О некоторых свойствах функций из класса n(e) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009

Математика и механика

№ 3(7)

УДК 512.541

Э.Г. Кирьяцкий

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Сп(Е)

В данной работе изучаются свойства голоморфных в единичном круге E функций, разложение которых в степенной ряд начинается с zn, имеющих в единичном круге положительную вещественную часть п-й производной.

Ключевые слова: голоморфная функция, разделенная разность, класс Ка-ратеодори, класс Левандовского, оценки коэффициентов.

Через Сп (Е), п > 0 , обозначим класс голоморфных в единичном круге Е (т.е. в круге |г| < 1) функций Г(г) вида

При п = 0 получим класс Каратеодори [2, 4]. Если п = 1, то имеем класс однолистных в Е функций с ограниченным вращением [3, 4].

В данной работе изучаются различные свойства функций вида (1) из класса Сп (Е), где п > 0 . Мы устанавливаем признаки принадлежности функций к классу Сп (Е), оцениваем модули коэффициентов разложения в степенной ряд, модули и действительные части этих функций. Устанавливаем так называемую теорему покрытия, относящуюся к образу круга Е при отображении этого круга любой

функцией из класса Сп (Е), п > 0 . Кроме того, находим радиусы тех окружностей |г| = г < 1, которые отображаются функциями из класса Сп (Е), п > 0 , на выпуклые и звездообразные замкнутые кривые.

1. Определим разделенную разность п -го порядка голоморфной в Е функции Г (г) формулой [1, 5]

где Г - простой замкнутый контур, лежащий внутри круга Е и охватывающий все точки z0,...,zn е Е.

Так как Е есть выпуклая область, то формулу (2) можно заменить формулой

1Ч *п-\

(1)

к=2

для которых выполнено условие Яе{^(г)} > 0 при любом 2 е Е [1].

00 0

где

С = 20 + Ч (21 - 20 ) + ••• + (- 2п-1)е Е , 0 < ь < 1,0 < 12 < < 1п < (п_!,

причем среди точек z0zn е Е могут быть совпадающие между собой точки [1, 5]. В частности, если z0 = z1 = • •• = zn = Ъ, то

[р ); р (п) (5).

П!

Лемма 1. Если Г(2) е Сп (Е), то Яе[Р(г);гп ] > 0 , Vz0zn е Е . Действительно, пользуясь условием леммы 1 и формулой (3), имеем

1Ч *п-\

Яе [ (г); 2о]= Л„. | Яе Р(п) (С )сИ1..Жп > 0 .

0 0 0

Лемма 2. Если Е (2 )е Сп (Е), п > 1, то [[ (2); г, гх ]е Сп-1 (Е) при любом фик-

Р (2) ~

сированном г1 е Е. В частности, —е Сп-1 (Е).

2

В самом деле, если Е (2) е Сп (Е), то, согласно свойствам разделенных разностей и лемме 1, имеем Яе[[(г);г,г1 ];г2гп+1] = Яе[(г);г1,г2ги+1]>0 при любом г1 е Е и любых г2zn+1 е Е . Но тогда [[(2);2,г1]е Си-1 (Е). Положив

Р (*)

2,

1 = 0, получим [[(г);г,0] = 4 ’ є Сп-1 (Е).

г

Используя лемму 2, приходим к следующему утверждению.

Е (г) ~

Теорема 1. Если Е(2) є Сп (Е), п > 1, то —Сп-к (Е), 0 < к < п .

г

Исходя из определения класса Сп (Е), легко установить также теорему.

Теорема 2. Для того чтобы функция Ґ (г) принадлежала классу Сп (Е), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1

п(п -1 )...(п - т +1) Теорема 3. Если п > 1 и

Р(И) (2) Є ^п-ш (Е) > Где 1 ^ т

Р(г) = гп + X ак,пгп+к - € Ся (Е), к=2

то справедливы неравенства

(к - 1)!п!2 (п + к -1)!

