О НЕКОТОРЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ, СВЯЗАННЫХ С НЕТРИВИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ ОБЫЧНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Ч. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 39. №2. C. 197-221. ISSN 2079-6641

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ УДК 514.112.3 Научная статья

О некоторых неизвестных результатах, связанных с нетривиальными свойствами обычных треугольников. Ч. II

Б. П. Федоров , C. Б. Богданова, С. О. Гладков

Московский авиационный институт, 125993, г. Москва, Волоколамское ш, 4 E-mail: sonjaf@list.ru

Приведено подробное решение ряда оригинальных задач, сформулированых в свое время Б.П. Федоровым, являющихся логическим продолжением исследования нетривиальных свойств евклидовых треугольников, к числу которых относятся их слабо изученные свойства, порожденные точками Лемуана и Бро-кара.

Ключевые слова: свойства треугольников, деление отрезков, точка Лемуана, точка Брокара, теорема ван Обеля.

d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-197-221

Поступила в редакцию: 11.06.2022 В окончательном варианте: 15.09.2022

Для цитирования. Федоров Б.П. , Богданова О.Б., Гладков С. О. О некоторых неизвестных результатах, связанных с нетривиальными свойствами обычных треугольников. Ч. II // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 39. № 2. C. 197-221. d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-197-221

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Федоров Б.П. , Богданова О.Б., Гладков С.О., 2022

Введение

В настоящем сообщении мы продолжим разговор о ряде нетривиальных свойств обычных евклидовых треугольников, о которых, к сожалению, довольно мало упоминается в современных источниках по элементарной геометрии. Предыдущая авторская работа [1] была посвящена подробностям описания этих свойств, связанных с не часто встречаемых в терминологии литературных источников по геометрии такими специфическими понятиями, как инцентр, центроид и ортоцентр. Продолжая работу в этом направлении, мы обратились к еще более замечательным точкам треугольника, которые носят название «точка Лемуана» и «точка Брокара». В энциклопедии «замечательных точек» треугольника (см. [2], Encyclopedia of Triangle Centers, ETS), эти точки обозначаются как X6 и X39 соответственно. Финансирование. Работа выполнена без финансовой поддержки

C

Рис. 1. Q - точка пересечения чевиан AAi,BBi,CCi треугольника ABC [Figure 1. Q - cevian intersection AAi,BBi,CC| of triangle ABC]

в

В работе [1] было показано, что любые три чевианы [3]-[7] (см. рис. 1) порождают:

1. Треугольник А-|В-|С-|, образованный основаниями чевиан.

2. Треугольник А2В2С2, вершинами которого являются точки пересечения продолжений чевиан с описанной окружностью.

3. Подерный треугольник М^ относительно точки пересечения чевиан.

Систематизация результатов, которые были получены при исследовании свойств треугольников А1В1С1, А2В2С2, М^, образованных относительно точек Лемуана и Брокара позволило составить Таблицу.

Таблица

Площади треугольников, найденные по точке Брокара и точке Лемуана [Areas of triangles found from the Brocard point and the Lemoine point]

точка

SAiBiCi

2S 3S

(a2 + b2) (b2 + c2) (a2 + c2) 4R2

2a2b2c2S S

(a2 + b2) (b2 + c2) (a2 + c2) 4R2

>MNF

S

A2B2C2

Лемуана Брокара

abc

:+ b2 + c2

a

l

1 1 1

a2+b2+c2

64s Р-Ц

64 Vmambmc/

2

2

S

Излагаемые ниже подробности вычислений, связанные с доказательством представленных в Таблице результатов, на наш взгляд, существенно расширяют представления о не совсем «элементарной» природе элементарной геометрии.

Исследование свойств треугольников, порожденных точкой Лемуана

Определение симедианы и ее свойства

Появление точки Лемуана обусловлено так называемыми симедианами треугольника. Симедианой треугольника называется прямая, симметричная медиане относительно внутренней биссектрисы, см. рис. 2.

Рис. 2. Симедиана AAi строится, как симметричное отражение медианы AM относительно биссектрисы AL

[Figure 2. The symmedian AAi is constructed as a symmetrical reflection of the median AM with respect to the bisector AL]

Все три симедианы пересекаются в одной точке (это будет показано чуть ниже), которую принято называть точкой Лемуана в честь французского геометра Эмиля Лемуана, занимавшимся ее исследованием (1873). На чертежах согласно [2] точку Лемуана принято обозначать буквами K или L.

Для вычисления площадей треугольников, образованных этой точкой и приведенных в Таблице, нам потребуются знания о некоторых неочевидных свойствах симедиан.

Деление симедианой противоположной стороны треугольника

Обозначим биссектрису, медиану и симедиану, проведенные из вершины A соответственно как AL, AM, AAi (рис. 2), и применим теорему синусов для треугольников BAAi и AAi C.

