CC BY
6
УДК 514.76
М. Б. Банару1
1 Смоленский государственный университет, Россия mihail.banaru@yahoo.com
O некоторых почти контактных метрических гиперповерхностях ^-многообразий
Доказано, что 3-гиперповерхности ^-многообразий допускают почти контактную метрическую структуру, идентичную той, которая может быть реализована на 2-гиперповерхностях таких многообразий.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, типовое число, гиперповерхность, Wij-многообразие.
1. Класс W4 относится к так называемым малым классам Грея — Хервеллы почти эрмитовых многообразий. Его часто называют классом локально конформных келеровых многообразий, что не совсем точно: на самом деле класс W4 содержит локально конформные келеровы (locally conformai Kâhlerian, LCK-) многообразия, а совпадает с классом LCK-многообра-зий лишь для размерности не ниже шести [1]. W4-многообразия изучали такие известные математики, как И. Вайсман (Израиль), А. Грей (США) и В. Ф. Кириченко (Россия).
Известно [2], что на всякой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия индуцируется почти контактная метрическая структура. В работе [3] было доказано, что если почти эрмитово многообразие принадлежит классу W4 , а типовое число гиперповерхности равно единице, то почти контактная метрическая структура на такой гиперповерхности будет идентична той, что индуцируется на вполне геодези-
Поступила в редакцию 25.04.2018 г. © Банару М. Б., 2018
ческой гиперповерхности. Результаты такого же плана получены для 0- и 1-гиперповерхностей специальных эрмитовых [4], приближенно келеровых [5] и келеровых многообразий [6].
В данной статье будет показано, что 3-гиперповерхности W4 -многообразий допускают почти контактную метрическую структуру, идентичную структуре, которая может быть реализована на 2-гиперповерхностях таких многообразий.
2. Напомним [1], что под почти эрмитовой (almost Hermi-tian, AH-) структурой на четномерном многообразии M2п мы понимаем пару {J, g = (•,•)}, состоящую из почти комплексной
структуры J и римановой метрики g = , причем J и g = должны быть согласованы таким условием:
{JX, Л) = ( X, Y ), X ,Y 2п).
Для всякой AH-структуры J, g = (• ,• на многообразии M2п определяется так называемая фундаментальная форма:
F(X, Y) = (X, JY), X, Y ett(M2n ).
Пусть M2n, {J, g = ^• ,• — почти эрмитово многообразие. Зафиксируем точку p е M2п . Пусть Tp (M2п) — пространство, касательное к многообразию M2п в точке p; J p, gp = (• ,•)} — почти эрмитова структура, порожденная парой J, g = (• ,•
Реперы, адаптированные почти эрмитовой структуре (или А-ре-перы), устроены следующим образом:
(p, е1 , • • •, еп, £1 , • • •, £П ) ,
где еа — собственные векторы оператора почти комплексной структуры в комплексификации касательного пространства, отвечающие собственному значению оператора i = V-Y , а е а — собственные векторы, отвечающие собственному значению - i. Здесь индекс а принимает значения от 1 до п; а = а + п .
Почти эрмитова структура принадлежит классу W4, если Vх ^ )(7,г) = - {(X,7)8F)-(X,Z)SF(Y)-
-{X,Л)SF(Л)+(Х,л)SF(77) }, X,г еК(М2п),
где S — оператор кодифференцирования, а V — риманова связность метрики g = (•,•) [1].
Как мы уже упоминали выше, на всякой ориентируемой гиперповерхности N почти эрмитова многообразия индуцируется почти контактная метрическая структура, под которой понимают систему тензорных полей рф Е, g}, для нее выполняются следующие условия:
)(Е) = 1; Ф(Е) = 0; т]оФ = 0; Ф2 = ЧС +
{{X,Ф7) = (X,7) - )(X))(7), X,7 е Х(N).
Здесь Ф — поле тензора типа (1,1), Е — векторное поле, ) — ковекторное поле, g = (•,•) — риманова метрика, ) — модуль гладких векторных полей на гиперповерхности N.
3. Воспользуемся записанными в А-репере структурными уравнениями Картана почти контактной метрической структуры на ориентируемой гиперповерхности N2п 1 в W4 -многообразии М2п [3; 7]:
Соа = о>а л ор + В^ о7 лор + (ЛВр" + 1оар) ор ло +
.Л.ва + шар0 ло; (1)
Соа = -ор ло р + В7ро7 л ор + (у12врп - ) ор ло +
ВаР - *аар Р л0;
dю = (у12Вра -Лв" - Пар )юр л юа + (Вппр + ш„р) ю л юр + + ( Вп/- гарп)слср,
где В^Ь =-/, ВСь = /
Здесь {юа}, {юа} — компоненты форм смещения (сп = ю), (юС } — компоненты форм римановой связности; через {/]кт} обозначены компоненты V/ . Отметим, что системы функций \влс | и \вЬ | служат компонентами тензоров Кириченко почти эрмитовой структуры на многообразии М2п. Здесь и далее а, ПП,У = 1 ,•••, п -1; а, Ь , с = 1 ,•.., п ; а = а + п; а — вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности N
2 п-1
в -многообразие М2п .
