Об одном обобщении класса Левандовского Текст научной статьи по специальности «Математика»

Э.Г. Кирьяцкий, Т.В. Касаткина ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ КЛАССА ЛЕВАНДОВСКОГО

В данной работе изучаются различные свойства функций из класса Ь„(Е), являющегося естественным обобщением известного класса Ь1(Е) Левандовского, состоящего из однолистных, нормированных в единичном круге Е функций.

Пусть Е - единичный круг |г| < 1. В математической ли- имеет место неравенство

тературе известен класс ¿1(Е), часто называемый классом Левандовского, который состоит из голоморфных в Е функций р^) = z + а2z2 + а32Ъ +..., подчиненных условию

X к+ \ък А > 1, (2)

к=2

то функция

2|а2| + 3|а3| + 4|а4| +... < 1. Установлено, что класс ЬХ(Е) яв- р (^ = 2п _Ь ”+1 - Ь Ь”+2 - £ К (Е)

ляется собственным подклассом класса всех однолистных в , ,

Е функций р^) с нормировкой р (0) = 0 , Р'(0) = 1. Класс В самом деле, для функции р2 (z) имеем

Ьх(Е) подробно изучался З. Левандовским [1] и многими

другими математиками [2 - 4]. Рассматривались также не- 1 _ _ , , , 1

которые подклассы класса Ь [5, 6] и различные обобщения *=2

класса ЬХ(Е) [7, 8]. В данной работе мы предлагаем еще од- Из условия (2) следует, что для вещественных знано возможное обобщение класса Ь1(Е). Обозначим Ь„(Е) чений х, достаточно близких к единице,

класс голоморфных в Е функций р (z) = zn + а2 ^п+1 + 1 „а / ч

2,п —р (х) < 0. Значит, существует вещественное х0,

+a3nzn+2 +..., для которых выполняется неравенство п 1

п I I 0 < х0 < 1, при котором — Р2(п) (х0) = 0 . В силу свой-

XВп+к_1 К,п\ < 1, (1) п1

1 1

-^(z)- 1 -XBnn+k_! \bk^zk-1 , -и(и)(0) = 1.

k -2

где Bn -(n + k - 1)!

д n+k-1 n!(k -1)!

ства 3 получим F2 (z) g Kn (E).

2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА Ln(E)

Впервые изучение класса Ьп (Е) началось вместе с исследованием класса Кп(Е) голоморфных в Е функций р^), у Лемма 1. Есж р(z)=^ + ^п^1 +... е £п (Е),

которых п-я разделенная разность [р(z);z0,...zn] ^ 0,

V z0,...,zn e E [9, 10]. Оказалось также, что класс Ln (E) X \°k nl— n + 1

1

Действительно, так как Bn+k-1 > n +1, то

тесно связан с классом Cn (E) функций, для которых

ReF(n)(z)> 0 в E.

ад ад a 1

В данной работе мы продолжаем изучать свойства X \ak J — X B^+k-i k, —---.

-- n +1 n +1

функций из класса Ln (E) . Нам понадобятся свойства k-2 k-2

функций из класса Kn(E) [9, 10]. Теорема 1. Справедливы включения

'Ln (E)c Cn (E) с K n (E).

1. НЕСКОЛЬКО СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ . . - . .

ИЗ КЛАССА K (E) Доказательство. Пусть F (z) e Ln (E). Тогда

F(n) (z) ^

Свойство 1. Класс K1(E) совпадает с классом S Re--------^ > 1 - X Bn , 1 \a, > 0.

■ n+k 1 I k, n

однолистных в круге E функций. n! k-2

С различными важными для приложений свойст- Это значит, что Ln (E) с Cn (E). Далее, функция

вами однолистных функций можно познакомится,

прочитав монографии [11 - 13]. H (z) = zn + X 2 zn+k-1 e с (e)

Свойство 2. В классе Kn(E) можно выделить под- n f-2 B^+ k-1 n

класс Kn (E) , состоящий из аналитических в круге E так как для этой функции имеем функций F(z), нормированных условиями Re н (n) (z) = n |Re1 + z > 0

n 1 - z

n! v / В то же время Hn (z)g Ln (E). Следовательно,

Свойство 3. Если F (z)e Kn (E), то F(n) (z)* 0 в Ln (E)c ^n (E). Пусть теперь F (z) -произвольно