Из треугольника BAAi следует соотношение:

BAi _ AB _ AB sin (A - в) _ sin(B + A - в) _ sin (C + в)'

Последнее равенство справедливо, т.к.

sin(B + A - в) _sin(n - C - в) _sin(C + в),

а из треугольника AAi C следует равенство:

AiC AC

sin в sin (C + в)

Разделив друг на друга обе полученные формулы, получим:

BAi sin в _ AB sin (A- в) ' AC _ ac'

(1)

Чтобы выразить sinß и sin(A — ß), обратимся к треугольникам MAB и AMC, применив к ним теорему синусов. Для треугольника MAB будет справедливо равенство

BM AB

sinß sin(B + ß)'

откуда

. BM -sin (B + ß)

S1 =-AB--(2)

Из треугольника AMC находим sin (A — ß). Так как

MC AC

sin (A — ß) sin(B + ß)'

то отсюда

. ,Л ол MC - sin(B + ß)

sm(A — ß) =-AC- • (3)

Подставив (3) и (2) в (1) и учитывая, что BM = MC = ^BC, найдем:

BA1 AB sin (A — ß) AB MC-sin(B + ß) AB AB2

А1С АС зтв АС АС ВМ-зш (В + в) АС2'

Откуда видно, что точка пересечения симедианы с противоположной стороной треугольника делит эту сторону на отрезки, пропорциональные квадратам прилежащих сторон. Полученный результат позволяет параллельно доказать также и следующие полезные свойства симедиан.

Пересечение симедиан в одной точке

Поскольку все симедианы пересекаются в одной точке Ь, то можно записать,

что

2|

BA1 c2 CB1 a2 AC1 b2

:2>CB"a?- (4) Применяя теперь к симедианам AAi, BBi, CCi теорему Чевы, имеем

A1C b2' B1A c2' C1B a2'

ва1 св1 ас1 _ с2 о2 ь2 _ 1

~А7' в1а ' С|В _ Ь2 ' с2 ' о2 _ ' а это равенство и означает, что симедианы пересекаются в одной точке.

Вычисление отрезков, на которые симедиана делит противоположную сторону треугольника

Длины отрезков, на которые симедиана делит сторону треугольника, равны:

д ^ ab2 „ ас2 A1C = -,-2 и ДтБ =

b2 + с2 1 b2 + с2'

bc2 Ьа2

-~ и CBi = —^—

а2 + с2 а2 + с2

са2 „ сЬ2

ДБ! = и СБ! = (5)

2 2 2 2

BCi = -,-у и ACi =

b2 + а2 1 b2 + а2' ab2

Покажем, например, что Ai C = —^-,. Поскольку AiB = a — Ai C, то подставив

b2 + c2

„ a — Ai C a c2

это равенство в первое соотношение (4), найдем ———— = — 1 = —2, откуда и

Ai C Ai C b2

следуют все свойства (5).

Вычисление длины симедианы

Обращаясь снова к рисю 2, удобно ввести следующие сокращенные обозначения:

AM = ma, AB = c, AC = b, BC = a. Применяя теорему синусов к треугольнику AAi C, найдем откуда

A1C -sin C

AAi = ' . (6)

Sine

Выразим теперь через стороны треугольника ABC все входящие в правую часть формулы (6) сомножители. Очевидно, что

2S

sinC = -S, (7)

ab

где S - площадь треугольника ABC. Из треугольника ABM по теореме синусов найдем

BM ma

sin в sin B '

откуда

В соответствии с (5):

. „ BM -sinБ а 2S 1 S

smß =-= -----=-. (8)

та 2 ас та ста

-Ь2

Д1С = ь-+сУ (9)

После подстановки формул (7)-(9) в (6), найдем:

ab2 cma 2S 2bcma ,1гЛ

AAl = b?+c? " ■ ab = b2+C2 • (10)

Аналогично можно показать, что

_ 2acrnb

DD1 _ -2>

a2 + С2 (11) rr _ 2abmc (11)

a2 + br

Деление симедианы точкой пересечения на отрезки

Для вычисления соотношения между этими отрезками, нам потребуется доказательство одной малоизвестной теоремы ван Обеля:

Теорема. Пусть на сторонах треугольника AB,BC,AC (см. рис.3) взяты соответственно точки Ci,Ai,B-|. Если прямые AAi,BBi,C| пересекаются в точке O, то имеет место равенство

CO A1C CB1 1 + 1

Доказательство.

