CC BY
29
КАК «ОТКРЫТЬ» СВОЮ ТЕОРЕМУ
Мамедяров Даглар Мамедярович
канд. пед. наук «Социально-педагогический институт», РФ, г. Дербент
E-mail: sakitorudjev@mail. ru Вакилов Шамиль Магомедович.
канд. пед. наук «Дагестанский государственный педагогический университет»,
РФ, г. Махачкала.
HOW TO "DISCOVER" OWN THEOREMS
Daglar Mamedyarov
candidate of Pedagogical Sciences, "Social Pedagogical Institute " , Russia, Derbent
Shamil Vakilov
Candidate of Pedagogical Sciences, Dagestan State Pedagogical University, Russia,
Makhachkala
АННОТАЦИЯ
Статья посвящена теме обучения учащихся теоремам. Рассматривается форма организации работы с учащимися, где учащиеся самостоятельно или с помощью учителя «открывают» свои теоремы, грамотно формулируют и записывают их.
ABSTRACT
The article is devoted to the topic of teaching theorems to students. A form of work organization with students is considered where students "discover" their own theorems, correctly formulate and write them down independently or with the help of a teacher.
Ключевые слова: суждение; теорема; равенства.
Keywords: verdict; theorem; equations.
Суждение — понятие формальной логики, одна из форм мышления наряду с понятием. В суждениях отображаются свойства объектов, понятий, свойства отношений между ними. Суждение — аналог высказывания в математической логике. Относительно каждого суждения можно сказать, истинно оно или ложно. Суждение может быть непосредственным, полученным из наблюдений, ощущений или по интуиции, и опосредованным, полученным из других
суждений с помощью логического вывода. Опосредованные суждения называются умозаключениями. В математике изучаются два вида суждений — аксиомы и теоремы. Аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства в данной теории. Теоремы — утверждения, истинность которых устанавливается посредством доказательства. С теоремами учащиеся имеют дело в различных разделах школьного курса: в арифметике, алгебре, началах анализа, но наиболее выпукло они представлены в курсе геометрии, и именно перед этим курсом ставится важная общая задача — научить учащихся доказывать теоремы. Принципы подхода к обучению учащихся теоремам и их доказательствам следует из двух соображений. Во-первых, теорема — это новый материал, подлежащий изучению, и с этой точки зрения в изучении теоремы можно выделить следующие этапы: подготовка к изучению нового материала (пропедевтика), мотивация изучения нового материала, введение нового материала — организация его восприятия, понимания, закрепление, применение. Теорема является задачей на доказательство, выражающий некоторое важное отношение, свойство, и поэтому на методику изучения теорем распространяются, рекомендации, относящиеся к различным этапам решения задач, таким как обучение поиску закономерности, идеи доказательства, обучение анализу условия и исследованию полученного решения. При обучении учащихся теоремам могут иметь место различные методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический исследовательский [1. с. 91]. Для того, чтобы повысить интерес к изучаемой теореме, чтобы ее изучение стало лично значимой целью, полезно перед изучением теоремы предъявлять интересные задачи, желательно практического содержания, которые для своего решения требуют изучения нового материала. Очень часто приходится встречаться с таким фактом, когда учащиеся заучивают формулировку теорем, не осознавая полностью их смысла. Если ученик сам находит закономерность, сам формулирует теорему, то это позволяет избавиться от формализма в знании формулировок. В школе мы только обучаем учащихся теоремам. А как научить учащихся «открывать» свои теоремы, грамотно и лаконично записывать их
^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп
д РооРгеегег
формулировки? Для этого мы рекомендуем проводить на уроках мини-исследовательские работы. Эта работа будет более эффективной, если проводить ее с сильными учащимися, а также на факультативных и кружковых занятиях, где занимаются в основном сильные ученики. При организации такой работы перед учащимися не ставится конкретная задача. Задача одна — получить новую информацию. Задача учителя — направлять учащихся, когда надо, в нужное направление.
Приведем примеры такой работы.
Учитель: Вычислите площадь треугольника А, В, С по двум сторонам и углу между ними (черт. 1).
Чертеж 1.
Учащиеся записывают: S = 1ас sinfi (1),S = smy (2),
S = 1bc sin (3).
Учитель: Выразите из этих формул синусы углов.
Учащиеся записывают: sinfi = ^ (4),sin\ = (5), sin = (6).