круге E. взятая функция из класса Cn (E). Разделенную раз-

Свойство 4. Для того чтобы F (z) e Kn (E), необходимо и достаточно, чтобы функции 1, z,..., zn-1,F (z) образовывали систему Чебышева в

круге E. [F(z);zo,...,zn] = JJ... J F(n)(0dtl...dt,

Замечание 1. Если для функции 00 0

F1 (z)-zn + b2,nz>1+1 + b3,nzn+2 + ... где Z= z0 + ¿1 (zX - z0 ) + ... + tn ( - zn- ) и 0 — t — 1

F(0) - F(1) (0) -... - F(n-1) (0) - 0 , -F(n) (0) - 1.

ность n -го порядка функции F (z) можно представить формулой [14, 15]

1 ¿1 ¿n-1

то

О < /2 < ^ ...,0 < іп < /„_!. № этот ф°рмулы следует, Теорема 5. Если К(г)=г” + а2пгп+1 +... є 1п (Е), то

что Яе[К(г); го,..., г” ]> 0 дга ^ьк го,..., гп є Е . 1 _

и (г) =____________і_________к(т)(г)є Т (Е)

Значит, К(г)є Кп (Е) и С (Е)с Кп (Е). Далее, п_т^ п(п _1)...(п _т +1) _ }’

-1 є К (е) но к (И)г С (е) Сле- 0 < т < п .

Ро (г) = и” (1 _ г) є кп (Е), но ко (г)г сп (Е) . Сле-

д0вательн0, Сп (Е)С К„ (Е). ( )

„ „ _ п_т , \^(п + к _ 1)... (п +к _ т) п+\

Теорема 2. Если К (г) є Тп (Е), то для любого ип_т (г) _ г + £ п (п—1)—(—т + \ а,пг

многочлена Р (г) степени не выше п _ 1 уравнение

Значит,

р(г) + К(г) =0 (3) X (п + к _1)...(п+к _ т), , = £ , ,

имеет в круге Е не более п корней. Кроме того, су- Пп+к_т_\ п(п_1) (п_т+\) I к,п| .¿==п+к-\|"мі-1-

В самом деле,

к=2 п(п_1)...(п_т+1)

ществует многочлен р (z) степени не выше п _ 1 такой, что уравнение (3) имеет в круге Е ровно п

Следствие 3. Если К (г) є їп (Е), то К(т) (г) Ф 0

корней. для любого г , удовлетворяющего условию 0 < |г| < 1,

Доказательство. Из свойства 4 и теоремы 1 сле- где 0 < т < п .

что функции \ г,...,г" \,р(г) образуют систему Действительно, Нп_т (г) є Тп_т (Е). Теперь при-

Чебышева в круге Е . Но тогда из известного опреде- меняем следствие 1.

Теорема 6. Если К(г)=гп + а2 пгплЛ +... є їп (Е), то

ления системы Чебышева получим, что уравнение (3) имеет не более п корней в круге Е . Существование

многочлена Р (г) гарантируется интерполяционными а |< 1 и = 234

Шк п <-------, к = 2,3,4,...

свойствами многочленов степени не выше п _1 [14]. ’ вп+к_\

Следствие 1. Функция из класса їп (Е) не более 1

^ В частности, а2 п <-------------------.

чем п-листна в Е. , п +1

Действительно, по теореме 2 уравнение

^ ^ Справедливость теоремы 6 сразу следует из нера-

а0 + К (г) = 0 имеет в Е не более п корней. венства (1)

Следствие 2. Пусть п > 1 и т > 1. Любой много- Теорема 7. Если

член вида ш

Р(г)=а0 + а1г+...+ап1 гп_ + гп + аn+\гn+\ +...+ап+тгп+т , К(г) = гп + £ ак пИп+к_1 = гпФ(г) є 4 (Е) ,

к=2

где Вп+\ |ап+\| + ... + Вп+т \ап+ т| < 1, где ф(г) -голоморфная в Е функция и ф(0) = 1, то

имеет в Е не более п корней. ш

В самом деле, функция гтф(г) = гт + £ ак пгт+к_ є їт (Е) , 0 < т < п .