CiO AiB BiA

C

Dx--я-7E

C

B

Рис. 3. Чевианы AAi,BBi,CCi пересекаются в точке O [Figure 3. Cevians AAi,BBi,CCi intersect at point O]

Проведем прямую DE || AB, и рассмотрим пары подобных треугольников: 1. AOB и DOE. Отсюда следует, что

CO DE DC + CE DC CE

+ TU- (12)

CiO AB AB AB AB

2. ECAi и AAiB. Это означает, что

EC _ CA AB _ AB'

3. CDBi и ABBi. Тогда справедливо соотношение

(13)

DC CB

AB AB

i

Подставив формулы (13) и (14) в (12), приходим к доказательству теоремы:

CO Ai C CBi

CiO AiB bta

□

Применение теоремы ван Обеля к биссектрисам и симедианам

C

A

B

C,

Рис. 4. Точка L на рисунке это точка пересечения биссектрис или симедиан [Figure 4. The point L in the figure is the intersection point of the bisectors or

symmedians]

1. Найдем, в каком отношении делятся биссектрисы своей точкой пересечения (см. рис.4). Известно, что

A1C _ b BC1 _ a BC1 _ а

Ab _ c' Ab1 _ c' Ac1 _ b'

Тогда для биссектрис CCi,AAi,BBi соответственно имеем

CL а + b AL c + b BL а + c .„r,

(15)

CiL c ' AiL а ' BtL b

2. Найдем, в каком отношении делятся симедианы своей точкой пересечения. В соответствии с вышеизложенным можно записать, что

CAi - b2 BCi - а! BCi - а! AiB -С2' ABi - c2' AC1- b2'

Тогда для симедиан CCi,AAi,BBi соответственно получим, что

CL а2 + b2 AL c2 + b2 BL а2 + c2 . .

(16)

CiL c2 ' AiL а2 ' BiL b2

3. Найдем длины отрезков, на которые разбивает каждую симедиану точка Ле-муана. Для примера вычислим длину Поскольку СС = CL + LC1, причем

c2

CiL _ 2 , , 2 ■ CL (см. формулу (16)), то

а

+b2

CCi _ CL.1 i +-JQ _ CL■ a2 + b2 + c2

a2 + b2/ a2 + b2

или

CJ - a2 +b2 CC CL 2 + b2 + c2 ^ Ь

a

(17)

Далее, согласно (11) СС = . Если теперь подставить это соотношение

в (17), то получим:

а-

+ b2'

CL -

2abmc

a2 + b2 + c2'

(18)

Аналогично получаются и равенства:

al - 2bcma bl - 2acmb

a2+b2+c

a2 + b2 + c2'

(19)

Вычислим теперь площадь треугольника, вершины которого являются основаниями симедиан (см. рис.5).

С

C

B

Рис. 5. Вершины треугольника Ai Bi Ci это основания симедиан AAi, BBi, CCi [Figure 5. The vertices of the triangle AiBi Ci are the bases of the symmedians

AAi, BBi, CCi]

Для ее вычисления воспользуемся следующим соотношением:

sa^c _ sabc - sbatct - sabtct - scatbt ; где угловые площади есть

(20)

SbatCt - ^BCi ■ BAi ■sinB, SaBtCt - 2aCi ■ ABi ■sinA, Scat bt - 2CBi ■ CAi ■sin C.

(21)

Подставив в (21) формулы (5) и известные соотношения для синусов углов, а именно

• ^ 25 . Л 25 . ^ 25

этВ = —, этА = -— , этС = —-, ае Ьс ао

немедленно приходим к следующим равенствам:

_ S ■ а2 с2 BAlCl _ (а2 + b2) (b2 + с2)' S-bV

S

SAB^ _

(а2 + b2) (а2 + с2)'

(22)

S

S • a2b2

catbT

(а2 + с2) (b2 + с2)'

где S = Sabc-

Если подставить теперь в (20) равенства (22), то получаем:

sb1a1c1 _ s ■ 1 —

22 а2 с2

22

Ь2С

22

а^

(а2 + Ъ2) (Ь2 + с2) (а2 + Ъ2) (а2 + с2) (а2 + с2) (Ъ2 + е2) ) '

После несложных преобразований, связанных с приведением к общему знаменателю выражения, стоящего в круглых скобках, мы приходим к такому компактному ответу:

SBiAiCi _

2S

(23)

(а2 + Ъ2) (Ъ2 + с2) (а2 + с2)'

В продолжении решения задач, связанных с точкой Лемуана, приведем подробное решение задачи о вычислении площади подерного треугольника, показанного на рис.6.

В

Рис. 6. Из точки пересечения симедиан AAi,BBi,CC| опущены перпендикуляры на стороны треугольника LM,LN,LF. Углы а, между симедианами AAi,BBi,CCi и прилежащими более короткими сторонами треугольника равны углам, образованными медианами ma,mb,mc с более длинными сторонами

[Figure 6- From the point of intersection of the symmedians AAi,BBi,CCi perpendiculars are dropped to the sides of the triangle LM,LN,LF - Angles а, |3,y between symmedians AAi,BBi,CCi and adjacent more the short sides of the triangle are equal to the angles formed by the medians ma,mb,mc with longer sides]

Для этого площадь подерного треугольника удобно представить в виде суммы:

C

5 = SLFM + SLFN + SLMN , (24)

где

SLFM = 2 ■ LF ■ LM ■ зшВ,

SLMN = 2 ■ LN ■ LM ■ зш А, (25)

= 2 ' LN ■ LF ■ зш С,

и введены сокращенные обозначения

В = /АВС, А = /ВАС, С = /АСВ.

