CC BY
19
УДК 519.17
О МИНИМАЛЬНЫХ РЕБЕРНЫХ 1-РАОШИРЕНИЯХ ДВУХ СЕМЕЙСТВ ДЕРЕВЬЕВ
М. Б. Абросимов, Д. Д. Комаров
Ациклический связный граф называется деревом. Дерево называется сверхстрой-ным, если все его вершины, кроме корня и листьев, имеют степень 2. Сверхстройное дерево можно рассматривать как объединение к цепей Р^,..., Ргк с общей концевой вершиной. Для однозначного задания сверхстройного дерева достаточно указать длины этих цепей: (¡1 — 1,... , 1^ — 1).
Задача описания минимальных реберных к-расширений для произвольного графа является вычислительно сложной [1], однако среди деревьев есть представители некоторых хорошо известных семейств графов, для которых известны аналитические решения. Например, цепь Рп является частым случаем дерева.
Теорема 1 [2]. Единственное минимальное реберное 1-расширение цепи Рп есть цикл Сп.
Звезда является частным случаем сверхстройного дерева (звезда — сверхстройное дерево, в котором нет вершин степени 2).
Теорема 2 [3]. Минимальное реберное 1-расширение звезды К^д. единственно с точностью до изоморфизма и получается соединением двух листьев звезды со всеми остальными листьями звезды и между собой.
Помимо этих двух результатов, на основе проведенного вычислительного эксперимента, результаты которого были частично описаны в [4], удалось выделить два, семейства деревьев, для которых также возможно аналитически построить минимальные реберные 1-расширения. В работе [5] рассматривались деревья, которые представляют собой одинаковые звезды с соединенными центрами. Удалось получить новый результат для деревьев подобного вида.
Теорема 3. Пусть граф О = (V, а) состоит из двух звезд с соединенными центрами (рис. 1). Построим граф О* = (V*,а*) из О по следующей схеме: выберем две произвольные вершины степени 1, расстояние между которыми равно 3; каждую из выбранных вершин соединим со всеми вершинами степени 1, расстояние до которых от неё равно 3. Полученный граф О* является минимальным реберным 1-расширением графа О.
Теорема 4. Пусть граф О = (V, а) —сверхстройное дерево, являющееся объединением к цепей длины 2 и п > 1 цепей длины 1 (рис. 2). Построим граф О* = (V*, а*) из О по следующей схеме: соединим с корнем все листья, расстояние от которых до корня равно 2; если п четное, то соединим попарно между собой все листья, расстояние от которых до корня равно 1; если п нечетное, то соединим один из листьев, расстояние от которого до корня равно 1, с двумя такими же листьями, а остальные листья, расстояние от которых до корня равно 1, кроме трёх уже задействованных, соединим попарно между собой. Полученный граф О* является минимальным реберным 1-расширением графа О.
Рис. 1. Дерево G и его минимальное реберное 1-расширение
Рис. 2. Сверхстройное дерево G и его минимальное реберное 1-расширение
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.
3. Абросимов М. Б. Минимальные расширения неориентированных звезд // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов, 2006. Вып 7. С. 3-5.
4. Абросимов М. Б., Комаров Д. Д. Минимальные реберные расширения сверхстройных деревьев с малым числом вершин // Саратов: Саратов. гос. ун-т, 2010. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 18.10.2010 № 589-В2010.
5. Кабанов М. А. Об отказоустойчивых реализациях графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов, 1997. Вып.1. С.50-58.
УДК 519.17
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ ОРГРАФОВ
М. Б. Абросимов, О. В. Моденова
Симметризацией орграфа GG = (V, а) называется неограф G = (V,, (a U а-1)\Д), то есть симметризация орграфа получается заменой дуг ребрами и удалением петель.
В работе [1] удалось найти некоторые связи точных вершинных k-расширений орграфов с точными вершинными k-расширениями неографов. Приведем некоторые из полученных результатов.