К (г) = гп + an+\гn+\ +... + ^г^т є Тп (Е) . к=2

_ ^ Доказательство. При 0 < т < п имеем

Теперь осталось применить теорему 2.

Теорема 3. Если функции ^ вт І І < V в” І I < і

ш / , Вт+к_\ |ак,п \ < / , Вп+ к_\ |ак,п\ < 1

Н (г) = гп +£ ак^гп+к_1 є 1п (Е) , к=2 к=2

к=2 и г-п+тЕ(г) = гтф(г)є їт (Е) .

ш

Т (г) = гт + £ Ьк гт+к_\ є ї (Е) Замечание 2. Если 0 < т < п _ 1 и функция

Т (г) є їт (Е), то отсюда не обязательно следует, что гТт (г) є їт+\ (Е). Обратимся к примеру. Ясно, что

К(г) = гр +£Вр+к_\акпЬктгп+к_\ є їр (Е) , 1 . _

к=2 гт І1 +-гіє їт (Е) , где 0 < т < п _ 1.

для любого целого р, удовлетворяющего условию ^ т +1 1

т < р < п . Однако легко понять, что

Доказательство. Имеем \ ( 1

к=2

то функция

(1 + -+Т гТт+\ (Е) .

V т +1 )

£Врз+к_\ |ак,ЩЬк,т|<1 £Вп+к_\ |ак,п| II £Вт+к_\ |Ьк,т| і<\ .

к=2 |к=2 )|к=2 1 Следствие 4. Если К (г)є Ьп (Е), то функция

Очевидна следующая /ч\_п/ч ~/ч

Теорема 4. Пусть съ..,еп - положительные чис- Т(г) = г К(г) є Т (Е), те функция Т(г) являет-

~ ся однолистной и нормированной в Е .

ла и С\ +... + ст = 1. Пусть также Е, (г)є їп (Е), Р+1 - ^ ч

1 т У > п\ )’ Теорема 8. Если К(г)=гр + а2,ргр+\ +... єїр(Е), то

р+1 1 ' п р+1

I = 1,...,т . Тогда

К (.-) = £сЛ (г) є їп (Е). гр + -^о1 , УИ = г <\. (4)

к=1

Знаки равенства реализуются функцией

р (2) = zp + zp+1 е Ьр (Е).

р +1

Доказательство. Пользуясь леммой 1, получим

р+1

К (И)_ гр\< £ |ак,р|гр+к_ < гр+' £ |ак,р| <

Ъ — П 7,—О Р “Г 1

т!в-І гп_т _

п _ т +1

_гп+\_т |< к

(т)

(г)):

1

,„п+\_т

р (г) = гп + гп+\ є 1п (Е) .

п +1

Круг \-w\-

покрывается образом круга Е

К

(т)

е^|> п!(п _т) (п _ т +1)!

(( І

Для функции р (z) = zn-— zn+1 из класса Ьп (Е)

п +1

<т}(1) = п1(п _ т)

£ а

к=2

X к,п (г) > 0 на отрезке 0 < г < 1, то

Хк,п (Г) < Хк,п (\) .

Далее, легко показать, что

п + к _ 1„

г

к=2 к =2 р"

V = г < 1.

Отсюда следует (4).

Теорема 9. Пусть 0 < т < п . Для любой функции р(z)е Ьп (Е) справедливы оценки

1

-Кп (1)< В;

п+к_\•

(9)

(5)

п _ т +1

при любом = г < 1. Знаки равенства реализуются функцией

(6)

Чтобы убедиться в справедливости теоремы 9 достаточно к функции Ип_т (т,) из теоремы 5 применить теорему 8, положив р = п _ т .

Следствие 5. Пусть р (z) е Ьп (Е) и 0 < т < п _ 1. п1(п _ т)

Из (8), (9) и определения класса Ьп (Е) следует (7).

Лемма 3. Если р^)=zn + а2 +... е1п(Е), то

ад

X\а*У_2 ((2_*)г + (п + 1)(к_ 1))< 1 (10)

к=2

при любом г , удовлетворяющем условию 0 < г < 1.