Что касается отрезков LF,LM,LN,LM,LN,LF, то их мы можем найти из следующих шести прямоугольных треугольников:

ЛLFC : LF = LC ■зшу, ДLNC : LN = LC■зш (С - у), AALN : LN = AL ■ зш а,

(26)

AALM: LM = AL ■ зш (А - а), ДBLM: LM = BL ■ зш (В - в), ДBLF : LF = BL ■ зш в-

Если теперь в первую формулу (25) подставить последние два равенства из (26), во вторую формулу (25) - средние два равенства из (26) и в третью формулу (25) - первые два выражения из (26), то в итоге приходим к таким выражениям для площадей:

1 2

SLFM = 2 ■ В^-зш(В — в) - зшу ■зшВ,

SLMN = 2 ■ AL2 ■зш (А — а) ■зш а ■эт.А, (27)

1 2

SLFN = 2 ■ С^ ■зш(С — у) ■зшу ■ зш С. В соответствии с формулами (18) и (19)) мы имеем право записать, что

2 I 2abmc N лт2 / 2bcma \ DT2 ( 2acmb

С Пате?]- (28)

Таким образом, следующая задача, которая требует решения, заключается в вычислении произведений синусов, стоящих в правых частях формул (27). Обратим внимание, что углы между симедианами АА1, ВВ1, СС1 и прилежащими к ним

2

более короткими сторонами треугольника должны быть равны углам, образованным медианами та,ть,тс с более длинными сторонами (см. рис. 7):

C

Рис. 7. Медианы треугольника AAm = та,ББм = ть,ССм = mc, пересекаются в центроиде M, симедианы AAi,BBi,CCi пересекаются в точке Лемуана L. Углы, образованные медианами и симедианами с ближайшими сторонами треугольниками равны по определению [Figure 7. Triangle medians AAM = ma,BBM = mb,CCM = mc, intersect at centroid M, symmedians AAi,BBi,CCi intersect at the Lemoine point L. The angles formed by medians and symmedians with triangles nearest sides are equal by definition]

Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то, обозначив через S площадь треугольника ABC, стороны треугольника через AB = c,BC = a, AC = b, находим:

откуда

И аналогично

Sabbm = s = ^cmbsinß,

sin ß =

cmb

S

Saccm = ^ = ^ bmcsiny,

S = 1

2 = 2 S

smy =

sin a =

bmc'

S = 1 2 = 2' S

>BAAM = cmasrna,

cma

Синусы углов А — а,В — в, С—у также находятся из соответствующих треугольников. Действительно,

S 1

Scbbm = 2 = 2a' mbsin (B - ß),

откуда

Аналогично,

S

sin(B - ß) =

amb

S = 1 2 = 2' S

Sbccm = Ö = Ö a ■ mcsin(c- Y) ,

sin(C — y) =

amc

S 1

Sacam = 2 = 2b ■ m^n (A — a), sin(A — a) = S

bma

И, следовательно, произведения синусов, стоящих в правых частях формул (26) будут

S S 2S 2S3

sinß -sin(B — ß) -sinB =

sin a - sin (A — a) - sin A = sin y - sin ( C — y) - sin C =

cmb amb ac a2c2mb '

S S 2S 2S3

cma bma bc b2c2m2'

S S 2S 2S3

Ьтс атс аЬ а2Ъ2тС'

Подстановка полученных произведений в формулу (27) с учетом формул (28) позволяет нам представить их в следующем виде:

SLFM = - ■

1 í 2acmb \2 2S3 4S3

2 Va2 + b2 + cV a2c2mb (a2 + b2 + c2)2'

1 2bcma 2 2S3 4S3

>LMN = 2 \ a2+b2+cV " bw2 = ' (29)

1 / 2abmc \2 2S3 4S3

SLFN 2 Л a2 + b2 + c2J ' a2b2m2 (a2 + b2 + c2)2'

Геометрический смысл формул (29) позволяет утверждать, что точка Лемуана треугольника ABC является центром тяжести подерного треугольника относительно этой точки.

Поскольку площадь подерного треугольника MNF представляет собой сумму тождественно равных площадей (29), то ее можно записать в виде

12S3

Smnf =-у • (30)

N fa2 + b2 + c2)2

Учитывая, что

S - abc

S - 4R ' 208

где И - радиус описанной окружности, полученный результат можно преобразовать следующему симметричному виду:

smnf — 12s-

12S

abe

a2 + b2 + c2)2 16R2 Va2 + b2 + c2J 4R2 Va2 + b2 + c2

3S

abe

(31)

Рассмотрим теперь треугольник А2В2С2 (см. рис.8), вершинами которого являются точки пересечения симедиан с описанной окружностью.

