Вычислительные аспекты древовидной ширины графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1. Пусть (С * — точное вершинное к-расширение орграфа (С. Тогда отношения смежности а и а* являются одновременно либо рефлексивными, либо анти-рефлексивными.

Теорема 2. Пусть (С* —точное вершинное к-расширение орграфа (С. Тогда симметризация (* является точным вершинным к-расширением симметризации СС.

Теорема 3. Пусть (С —диграф с числом вершин больше 1, тогда его точное вершинное к-расширение, если оно есть, также будет диграфом.

Теорема 4. Пусть (* —точное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда дополнение (* является точным вершинным к-расширением дополнения (.

Обратным орграфом, или обращением орграфа ( = (V, а) называется орграф й = (у,®, получающийся заменой ориентации всех дуг (: в = а 1 = {(и,г>) € € V х V : (V, и) € а}.

Теорема 5. Пусть (* — точное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда обращение (* является точным вершинным к-расширением обращения (.

Точное вершинное к-расширение является частным случаем минимального вершинного к-расширения. При переходе к минимальным вершинным к-расширениям от точных вершинных к-расширений некоторые из полученных свойств сохранились. Удалось получить следующие результаты.

Теорема 6. Пусть (* —минимальное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда отношения смежности а и а* являются одновременно либо рефлексивными, либо антирефлексивными.

Теорема 7. Пусть (* —минимальное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда симметризация (* является вершинным к-расширением симметризации (.

Теорема 8. Пусть (* —минимальное вершинное к-расширение орграфа (. Тогда обращение (* является минимальным вершинным к-расширением обращения (.

Отдельный интерес представляет случай, когда минимальное вершинное к-расши-рение диграфа также является диграфом. Был проведен вычислительный эксперимент по построению минимальных вершинных к-расширений всех диграфов с числом вершин до 6. В работе рассматриваются полученные в ходе эксперимента результаты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов М. Б., Долгов А. А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2007. №23. С. 211-216.

УДК 519.178

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ДРЕВОВИДНОЙ ШИРИНЫ ГРАФА

В. В. Быкова

Древовидная ширина — числовой параметр, характеризующий меру древовидности графа. Графы с ограниченной древовидной шириной образуют специальный класс графов, называемых частичными к-деревьями. Этот класс графов был введен четверть

века назад Н. Робертсоном и П. Д. Сеймуром [1]. Широкий интерес к изучению древовидной ширины графа вызван тем, что многие NP-трудные задачи теории графов, возникающие в различных приложениях, в том числе при моделировании надежности и безопасности компьютерных и коммуникационных систем, полиномиально разрешимы, если модельный граф — частичное k-дерево. В этих условиях процесс решения задачи может быть организован по принципу «разделяй и властвуй», причем алгоритмическая эффективность достигается за счет разложения модельного графа на части с помощью небольших (мощности не более k) сепараторов [2].

Древовидная ширина графа вычисляется через специальную графовую структуру, которая называется деревом декомпозиции. Дерево декомпозиции графа G = (V, E) представляет собой пару (X, T), где X = {Xi : і Є I} — семейство подмножеств множества V, называемых «мешками», а T = (I, W) —дерево, узлам которого сопоставлены эти «мешки», и выполняются следующие условия:

1) U X = V;

ІЄІ

2) для всякого ребра графа G обязательно имеется хотя бы один «мешок», содержащий обе вершины этого ребра;

3) для любой вершины v Є V графа G множество узлов {і Є I : v Є Xi} индуцирует связный подграф, являющийся поддеревом дерева T.

Ширина дерева декомпозиции (X, T) равна max{|Xi| — 1}. Древовидная ширина,

ІЄІ

(treewidth ) графа G определяется как наименьшая ширина всех допустимых его деревьев декомпозиции и обозначается через tw(G). Дерево декомпозиции (X, T) ширины tw(G) называется оптимальным деревом декомпозиции графа G. Заметим, что для каждого связного графа G множество возможных деревьев декомпозиции не пусто и конечно. Когда граф G несвязен, то полагают tw(G) = 0. Следовательно, древовидная ширина tw(G) может быть вычислена для любого конечного графа G.