В самом деле, возьмем функцию

У к ,п (г) = гк _2 ((2 _ к) г + (п +1) (к _1)),

где к > 2, п>1, 0 < г <1. Так как производная укп (г)>0 на промежутке 0<г<1, то укп (г)<укп (1). Далее, У к ,п (1) < вп+к _1, и неравенство (10) доказано.

Теорема 10. Для любой функции р ^) е Ьп (Е) и любого z, = г < 1 справедливо неравенство

, гЕ" ( г )

1 +------—_>

К' (г )

п _ г

(11)

(п _ т +1)1

при отображении функцией w = р(т) ^). При этом функция (6) показывает, что радиус упомянутого круга увеличить нельзя.

В самом деле, если г ^ 1, то из левой части неравенства (9) получаем неравенство

Знак равенства в (11) при z = г0в1а° , 0 < г0 < 1, 0 < а0 < 2п , реализуется функцией

К (г) = г" _ -±- в-'а0 гп+1 є Іп (Е). п +1

(12)

Доказательство. С помощью простых вычислений имеем

, гК" (г)

1 +-----—_)

К' (г)

£ к(п + к 1)і а і „к_\

£ |ак ,п|Г

к=2

1 -£(n±t:1\akУ _

к=2 п

имеем р(т) (1) = .

(п _ т +1) 1

Замечание 3. Из теоремы 8 следует, что множество функций w = р ^), составляющих класс £п (Е), равномерно ограничено внутри круга Е . Кроме того, предел равномерно сходящейся последовательности внутри Е функций из класса Ьп (Е) есть функция из

класса Ьп (Е). Отсюда следует, что класс Ьп (Е) -компактное в себе множество функций относительно равномерной сходимости внутри круга Е .

Лемма 2. Если р^)=zn + а2 +... еЬп (Е) , то

и остается установить неравенство

£ к(-+к—\)ак |гк_

пг <■

к=2

|п + к 1 гк_2 (2 _к)г + п(к _ 1)) 1 (7)

при любом г, удовлетворяющем условию 0 < г < 1. Доказательство. Обозначим

^к,п (г) = гк_2 ((2 _ к) г + п (к _ 1)) ,

где к > 2, п > 1, 0 <г < 1. Так как производная

^Х^+^ыг» п_г к=2 п

Это последнее неравенство эквивалентно неравенству (7), указанному в лемме 2, что доказывает теорему 10.

Следствие 6. Любая функция р ^) е £ (Е) однолистна в круге Е и выпукла в круге < 1/2. Любая функция р ^) е Ьп (Е), где п > 2, отображает любую окружность Щ = г < 1 на выпуклую кривую.

В самом деле, из неравенства (11) следует точная оценка

, „ zр " (z) г

1 + Яе--— > п-----, п > 1.

р ' ^ ) п _ г

Знак равенства при z = z0 реализуется функцией вида (12).

п

Следствие 7. Если Р (г) е Ьп (Е), то функция Р (т) (2), где о < т < п - 2 и п > 2, отображает любую окружность |г| = г < 1 на выпуклую кривую. Функция Р(п-1) (г) , п > 2, отображает любую ок-

ружн°сть И = г <1 на выпу»уЮ кривую

Известно [11, 12], что если функция Р (г) отображает окружность |г| = г < 1 на выпуклую кривую, то функция ф(г) = гР' (г) отображает эту окружность на звездообразную кривую.

Следствие 8. Если Р (г) е Ьп (Е), то функция гР(т) (г), где 0 < т < п -1 и п > 2, отображает любую окружность |г| = г < 1 на звездообразную кривую. Функция гР(п) (г) , п > 2 , отображает любую окружность |г| = г < 2 на звездообразную кривую.

Теорема 11. Для любой функции Р(г)еЬп (Е), п>0, и любого г, |г|=г <1, справедливо неравенство

zF'(z)

F (z)

- n

r

n +1 - r

Знак равенства в (13) при г = г0еа 0 <а0 < 2п , реализуется функцией (12). В самом деле,

0 < r0 < 1,

zF'(z )

F (z ) Неравенство

-1)

.Л-1

k=2

1 -Z(k -1)

k-1

k=2

k-1

k=2

r

..k-1

n +1 - r

k=2

эквивалентно неравенству (10), указанному в лемме 3.