с.

B

B2

Рис. 8. Симедианы AAi,BBi,CCi продолжены до пересечения с описанной вокруг треугольника ABC окружностью. Точки пересечения A2,B2,C2 являются вершинами треугольника A2B2C2 [Figure 8. The symmedians AAi,BBi,CCi are extended up to the intersection with the circumcircle of the triangle ABC. The intersection points A2,B2,C2 are the

vertices of the triangle A2B2C2]

Треугольники A2B2C2 и ABC вписаны в общую окружность, радиус которой можно записать в виде

R—

abe a2b2C2

4S

4S2

откуда

a2 b2 С2

S2 —--~T----S>

abc

(32)

где AB = c, BC = a, AC = b, A2B2 = c2, B2C2 = a2, A2C2 = b2, S2 - площадь треугольника A2B2C2, S площадь треугольника ABC. В качестве примера найдем сторону B2C2.

Из подобия треугольников LBC и LB2C2 (по трем углам) следует, что

B2C2 LC2

BC

LB '

2

2

2

S

откуда

Согласно формуле (19):

B2C2 = lb ■ lc2- (33)

BL = 2аеть

а2 + Ь2 + с2'

Длину отрезка ЬС2 можно вычислить как сумму

ЬС2 = ЬСт + С С2. (34)

Из рисунка 8 ясно, что ЬС] = СС] — СЬ. Поскольку длина симедианы нам известна (см. формулу (11)), то согласно (18)

СЬ = 2аЬтс

= а2 + Ь2 + с2'

Поэтому

ТС = СС — СТ = 2аЬтс — 2аЬтс =_2аЬ2тс_

1 = 1 = а2 + Ь2 а2 + Ь2 + с2 = (а2 + Ь2) (а2 + Ь2 + с2)' ( )

Чтобы найти отрезок С] С2, воспользуемся свойством постоянства произведения отрезков пересекающихся хорд:

АС1 ■ ВС1 = СС1 ■ С1С2.

Откуда

С С АС] ■ ВС] (36)

С1С2 = —СС]—' (36)

Поскольку длины отрезков, на которые симедиана разбивает сторону треугольника нам известны (см. формулы (5) и (10)), то из (36) следует

С]С2 = 2тс(!ч Ь2)' (37)

где учтено, что

аЬ2 са2

СА1 = ТТТ,—2,ВС1 = —2' Ь2 + с2 Ь2 + а2

Подставляя теперь результаты (35) и (37) в (34), найдем:

LC2 = LC + C C2 = 2аЬ2те аЬС

(а2 + Ь2)(а2 + Ь2 + с2) 2те(а2 + Ь2) аЬе2 (4т2 + а2 + Ь2 + с2) 3аЬе2

2тс (а2 + Ь2) (а2 + Ь2 + с2) 2тс (а2 + Ь2 + с2)' где в процессе преобразования была использована формула для длины медианы

4тС = 2 (а2 + Ь2 ) - с2.

Теперь все сомножители в правой части формулы (33) нам известны:

BC

a-3obc2- fa2 + b2 + c2

3ab

B2C2= — ■ LC2= — .

LB 2acmb^2mc(a2 + b2 + c2) 4mbmc

(38)

Совершенно аналогично из подобия треугольников ALC и A2LC2 найдем, что

3ab

A2C2 =

4mamc '

а из подобия треугольников ALB и A2LB2:

A2B2 =

3ab

(39)

(40)

4татЬ

Подставляя формулы (38)-(40) в основную формулу (29), приходим к искомому выражению для площади треугольника А2В2С2:

S = s 3abc 3abc 3abc = 27^ abc \ a2b2c2 4mbmc 4mamc 4mamb 64 \mambmc/ '

(41)

Исследование треугольников, порожденных точкой Брокара

Внутренняя точка треугольника P (Q) называется первой (второй) точкой Брокара (в честь французского геометра Анри Брокара, первым опубликовавшим в 1875 году процесс ее построения), если ZPAC = ZPCB = ZPBA = ф1 (ZQAB = ZQCA = ZQBC = ф2) (см. рис.9).

Б.

Bj

C

C

Рис. 9. На рисунке показаны первая (рис.а) и вторая (рис.Ь) точки Брокара [Figure 9. The figure shows the first (fig.a) and second (fig.b) Brocard points]

Известно [8], что оба угла Брокара равны, т.е. cpi = ф2 = ф, при этом угол ф определяется для данного треугольника однозначно и для него справедливо

^ф = ctg a + ctg ß + ctg y, (42)

Бт3ф — ф)зт^ — ф)зт(у — ф),

где а, в,У - углы треугольника.