ак,п\, А.’ к=2>3’-; ()

ІЛ < 1| р (») (2 ) < ІИ, у| 2| = г < 1; (5)

1 + г пIі 1 1 _ г

1 Г < — Яе Р(л) (г) < ^ ^г\ = г < 1; (6)

1 + г п! 1 _ г

г” + І (-І)*"' г-*-. г) < г" + І г"**-!, УИ = г < 1. (7)

к=2 («+к-1)! *=2 («+к -1)!

Знаки равенства в (4) - (7) реализуются функцией

Нп (2; 0) = егя6Нп (2е-г'6) при надлежащем выборе 0 , 0 < 0 < 2п , где функция Нп (г) определена формулой

Нп (г) = г” + ± ((-1,)!Я1) *П+к- . (8)

к=2 (« + к-1)!

причем Нп (г; 0) е Сп (Е).

Для доказательства воспользуемся теоремой 2, где возьмем т = п. Тогда получим

Ф() = Р()е ^0(Е), п!

т.е. функция ф( г) принадлежит известному классу Каратеодори [2, 4]. Учитывая

свойства функций из этого класса, легко получаем (4), (5) и (6). Правую часть неравенства (7) получим интегрированием правой части неравенства (5) по г вдоль

отрезка, соединяющего точки г = 0 и г = гг'^ . Левую часть неравенства (7) получим интегрированием левой части неравенства (6) по г вдоль отрезка, соединяющего точки г = 0 и г = гг' ^ с последующим учетом того, что

Яе Р (г) < |Р (г)|, У г е Е . Далее, легко убедиться в том, что

1 1 I -/и0_ 1 1 . _ 0

1 /и0 тт(и) ( -/и0 \ 1 + е 2 1 ^ тт(п) { л\ Г> А V/ 77

—е Н и Ме 2 ) =-г-3— и —Яе Н П ; \2\В) = Яе-----------------> 0, чг е Е .

п V / 1 -/и 0 п \ ’ / .. -10 ’

п! 4 ; 1 — е 2 П! 1 — 2в

Значит, Нп (2;0) е Сп (Е). Отсюда легко следует, что функция Нп (г;0) реали-

зует знаки равенства в (4) - (7).

Лемма 3. Имеют место следующие формулы:

И (1) = 1 + ^, . * 2 ; (9)

к=2 (« + к-1)! п -1

(-1)” Нп (-1) = 1 + 2£ (к - 1)!п!(-1) = п2п Г 1п2-£_!_) , п > 1. (10)

£2 (п + к -1)! I £ к2к J ' '

Доказательство. Согласно формуле (8), имеем

X 1 + 7

И1 ( г) = 1 + 2 £ гк-1 =--------, Уг е Е .

к=2 1- 7

Пусть п > 2 . Интегрируем п раз вдоль отрезка, соединяющего точки 0 и г :

П X

|<Ь |^ = — + 2^ (к 1)! 7”+к4

0 0 01 - 2 п! к=2 ( + к-1)!

Для левой части полученного равенства применим известную формулу Коши для кратного интеграла [5]. Тогда

7(, -,)-1+1Л=^+2£-('Ы^

(« -1)! 0 1 - г «! к=2 (« + к -1)

п+к-1

z

к=2 - 1)!

Умножив обе части на п!, получим для функции Нп (г) интегральную формулу

тт / \ п -ч \ ' (к — 1)!п! п+к-1 Г/ 1 + ^ л 4 ^11Л

нп (2) = 2 + 2^7------= пК2 -{) , п- 2 . (11)

к=2 (п + к -1)! 0 1 -*

Из(11) при г^ 1 имеем

1 + 2 V (к - 1)!п! = „[(1 - г)”-2 (1 + г уг = —, п - 2.