При условии связности графа G = (V, E) верны естественные границы значений древовидной ширины: 1 ^ tw(G) ^ |V| — 1. Древовидная ширина отражает, насколько близок граф G к дереву, и определяет размеры его клик и сепараторов: чем меньше tw(G), тем ближе граф G к дереву и тем меньше у него по мощности клики и сепараторы. Так, все n-вершинные деревья (n ^ 2) имеют единичную древовидную ширину, размер всякой клики такого дерева равен 2, а каждый сепаратор — точка сочленения. Считается, что граф G обладает ограниченной древовидной шириной, если tw(G) ^ k и k — положительная целая константа, не зависящая от | V|. Например, если G — последовательно-параллельный граф, то tw(G) ^ 2, а для всякого графа Халина неизменно tw(G) ^ 3. Однако значения tw(G) всегда зависят от |V| для полных графов и графов типа «сетка» — графов, составленных из правильных многогранников.

Установить, имеет ли заданный граф ограниченную древовидную ширину, не всегда просто. В [3] доказана NP-полнота следующей задачи: для графа G = (V, E) и целого числа 0 < k < |V| верно ли, что tw(G) ^ k? Данное теоретическое препятствие не мешает на практике вычислять древовидную ширину графа во многих ситуациях. Во-первых, известны точные неполиномиальные по времени алгоритмы нахождения tw(G), основанные на методе динамического программирования и методе ветвей и границ [4, 5]. Разработаны также FPT-алгоритмы (Fixed-Parameter Tractable algorithms) [1, 6], способные при фиксированном k за время O(2k|V|O(1)) дать ответ на вопрос: tw(G) ^ k? Во-вторых, найдены алгоритмы полиномиальной сложности для некоторых специальных классов графов (хордальных, последовательно-параллельных и др.) [7, 8]. В-третьих, выявлены необходимые полиномиально проверяемые признаки

частичного к-дерева [3]. Так, если G = (V, E) —частичное k-дерево, то

|E| ^ k|V| - k(k + 1)/2.

В-четвертых, к настоящему времени предложены различные схемы приближений [9] и эвристические алгоритмы [10], позволяющие за полиномиальное время находить значения, близкие к истинному значению древовидной ширины графа. И наконец, актуальны границы возможных значений древовидной ширины графа и методы их уточнения.

В работе дан краткий обзор современных результатов по проблеме вычисления древовидной ширины. Представлены некоторые нижние и верхние оценки древовидной ширины, связывающие данный параметр с другими числовыми параметрами графа (наименьшей степенью вершины, числом вершинной связности, плотностью, хроматическим числом). Проанализировано их качество и сложность вычисления. Предложены и теоретически обоснованы полиномиальные по сложности алгоритмические методы улучшения этих оценок, основанные на немонотонности числовых параметров графа относительно операции удаления вершин графа и разложении графа сепараторами. В частности, доказано, что дерево блоков и точек сочленения графа G определяет дерево декомпозиции, ширина которого устанавливает верхнюю границу значений для tw(G).

Подробное изложение представленных результатов можно найти в [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Robertson N. and Seymour P. D. Graph minors. II. Algorithmic aspects of treewidth // J. Algorithms. 1986. V. 7. P. 309-322.

2. Kleinberg J. and Tardos E. Algorithm Design. Boston: Addison-Wesley, 2005.

3. Arnborg S., Corneil D. G., and Proskurowski A. Complexity of finding embeddings in a k-

tree // SIAM J. Alg. Disc. Math. 1987. V.8. P. 277-284.

4. Gogate V. and Dechter R. A complete anytime algorithm for treewidth // Proc. UAI’04.

Uncertainty in Artificial Intelligence. 2004.

5. Bodlaender H. L., Grigoriev A, and Koster A. M. C. A. On exact algorithms for treewidth // Proc. 14Th Annual European Symposium on Algorithms ESA. 2006. V. 4168. P. 672-683.

6. Bodlaender H. L. and Kloks T. Efficient and constructive algorithms for the pathwidth and treewidth of graphs // J. Algorithms. 1996. V. 21. P. 358-402.

7. Bodlaender H. L. and Rotics U. Computing the treewidth and the minimum fill-in with the

modular decomposition // Algorithmica. 2003. V. 36. P. 375-408.

8. Broersma H., Dahlhaus E., and Kloks T. A linear time algorithm for minimum fill-in and tree

width for distance hereditary graphs // Disc. Appl. Math. 2000. V. 99. P. 367-400.

9. Bouchitte V., Kratsch D., Muller H., and Todinca I. On treewidth approximations // Disc. Appl. Math. 2004. V. 6. P. 183-196.

10. Clautiaux F., Moukrim A., NegreS., and Carlier J. Heuristic and meta-heuristic methods for computing graph treewidth // RAIRO Oper. Res. 2004. V. 38. P. 13-26.

11. Быкова В. В. Вычислительные аспекты древовидной ширины графов // Прикладная дискретная математика. 2011 (в печати).