Заметим к слову, что в настоящей работе мы приведем исследование не только некоторых свойств треугольников, порожденных первой точкой Брокара (для второй результаты вполне аналогичны), но и получим общее выражение для синуса

угла Брокара через стороны треугольника. При этом на чертежах точку Брока-ра (X(39) по нумерации ETC [2]) будем обозначать буквой P. При исследовании свойств треугольников Ai Bi Ci, A2B2C2 и MNF (см. рис.1) нам весьма важно знать и способ построения этой точки, который подробно изложен в [8], а именно точка Брокара находится на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах (см. рис. 10).

Рис. 10. Треугольники ACBi, AiBC, ABCi подобны треугольнику ABC. Прямые AAi, BBi, CCi, пересекаются в точке Брокара [Figure 10. Triangles ACBb A1BC, ABC are similar to triangle ABC. The lines AA1, BBi, CCi, intersect at the Brocard point]

При внимательном анализе рис. 10 становится понятным (см. [8]), что, во-первых, точка Брокара является точкой пересечения трех окружностей, каждая из которых описана вокруг одного из треугольников ACBi, AiBC, ABCi, а, во - вторых, мы имеем параллельность следующих отрезков BAi || AC, CBi || AB и ACi || BC (см. рис. 11).

в A

/Т НУ ^^^

/

A^i г

K с

Рис. 11. P - точка Брокара, ф - угол Брокара [Figure 11. P - Brocard point, ф - Brocard angle ]

Именно параллельность отрезков будет играть важную роль при выяснении некоторых свойств чевиан, проходящих через точку Брокара.

Деление противоположной стороны

В качестве примера подробно разберем этот вопрос для стороны ВС, которую чевиана АР пересекает в точке р. Согласно теореме синусов для треугольника

L

BAi C имеем:

asina BAi = ^Т •

sin в

Воспользовавшись теперь подобием треугольников BAi Q и ACQ найдем, что

bq = BAi

QC = AC '

или

BC — QC asina QC sin в ■ b'

откуда

ab а

QC

ма + bsin ß '

ab а a2 а

(43)

QB = a — CQ = a —

ма + bsin^ мпа + bsinp Подставляя сюда формулы

2S . „ 2S . 2S

sin а = -— ,smB = — ,siny = —-,

bc ac ab

после простых преобразований получим:

ab2 a3 QB a2

QC = ,QB = ' QC = b*' (44)

Совершенно аналогично, рассматривая пары подобных треугольников BlNC ANB и С] А? ~ ВС? (см. рис.10), приходим к аналогичным выводам:

bc2 ___ Ьз AN c2

AN = NC =

c

+ b2' c2 + b2' NC b2'

ca2 ^ BF a2

(4Б)

BF = -AF =

а2 + с2' а2 + с2' А? с2'

Деление чевиан AQ,BN,CF точкой Брокара

Исследуем этот вопрос воспользовавшись теоремой ван Обеля.

С, в

Рис. 12. Чевианы AQ,BN,CF пересекаются в точке Брокара [Figure 12. The Cevians AQ,BN,CF intersect at the Brocard point]

Действительно, согласно теореме ван Обеля можно записать следующие три равенства:

ВР _ В? ВО СР _ ер CN АР _ А? AN РЯ _ ?А + ОС' Р? _ рВ + ЯА' Рр _ ?В + N0'

Подставив сюда соотношения (44) и (45), после простых преобразований, получим:

BP г( 1 1

= а

c2 + b2 11

c2 а2 11

РЯ

СР _ Ь2(С? + ^Ь (46)

АР _ 2

ро _с ^а2+ь2

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника, вершинами которого служат основания чевиан, проходящих через точку Брокара. В соответствии с таблицей, на рис. 13 эти точки обозначены как А],В], С]:

В

C

B,

Рис. 13. Треугольник AiBiCi образован основаниями чевиан, проходящих через точку Брокара

[Figure 13. The triangle AiBi Ci is formed by the bases of the cevians passing through

the Brocard point]

Из рис. 13 следует, что

sa^ct = S — sa^c — saTbcT — sabTcT >

причем c учетом (44) и (45):

saTbTc = 2cat ■ CB^ny: sabt c = ^ABi ■ AC^na:

S-b4

SatBCt = ^BAi ■ BCi sinß =

(a2 + b2) (b2 + c2)

S-c4 (a2 + c2) (b2 + c2)

S-a4 (a2 + c2) (b2 + a2)

(47)

Подставляя полученные равенства в (47) и проводя некоторые алгебраические преобразования, приходим к искомому результату:

S

aibT cI

=S

2a2b2c2

(а2 + Ь2) (Ь2 + с2) (а2 + с2)'

Приведем теперь вычисление площади подерного треугольника относительно точки Брокара (рис. 14):

В

'К

A/-

C

Рис. 14. Треугольник MNF - подерный относительно точки Брокара [Figure 14. Triangle MNF - subdermal with respect to the Brocard point]

Из рис. 14 видно, что

SMNF = SFPN + SMPN + SMPF)

(48)

где

Sfpn = ^PN ■ PM^siny, Smpn = 2PN ■ PF ■ sin ß, SMPF = 2fP^ PM-sina.

