двух типов (одна вершина первого типа, а остальные вершины — другого типа) имеют (3п + 4)/2 ребер при четном п и (3п + 5)/2 — при нечетном п.

Теорема 2. Одно из минимальных вершинных 1-расширений цикла Сп с вершинами двух типов (одна вершина первого типа, а остальные вершины — другого типа) имеет вид, показанный на рис. 1,а для п = 4к; на рис. 1,б —для п = 4к + 2; на рис. 2,а — для п = 4к + 1 и на рис. 2,б —для п = 4к + 3.

Выполнен компьютерный эксперимент, в результате которого сгенерированы все неизоморфные минимальные вершинные 1-расширения рассматриваемых циклов с числом вершин до 8. Полученные данные представлены в таблице.

а б

Рис. 1. МВ-1Р цикла Cn при чётных n

аб Рис. 2. МВ-1Р цикла Cn при нечётных n

Количество минимальных вершинных 1-расширений Cn

|V | m Количество МВ-1Р

3 8 1

4 8 1

5 11 7

6 11 1

7 14 60

8 14 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов М. Б. Минимальные k-расширения предполных графов // Изв. вузов. Математика. 2003. №6(493). С. 3-11.

2. Heyes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.

УДК 519.17

К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ ТОЧНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ

М. Б. Абросимов, А. А. Долгов

Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом (далее неографом). Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом или диграфом.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.