CC BY
25
№4 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2011
Секция 7 ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.17
О МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ 1-РАСШИРЕНИЯХ ЦИКЛОВ С ВЕРШИНАМИ ДВУХ ТИПОВ
М. Б. Абросимов, П. П. Бондаренко
Неориентированным графом называется пара С = (V, а), где а — симметричное и антирефлексивное отношение смежности на множестве вершин V. Здесь и далее основные определения даются по работе [1].
Будем рассматривать неориентированные графы, в которых вершины имеют разные типы или окрашены в разные цвета.
Вложением графа С1 = (VI, а1) в граф С2 = С^2,а2) называется взаимно однозначное отображение ^ : V1 ^ ^, при котором сохраняются типы вершин и для всех и,^ € У1 выполняется условие: если (и,^) € а1, то (^(м),^(^)) € а2.
Граф С* = (V*, а*) называется минимальным вершинным к-расширением (МВ-кР) п-вершинного графа С = (V, а) с вершинами р типов, если выполняются следующие условия:
1) С* является вершинным к-расширением С, то есть граф С вложйм в каждый подграф графа С*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) С* содержит п + к ■ р вершин;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
Отказоустойчивость — способность системы противостоять ошибке и возможность продолжать работу в присутствии этой ошибки. Дж. П. Хейз в работе [2] предложил графовую модель для построения отказоустойчивых реализаций заданной системы. Он рассмотрел минимальные вершинные к-расширения для цепей и циклов с однотипными вершинами, а также минимальные вершинные 1-расширения деревьев с вершинами разного типа. В данной работе рассматриваются циклы с вершинами двух типов: одна вершина первого типа, а остальные вершины — другого типа. Удалось получить следующие результаты.
Теорема 1. Минимальные вершинные 1-расширения цикла Сп с вершинами двух типов (одна вершина первого типа, а остальные вершины — другого типа) имеют (3п + 4)/2 ребер при четном п и (3п + 5)/2 — при нечетном п.
Теорема 2. Одно из минимальных вершинных 1-расширений цикла Сп с вершинами двух типов (одна вершина первого типа, а остальные вершины — другого типа) имеет вид, показанный на рис. 1,а для п = 4к; на рис. 1,б —для п = 4к + 2; на рис. 2,а — для п = 4к + 1 и на рис. 2,б —для п = 4к + 3.
Выполнен компьютерный эксперимент, в результате которого сгенерированы все неизоморфные минимальные вершинные 1-расширения рассматриваемых циклов с числом вершин до 8. Полученные данные представлены в таблице.
а б
Рис. 1. МВ-1Р цикла Cn при чётных n
аб Рис. 2. МВ-1Р цикла Cn при нечётных n
Количество минимальных вершинных 1-расширений Cn
|V | m Количество МВ-1Р
3 8 1
4 8 1
5 11 7
6 11 1
7 14 60
8 14 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Минимальные k-расширения предполных графов // Изв. вузов. Математика. 2003. №6(493). С. 3-11.
2. Heyes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.
УДК 519.17
К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ ТОЧНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ
М. Б. Абросимов, А. А. Долгов
Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом (далее неографом). Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом или диграфом.