(49)

Чтобы найти расстояния от точки Брокара до сторон треугольника, т.е. отрезки PN,PM,Р?, выразим для начала этф через стороны АВ = с,АС = Ь,ВС = а. Из подобия треугольников АВВ] и АРВ] (см. рис. 13) следует, что

AB! = BBi

PBT = ABT

Откуда

Но поскольку

ABf = PBT ■BBi.

BBT = PBT + PB,

то согласно формуле (46) где коэффициент

Поэтому

И из (50) получаем

BP = k ■ PBb

k = aZ,c2 + b2

BB1 = PB1 ■ (1 + k).

(51)

АВт _ РВ] • V1 + к.

Интересующий нас ^п ф найдем из треугольника АРВ]. Согласно теореме синусов имеем:

РВт •эт.а

81Пф =

AB

Подставив сюда выражение (51), и учитывая равенства k = a2 ( —~ +—2 ) и sin a =

2S

—, приходим к результату: bc

11

;2 ' b2

81Пф =

2S

Vb2c2 + a2b2 + a2c2'

(52)

И, таким образом, мы можем теперь приступить к вычислению расстояний от точки Брокара до сторон треугольника, т.е. найти отрезки РЯ,РМ,Р?. В качестве примера остановимся на вычислении Р?. С учетом формулы (51) и формулы (45) можно записать, что

BP =

k

• AB1 =

2 a2c

VI + k Vb2c2 + a2b2 + a2c2

В свою очередь, из прямоугольного треугольника FPB следует, что

™ ™ • 2Sa2c

FP = BP -sin ф =

b2c2 + a2b2 + a2c2' (53)

Аналогично, используя подобие треугольников BPCi ~ CBCi, из прямоугольного треугольника PNC следует, что

NP =

2Sb2a

b2c2 + a2b2 + a2c2' Точно также для треугольников ACAi ~ CPAi и PAM получим

(54)

MP =

2Sc2b

b2c2 + a2b2 + a2c2' Таким образом, формулы (49) можно преобразовать к виду:

1

1™, . 8S3b2c2

Sfpn = 2PN ■ PM • sin y = ——-—----j,

2 (b2c2 + a2b2 + a2c2)2

1 8S3b2a2 Smpn = 2PN ■ PF ■ sin ß = ——-—-—2,

2 (b2c2 + a2b2 + a2c2)2

1

8S3a2c2

Smpf = x FP ■ PM ■ sin a = — 2.

2 (b2c2 + a2b2 + a2c2)2

(56)

Складывая все три равенства (56) и, учитывая формулу Б = а"", приходим к доказательству еще одной формулы из Таблицы 1:

S 3 b2c2 + a2b2 + a2c2 4S Smnf = 4S -=T = 4S ■

1

(b2c2 + a2b2 + a2c2) 1S

2

_S__=__

4R2 ^ b2c2 + a2b2 + a2c2 = 4R2 ■ ^ + + ' aW c2 a2 b2

a2b2c2 _

16R2 ^ b2c2 + a2b2 + a2c2

1

Простое вычисление площади треугольника A2B2C2

^ a2

B

Рис. 15. На рисунке показаны равные между собой вписанные углы [Figure 15.The figure shows equal inscribed angles]

Согласно теореме о вписанном угле точка P является первой точкой Брокара для треугольника ABC и второй точкой Брокара для треугольника A2B2C2 (см. рис. 15). Из этого будут следовать очевидные соотношения для соответствующих сторон треугольников ABC и A2B2C2:

a

a2 = 2R b

b2 = 2R, c

c2

sin a sin y ' sinß sin a ' sin y sinß

Это означает, что Откуда имеем:

а2 sin y b2 sin а c2 sinß а sin а b sinß c sin у'

а2 b2 c2 sin у sin а sinß

a b c sin a sin в sin y 1 (57)

И точно также, как и при решении аналогичной задачи для точки Лемуана можно записать, что

a2 b2 c2

S2 =--~T----S.

abc

Откуда после применения соотношения (57) следует искомое утверждение:

S = S2.

Заключение

В заключение работы обратим еще раз внимание на основные моменты проведенного исследования.

1. Проведено исследование некоторых геометрических свойств треугольников, порожденных точками Лемуана и первой точкой Брокара;

2. Продемонстрирована «работа» теоремы ван Обеля для некоторых примеров с чевианами треугольника.

3. Подробно изучены свойства симедиан и чевиан, проходящих через первую точку Брокара.

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы учавствовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление ококнчательной версии статьи в печать. Окончательная форма рукописи была одобрена всеми авторами.