к=2 („ + к - 1)! о „ - 1

Отсюда следует формула (9). Докажем формулу (10). Из (11) при г ^ -1 имеем

(-1)" и. (-1)=1+2 £ (к-шшнг = „]о±о: =„ ^л-01 л. й (” + к -1)! 0 1 - < 0 1 + <

Вычисляя последний определенный интеграл, получим

/г (1 -1)

.[(ЬО- Ж = 2я п \ 1п2 -

I 1 + г 1 ГТк2

”0 1 + ^ ~ к=1 к2к

Формула (10) доказана при любом п > 2. Легко проверяется справедливость формулы (10), если п = 1.

Теорема 3. Если п > 2 , то образ круга Е при отображении его любой функцией w = Р(2) ё Сп (Е) содержится в круге

I \^п +1

И <----7. (12)

п -1

Если п > 1, то образ круга Е при отображении его любой функцией w = Р (2) ё Сп (Е) содержит круг

Ы < и2” | 1п2 - У-^- I. (13)

I у к2к ]

Доказательство. Пусть п > 2 . Из (7) и леммы 3 следует

|р(гег6 )| < Нп (г) < Нп (1) = ^, Уг < 1,

1 4 71 п -1

и справедливость (12) установлена. Из левой части (7) и леммы 3 следует

|р(ге10 )| > (-г)п Нп (-г), Уг < 1.

Устремляя г к единице, получим

|р(6 )| > (-1)” Нп (-1) = и2” (1п2 - £-1

к 2к

Справедливость (13) также установлена.

Следствие 1. При любом п > 1 образ круга Е при отображении его любой функцией w = Р (Сп (Е) содержит круг |^| < 21п2 -1.

Доказательство. Установим неравенство

21п2 -1< и2” | 1п2 - У-^-)< 1, п = 1,2,3,....

I у к2к )

Ясно, что

Р. = »2"I '"2-ХтУ = "2" X ^ = Ттл^г = 1:1 (>-

к=1 2 к ) к=п+1 2 к к=1 2 (п + к) к=1 2 ^ П + к

Отсюда следует, что Рп монотонно возрастает и Рп ^ 1. Поэтому

21п2 -1< Рп = & -1 (1- — 1<& -1 = 1

п & 2* I. п + к) & 2*

и следствие 1 доказано.

2. Обозначим через Ьп (Е) класс голоморфных в Е функций

X

^ (г) = гп + & а*,пг*+*-1, (14)

*=2

для которых выполняется неравенство

V вп \а I < 1 где Вп = (п + к - !

2 п+к-1| а,»\< , д п+к-1 п!(к-1)! .

При п = 1 имеем класс Ц (Е). Известно [7], что этот класс является собственным подклассом класса всех однолистных в Е функций Г (г) с нормировкой ^(0) = 0 , Р(1) (0) = 1. Класс Ц (Е) часто называют классом Левандовского [8].

Простыми примерами функций, принадлежащих классу Еп (Е), является функция

р 2 = 2„ + п!(к -1)! 2п+к-х, к = 2,3,4,.... (15)

(п + к -1)!

Отсюда, между прочим, легко следуют оценки коэффициентов ак функций вида (14) из класса £п (Е), а именно

К«1 * Г^ТТ), * = 2,3,4,... , (16)

1 1 (п + к -1)!

со знаком равенства для функций (15).

Нетрудно установить строгое включение Ьп (Е) с Сп (Е). В самом деле, пусть функция Р (г) вида (14) принадлежит классу £п (Е). Тогда

IX X

-Яе^(п) (2) = 1 + £Бпп¥к_1 Яе{,пzп+кл} > 1 - £ Я+к-1 \ак,п\> 0 . П! к=2 ^ 'к=2

Это значит, что £п (Е) с Сп (Е). Далее, функция Нп (г), задаваемая формулой (8), принадлежит классу Сп (Е). Но из (16) следует, что функция Нп (г) не принадлежит классу £п (Е). Таким образом, для любой функции Р(г) из класса £п (Е) следует неравенство Яе Р(2) > 0, У г е Е , и класс £п (Е) является собственным подклассом класса Сп (Е).