Следствие 9. Если F (z) е Ln (E), то

„ zF'(z) (n + 1)(n-r) . .

Re , / ^, V|z| = r < 1.

F (z )

n +1 - r

Знак равенства при z = r0ea<i реализуется функцией

F (z) = zn---------z

n+1

---Ln (E).

Формулировка теоремы 7 и замечание к ней указывают на целесообразность введения класса Ьтп(Е) голоморфных в Е функций гтф(г), где ф(0)=1 и 0<т<п, для которых одновременно выполняются условия гтф(г)еЬтп (Е) и гпф(г)е!п (Е). Имеют место

включения 4,п (Е)С^т (Е) и 4,п (Е>4,п+1 (Е) .

Теорема 12. Пересечение классов Ьтп(Е), п = т +1, т + 2,... состоит из единственной функции Р(г) = г".

Доказательство. Пусть

ОТ

т+к-1

y n (z ) = z'

I X '

+ Z ak,m,nz k=2

n = m +1, m + 2,...-

(13)

последовательность функций таких, что

Yn (z)eLm,n (E) , n=m+1,m + 2v-

Тогда zn-m Y n (z)eLn (E), n=m +1, m+2,.... По лемме 1

ад 1

Z Iak,m,n| ^--------7 , n = m +1m + 2,...

k=2 n +1

n +1

Yn (z)^ F (z) = zm

равномерно

к=2

Следовательно, внутри круга Е .

Следствие 10. Пусть I [Р] -непрерывный вещественный функционал, заданный на классе Ьтп(Е). Если I* - наибольшее /наименьшее/ значение этого

функционала на классе Lmn(E), то I

//* < I

Т*

m,n > ^m,n+1

> ... ,

тп '~тп+\ <.../, n = m +1,m + 2,... и в обоих случаях * где I* - наибольшее /наименьшее/ зна-

lim I*n = I

чение функционала I [ Р ] на классе, состоящем только из одной функции Р(г) = г™.

ЛИТЕРАТУРА

1. Levandowski Z. Quelques remarques sur les theorems de Shild relatifs a une classe de functions univalentes // Ann. Univ. M. Curie-Sklodovska. Sectio A. 1955. V. 9. P. 5

2. Robertson M. On theory of univalent functions // Ann. of Math. 1936. V. 37. No. 2.

3. ReichE. An inequality for subordinate analytic functions // Pacific Math. J. 1954. V. 4. No. 2.

4. Umesawa T. On the theory of univalent functions // Tohoku math. J. 1954. V. 7. No. 3.

5. Shild A. On a class of functions, schlicht in the unit circle // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. V. 5. Р. 115 - 120.

6. Эзрохи Т.Г. Об одном классе однолистных функций // Вопросы математической физики и теории функций: Сборник. Киев: Наукова думка, 1961. Вып. 2.

7. Эзрохи Т.Г. О некоторых классах р-листных функций //Укр. матем. журн. 1964. N° 4. С. 16.

8. Гальперин И.М. К теориир-листных функций // ДАН УРСР. 1962. № 12. С. 1555 - 1560.

9. Кирьяцкий Э.Г. О функциях, n-я разделенная разность которых не равна нулю // Лит. матем. сб. 1961. Т. 1. № 1 - 2. С. 109 - 114.

10. Кирьяцкий Э.Г. Некоторые свойства функций с отличной от нуля разделенной разностью // Лит. матем. сб. 1972. Т. 12. № 2. С. 43 - 55.

11. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 627 с.

12. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: ТГУ, 2001. 220 с.

13. DurenP.L. Univalent Functions // Departament of Math. University of Michigan, Ann. Arbor. M. 448109 USA, 1983. Р. 1 - 523.

14. Ибрагимов И.И. Методы интерполирования функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971. 510 с.

15. ГельфондА.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1952. 478 с.

Статья представлена кафедрой математического анализа Томского государственного университета и кафедрой математического моделирования факультета фундаментальных наук Вильнюсского технического университета им. Гедиминаса, поступила в научную редакцию «Математика» 20 октября 2005 г.