Список литературы

1.

Федоров Б. П. , Богданова С. Б., Гладков С. О. О некоторых неизвестных результатах, связанных с нетривиальными свойствами обычных треугольников. Ч. I., Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 37, №4, С. 216-234.

2. https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/etc.html.

3. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: Планиметрия, преобразования плоскости, Т. 1. М.: МЦНМО, 2004.312 с.

4. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, В 2 ч.. М.: Наука, 1991.320 с.

5. Ефремов Д. Д. Новая геометрия треугольника. М.: URSS, 2015.352 с.

6. Шарыгин И.Ф. Решение задач, Учеб. пособие для 10 кл. М.: Просвещение, 1994.252 с.

7. Шарыгин И.Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач, Учебное Пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991.384 с.

8. Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. М.: МЦМНО, 2000.24 с.

Федоров Борис Павлович (1931-2003) — преподаватель кафедры математики (1967 по 2000) Государственного гуманитарно-технологического университета, г. Орехово-Зуева, Россия.

*

Богданова Софья БорисовнаА - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры Прикладные программные средства и математические методы, Московский авиционный институт (Национальный исследовательский университет), г. Москва, Россия, 0000-0001-8503-1794.

Гладков Сергей ОктябриновичА - доктор физико-математических наук, профессор, доцент кафедры Прикладные программные средства и математические методы, Московский авиционный институт (Национальный исследовательский университет), г. Москва, Россия, СЖСГО 0000-0002-2755-9133.

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2022. vol. 39. no. 2. pp. 197-221. ISSN 2079-6641

EDUCATIONAL-METHODOLOGICAL MATERIALS

MSC 97G40 Research Article

On some unknown results related to the nontrivial properties of

ordinary triangles. Part 2

B.P. Fedorov ,S. B. Bogdanova, S. O. Gladkov

Moscow Aviation Institute, 125993, Moscow, Volokolamskoe sh., 4, Russia E-mail: sonjaf@list.ru

It was given the detailed solution of a number of original problems formulated by B.P. Fedorov a spell ago. These problems flow organically from the study of the nontrivial properties of Euclidean triangles, including its poorly understood properties, provided with Lemoine point and Brocard point.

Key words: triangle properties, division of the sections, Lemoine point, Brocard point, Van Obel theorem.

d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-197-221

Original article submitted: 11.06.2022 Revision submitted: 15.09.2022

For citation. Fedorov B. P. |, Bogdanova S. B., Gladkov S. O. On some unknown results related to the nontrivial properties of ordinary triangles. Part 2. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2022, 39: 2,197-221. d DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-197-221

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Fedorov B. P. , Bogdanova S.B., Gladkov S.O., 2022

References

[1] Fedorov B.P. I, Bogdanova S.B., Gladkov S.O. On some unknown results related to the nontrivial properties of ordinary triangles. Part 1. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, vol.37, no. 4, 216-234 (In Russian)

[2] https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/etc.html (In Russian)

[3] Ponarin Ya. P. Elementarnaya geometriya [Elementary geometry], vol.1: Planimetriya, preobrazovaniya ploskosti [Planimetry, plane transformations], MocKBa, MTsNMO, 2004, p. 312 (In Russian)

Funding. The work was done without financial support

[4] Prasolov V. V. Zadachi po planimetrii [Problems in planimetry], Moscow, Nauka, 1991, p. 320 (In Russian)

[5] Yefremov D.D. Novaya geometriya treugol'nika [New triangle geometry], Moscow, URSS, 2015, p. 352 (In Russian)

[6] Sharygin I. F. Resheniye zadach.: Ucheb. posobiye dlya 10 klassa [Problem solving.: Textbook for 10 classes], Moscow, Prosveshcheniye, 1994, p. 252 (In Russian)

[7] Sharygin I. F., Golubev V.I. Fakul'tativnyy kurs po matematike. Resheniye zadach. Uchebnoye Posobiye dlya 11 kl [Optional course in mathematics. Problem Solving: Textbook for Grades 11 classes], Moscow, Prosveshcheniye, 1991, p. 384 (In Russian)

[8] Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение [Brocard points and isogonal conjugation], Moscow, MTsNMO, 2000, p. 24 (In Russian)

Fedorov Boris Pavlovich (1931-2003) - Lecturer at the Department of Mathematics (1967 to 2000) at the State Humanitarian and Technological University, Orekhovo-Zueva, Russia.

Bogdanova Sofya Borisovna A - Ph.D. (Phys. & Math.), Associate Professor, Associate Professor of Applied Software and Mathematical Methods, Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia, 0000-0001-8503-1794.

Gladkov Sergey Oktyabrinovich A - D.Sc. (Phys. & Math.), Professor, Associate Professor of the Department of Applied Software and Mathematical Methods, Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia, ORCID 0000-0002-2755-9133.