Рассмотрим случай [2], в котором матрица второй квадратичной формы гиперповерхности ^ -многообразия принимает следующий вид:
(
0
(аар) 0 0
апп 0„.0
0
0 0 (асср) /
р^ = 1,2, 3, ..., п -1
причем
гапк (а ар) = гапк (аап) = 1.
ар'
Тогда ранг матрицы (aps) будет равен двум в том и только
том случае, когда crnn = 0; в противном случае rank (aps) = 3 .
Обратим внимания на такой важный факт: в рассматриваемом А-репере структурные уравнения Картана почти контактной метрической структуры не содержат компоненту ann , а следовательно, обращение в нуль этой компоненты никак не скажется на соответствующих структурных уравнениях. Для рассматриваемых нами гиперповерхностей, для которых rank (aps) = 2
или rank (aps) = 3 , то есть гиперповерхностей с типовыми числами два или три, соответственно, структурные уравнения (1) примут одинаковый вид, а именно:
-¡а а В пав у rZnan В
аа =о>рАЮ + B уЮ АЮр + ы2B ра ла + 1 BaPn + шар \арАа;
S
С = -ЮрП ЛЮр+ Варюу лС +42ВрпР юрлю +
-^2ВарП - 1аа^сР лЮ;
йю = ([2Впар -42Впра^)юр люа + ВпрП ю люр + Впр п ю люр.
Таким образом, мы пришли к следующему результату.
Теорема. В Ж4 -многообразии почти контактные метрические структуры на гиперповерхности с типовым числом два и на гиперповерхности с типовым числом три могут оказаться идентичными.
Учитывая тот факт, что класс Ж4 почти эрмитовых многообразий содержит все ЬСК-многообразия, мы получаем такое
Следствие. В ЬСК-многообразии почти контактные метрические структуры на гиперповерхности с типовым числом два и на гиперповерхности с типовым числом три могут оказаться идентичными.
Список литературы
1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
2. Кириченко В. Ф., Банару М. Б. Почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 127. С. 5—40.
3. Банару М. Б. О почти контактных метрических гиперповерхностях с малыми типовыми числами в W4 -многообразиях // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика. 2018. № 1. С. 67—70.
4. Banaru M.B. A note on geometry of special Hermitian manifolds // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 1. P. 20—24.
5. Банару М. Б. Почти контактные метрические гиперповерхности с типовым числом 1 или 0 в приближенно келеровых многообразиях // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика. 2014. № 3. С. 60—62.
6. Банару М. Б. О почти контактных метрических 1-гиперповерх-ностях келеровых многообразий // Сибирский математический журнал. 2014. Т. 55, №4. C. 719—723.
7. Банару М. Б. W4 -многообразия и аксиома косимплектических гиперповерхностей // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика. 2015. № 5. С. 34—37.
M. Banaru1 1 Smolensk State University 4 Przhevalsky St., Smolensk, 214000, Russia mihail.banaru@yahoo.com
On some almost contact metric hypersurfaces of l/Wmanifolds
Submitted on April 25, 2018
It is proved that 3-hypersurfaces of W4-manifolds admit an almost contact metric structures that can be identical to the structure induced on 2-hypersurfaces of such manifolds.
Keywords: almost contact metric structure, type number, hypersur-face, W4-manifold.
References
1. Kirichenko, V.F.: Differential-geometric structures on manifolds. Odessa: Pechatnyi Dom, 2013 (in Russian).
2. Banaru, M.B., Kirichenko, V.F.: Almost contact metric structures on the hypersurface of almost Hermitian manifolds. J. Math. Sci., 207:4 (2015), 513—537.
3. Banaru, M.B.: On almost contact metric hypersurfaces with small type numbers in W4-manifolds. Moscow University Mathematics Bulletin, to appear (2018).
4. Banaru, M.B.: A note on geometry of special Hermitian manifolds // Lobachevskii Journal of Mathematics, 39:1, 20—24 (2018).
5. Banaru, M.B.: Almost contact metric hypersurfaces with type number 0 or 1 in nearly-Kahlerian manifolds. Moscow University Mathematics Bulletin, 69:3, 132—134 (2014).
6. Banaru, M. B.: On almost contact metric 1-hypersurfaces in Kahle-rian manifolds // Siberian Mathematical Journal, 55:4, 585—588 (2014).
7. Banaru, M. B.: The axiom of cosymplectic surfaces and W4-mani-folds // Moscow University Mathematics Bulletin, 70:5, 213—215 (2015).