Из того что ^ (2) е Сп (Е), не всегда следует Г (г) е Ьп (Е). Однако имеют место следующие три теоремы, связывающие классы Сп (Е) и Ьп (Е):

Теорема 4. Если

^(*) = *п + X а,п*п+к-1 € Сп (Е), к=2 х 1

то ^(2)=2”+Е “гН ак ,п Г2 ”+к-1 е 4(Е). (17)

к=2 4

и вд.2„+£<"-"-‘К"+,',-1)-(,,+*-т2г.4(к) (18)

к=2 4и (И - 1)...(И - т +1К

при любом целом т , удовлетворяющем условию 0 < т < п -1.

Доказательство. При п = 1 соотношение (17) очевидно. Так как Р(г) е Сп (Е), п > 2 , то, учитывая оценки (4) и формулу (9), получим

£В+к 1акпI2 < £ (к- 1)Ы(я~1} = 1.

£2 П+" 1 4 1 М £ (и + к -1)!

Отсюда следует (17). Далее, так как п > т +1, т > 0 , то, учитывая оценки (4) и формулу (9), получим

у (п - т -1)п + к-1)...(п + к - т) а < У (к -1 )!(п - т)!(п - т -1)

к=2 ”+к-1 4«(п - 1)...(« - т + 1) ™ < к=2 ( - т + к - 1)! .

Положим р = п - т , где р > 2 . Тогда, применяя формулу (9), в которой роль

п играет р, получим

А (к- 1)!(п-т)!(п-т-1) -у (к-1)!р!(р-1) ^

к=2 ( - т + к -1)! к=2 (Р + к -1)! .

Отсюда следует (18).

Теорема 5. Если п > 4 и

Р(z) = zп + X ак,п*п+к-1 е С„ (Е),

к=2

< \ п V1 (п + к -1)2 (п - 2)(п - 3) |2 ~ , ч

то V (2) = 2 + Е------Л ( 2 *-------Л-----К,п е Ьп (Е) . (19)

к=2 4п(п -2п-1)

Доказательство. Имеем к _я (и - к -1)2 (и - 2)( - 3) а ,2 < (к - 1)!(п - 1)!(п + к - 1)(п - 2)(п - 3) =

к=2 п+к 1 4п(и2 -2п-1) к,п к=2 (п + к -2)!(и2 - 2п)-1

_ (к-1)!(п-1)! + (к- 1)!(п-2)!(п-1 )(п-2)(п-3) _

к=2 (и + к -1)!(2 - 2п -1) )=2 (п + к - 1)!(и2 - 2п-1)

(п - 2 )(п - 3) 1 (п -1)( п - 2 )(п - 3) 1

п2 - 2п -1 п - 2 п2 - 2п -1 п - 3

Отсюда следует (19).

= 1.

зи

Теорема 6. Если

Р(г) = гп + X а,пгп+к - € С„ (Е)

к=2

х і

I |Ък,п|* 2 , к=2 2

п+к-1

вп+к-1 |Ък ,п| |ак ,и|г

к=2

Доказательство. В самом деле

у (2) = I Вп+к-1 \Ъкп\\акп\zn+k-l € Ип (Е). (20)

к=2

амом деле

X X

X Вп+к-1 |Ьк,я| |ак,я| - X 2 |Ьк,я| - 1. к=2 к=2

Отсюда следует (20).

Теорема 7. Любая функция Р(2)є Сп (Е), п > 5, отображает каждую окружность |г| = г < 1 на выпуклую кривую.

