Научная статья на тему 'О минимальных реберных 1-расширениях двух семейств деревьев'

О минимальных реберных 1-расширениях двух семейств деревьев Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
85
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абросимов Михаил Борисович, Комаров Дмитрий Дмитриевич

In this paper, we consider two families of trees: one family consists of superslim trees and another one of trees that are a combination of star graphs with adjacent centers. For these families, we propose schemes for constructing one minimal edge-1-extensions.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On minimal edge 1-extensions of two special form trees

In this paper, we consider two families of trees: one family consists of superslim trees and another one of trees that are a combination of star graphs with adjacent centers. For these families, we propose schemes for constructing one minimal edge-1-extensions.

Текст научной работы на тему «О минимальных реберных 1-расширениях двух семейств деревьев»

УДК 519.17

О МИНИМАЛЬНЫХ РЕБЕРНЫХ 1-РАОШИРЕНИЯХ ДВУХ СЕМЕЙСТВ ДЕРЕВЬЕВ

М. Б. Абросимов, Д. Д. Комаров

Ациклический связный граф называется деревом. Дерево называется сверхстрой-ным, если все его вершины, кроме корня и листьев, имеют степень 2. Сверхстройное дерево можно рассматривать как объединение к цепей Р^,..., Ргк с общей концевой вершиной. Для однозначного задания сверхстройного дерева достаточно указать длины этих цепей: (¡1 — 1,... , 1^ — 1).

Задача описания минимальных реберных к-расширений для произвольного графа является вычислительно сложной [1], однако среди деревьев есть представители некоторых хорошо известных семейств графов, для которых известны аналитические решения. Например, цепь Рп является частым случаем дерева.

Теорема 1 [2]. Единственное минимальное реберное 1-расширение цепи Рп есть цикл Сп.

Звезда является частным случаем сверхстройного дерева (звезда — сверхстройное дерево, в котором нет вершин степени 2).

Теорема 2 [3]. Минимальное реберное 1-расширение звезды К^д. единственно с точностью до изоморфизма и получается соединением двух листьев звезды со всеми остальными листьями звезды и между собой.

Помимо этих двух результатов, на основе проведенного вычислительного эксперимента, результаты которого были частично описаны в [4], удалось выделить два, семейства деревьев, для которых также возможно аналитически построить минимальные реберные 1-расширения. В работе [5] рассматривались деревья, которые представляют собой одинаковые звезды с соединенными центрами. Удалось получить новый результат для деревьев подобного вида.

Теорема 3. Пусть граф О = (V, а) состоит из двух звезд с соединенными центрами (рис. 1). Построим граф О* = (V*,а*) из О по следующей схеме: выберем две произвольные вершины степени 1, расстояние между которыми равно 3; каждую из выбранных вершин соединим со всеми вершинами степени 1, расстояние до которых от неё равно 3. Полученный граф О* является минимальным реберным 1-расширением графа О.

Теорема 4. Пусть граф О = (V, а) —сверхстройное дерево, являющееся объединением к цепей длины 2 и п > 1 цепей длины 1 (рис. 2). Построим граф О* = (V*, а*) из О по следующей схеме: соединим с корнем все листья, расстояние от которых до корня равно 2; если п четное, то соединим попарно между собой все листья, расстояние от которых до корня равно 1; если п нечетное, то соединим один из листьев, расстояние от которого до корня равно 1, с двумя такими же листьями, а остальные листья, расстояние от которых до корня равно 1, кроме трёх уже задействованных, соединим попарно между собой. Полученный граф О* является минимальным реберным 1-расширением графа О.

Рис. 1. Дерево G и его минимальное реберное 1-расширение

Рис. 2. Сверхстройное дерево G и его минимальное реберное 1-расширение

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.

3. Абросимов М. Б. Минимальные расширения неориентированных звезд // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов, 2006. Вып 7. С. 3-5.

4. Абросимов М. Б., Комаров Д. Д. Минимальные реберные расширения сверхстройных деревьев с малым числом вершин // Саратов: Саратов. гос. ун-т, 2010. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 18.10.2010 № 589-В2010.

5. Кабанов М. А. Об отказоустойчивых реализациях графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов, 1997. Вып.1. С.50-58.

УДК 519.17

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ ОРГРАФОВ

М. Б. Абросимов, О. В. Моденова

Симметризацией орграфа GG = (V, а) называется неограф G = (V,, (a U а-1)\Д), то есть симметризация орграфа получается заменой дуг ребрами и удалением петель.

В работе [1] удалось найти некоторые связи точных вершинных k-расширений орграфов с точными вершинными k-расширениями неографов. Приведем некоторые из полученных результатов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.