Доказательство. Пусть

X

Р (2) = 2П + X а,п2П+к - € Сп (Е) ,

к=2

где п > 1. Тогда легко убедиться в справедливости равенства

х

2 , XV ,/ л\2 к-1

П " ~

+ V (п + к -1) «к»2к 7р " ( 2) ' к’П

і+е±Ае±=—к=2-------------------------------------. (21)

Р '( 2 ) х

п+V(п+к - 1)ак,п2 к-1

к=2

Отсюда, если п > 5 и |г| = г < 1, то, пользуясь оценками (4), получим

ж

П + У

гЕ " (2 ) ГІ

1 + Яе-------^ = Яе---------------к=2

2 + У (п + к - 1)2 ак,п2к 1

^(2) п + У (п + к - 1)ак,п2к 1

к=2

п2 - Е(п+к -1)2 \ак,П ,п ,

к=2 > п - 4 + -21—ПІ > 0 .

1\| I п(п

П + Е(п + к - 1)ак

к=2

Таким образом, для любой функции Р (г) из класса Си (Е), п > 5, на любой окружности |г| = г < 1 справедливо неравенство

р'' (г)

1 + Яе----^ > 0 .

р'(2)

Как известно [4], это означает, что функция Р (г) отображает любую окружность |г| = г < 1 на выпуклую кривую.

<Х

и

Замечание 1. Исходя из формулы (21), заключаем, что радиусы г окружностей |г| = г < 1, которые отображаются любой функцией Р(г) є Сп (Е), где п есть одно из чисел 1, 2, 3, 4, на выпуклую кривую, можно найти, решая неравенство

х Ох. к—1

п2 - ^ (п + к -1)2 —п----> 0 .

к=2 Вп+к—1

Теорема 8. Любая функция Е (г) из класса Сп (Е), где п > 4 , отображает каждую окружность |г| = г < 1 на звездообразную кривую.

Доказательство. Пусть

Е(2) = 2п + X а,п2п+к - е Сп (Е),

к=2

где п > 1. Тогда легко убедиться в справедливости равенства

х

, XV ,7 14 к-1

ЕМ/ Ч 1+ Е ( + к - 1)°к,П2

2р (2) к=2__________________

^2) і - Е-к,

к-1

2

(22)

к=2

Отсюда, если п > 4 и |г| = г < 1, то, пользуясь оценками (4), получим

х

ям/ ч ”- Е( +к - 1)ак,«| 0 й

„ гЕ'(г) „ 2п-8

Яе------Ц2 ^^ п - 4-^----------------------------------------

'(г г 1+Хк„| (п - 2)(п+0

к=2

Таким образом, для любой функции Е (г) из класса Сп (Е), п > 4 , на любой окружности |г| = г < 1 справедливо неравенство

ИеГМ > 0.

Г (7)

Как известно [4], это означает, что функция Е (г) отображает любую окружность |г| = г < 1 на звездообразную кривую.

Замечание 2. Исходя из формулы (22), заключаем, что радиусы г окружностей |г| = г < 1, которые отображаются любой функцией Р(г)е Сп (Е), где п

есть одно из чисел 1, 2, 3, на звездообразную кривую, можно найти, решая неравенство

(п + к - 1)гк-1 п п-2^-----------------> 0 .

1—1 Т}П

к—2 п+к-1

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Кирьяцкий Э.Г. Многолистные функции и разделенные разности. Вильнюс: Техника, 1995. 390 с.

2. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. С. 35 - 39.

3. Зморович В.А. К теории специальных классов однолистных функций // Успехи мат. наук. Т. 14. № 4. С. 137 - 143.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1960. 621 с.

5. Ибрагимов И.И. Методы интерполирования функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971. 510 с.

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958. 468 с.

7. Титчмарш Е. Теория функций. М.; Л., 1951. 507 с.

8. Кирьяцкий Э.Г., Касаткина Т.В. Об одном обобщении класса Левандовского // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 56 - 60.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

КИРЬЯЦКИЙ Эдуард Григорьевич, профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования факультета фундаментальных наук Вильнюсского технического университета имени Гедиминаса, член-корреспондент Международной академии наук Евразии (IEAS). Е-mail: Eduard.Kiriyatzkii@takas.lt

Статья принята в печать 26.01.2009 г.