Учитель: Найдите соотношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов.
a a abc b abc с abc
Учащиеся пишут:-= тт = —; —" = —; -= —-
J sina — 2S sinp 2S siny 2S bc
Сравнивая правые части, учащиеся приходят к равенству
abc abc
-= -= -= — (7) и лаконично записывают результат в виде
sina sinp sinY 2S
теоремы: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Так как учащиеся знают, что —— = —Ъ— = —— = 2R, то сравнивая это с (7),
sina sinfi siuy
получают: ^^ = 2R. Отсюда находят R, R = ^^ (8). Полученный результат
записывают в виде теоремы: радиус описанной около треугольника окружности равен отношению произведения сторон учетверенной площади треугольника.
Некоторые учащиеся из (8) могут выразить площадь треугольника: S = ^^ и
записать результат в виде следующей теоремы: площадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу, описанного около него окружности.
Учитель: Выразите из (1), (2), (3), стороны треугольника.
Учащиеся записывают: а = 2S „ (9), b = 2S (10), с = 2S (11).
с sinp а Б1Щ b sina
Учитель: Что мы получим, если сложит эти равенства? Учащиеся получают:
а + Ь + с = + + = 25 + + Отсюда
с sinfi a siuy b sina \с sinfi a sinY b sina/
а+ъ+с = —+--1--\--1— (12). Заметив, что 2S = r(a + b + с), где r—
2S с sinfi a sinY b sina K y
радиус вписанной окружности и поставив в (12) вместо 2S выражение
р 1111 r(a + b + с), ученик получает: —-- =-- +---\--= - (13).
4 у г(а+Ь+с) с sinfi a sinY b sina r
Результат учащиеся записывают в виде теоремы: для любой окружности, вписанной в треугольник со сторонами
и 1.1.11
а, Ь, с выполняется равенство-- +---\--= - .
с sinfi a sinY b sina r
Один из учеников, заметив, что R > г составит следующее неравенство:
1 1 11 --\--- +--> - (14) и записывает свою теорему: для любого
a sinY с sinP b sina R
треугольника со сторонами а, Ь, с, справедливо неравенство
1 1 11
+--— + —— > - , где R— радиус описанной около этого
asinY csinfî bsina R
треугольника окружности.
2S
Некоторые учащиеся перемножают (9), (10) и (11) и получают: abc =
с sinfi
2S 2S 8S3
a sinY b sina abc^sinœsinfrsinY
_8£
sinœsinfrsinY
8^3
Далее a2b2c2=—-— ; Отсюда находят произведение синусов
8S3
внутренних углов треугольника: sina • sinfí • sinY = агъгс2 (15).
Формируют и записывают теорему: произведение синусов внутренних углов треугольника равно отношению увосьмиренного куба площади и к квадрату произведения его сторон.
Учитель: Что получим, если предположим, что в (15) один из углов прямой.
Учащиеся: Пусть, к примеру а = 90°. Тогда равенство (15) будет иметь вид:
8S3 1
sinfí • sinY = а2Ь2(а2+Ь2) , так как sin 90° = 1. Учитывая, что S = -ab, получаем
. ~ ab ab
sin(3-sinY = — = - .
Учащиеся формулируют и записывают новую теорему: в прямоугольном треугольнике отношение произведение катетов к квадрату гипотенузы равно произведению синусов его острых углов.
Из (15) учащиеся выражают площадь S.
S = 1Уa2b2c2sina • sinfí • sinY = ~ ](abc)2 • jjsina • sinfí • sinY (16).
Учащиеся формулируют и записывают новую теорему: площадь треугольника равна половине произведения кубических корней от квадрата произведения сторон и произведения синусов внутренних углов.
Вспомнив, что Isinxl < 1, и что sina, sinfi, sinY не могут равняться 1
8S3
одновременно, учащиеся пишут: 2b2 2 < 1 или 8S3 < а2Ь2с2 (17).
Учащиеся формулируют и записывают теорему: для любого треугольника выполняется неравенство 8S3 < а2Ь2с2.
Выражая из (17) S <1 lla2b2c2 учащиеся формулируют теорему: площадь
треугольника меньше половины кубического корня из квадрата произведения его сторон.
Учитель: Из равенств (1) и (3) выразите а и Ь.
Учащиеся получают: а = 2S „; b = 2S .
с sinp с sina
Учитель: Найдите сумму и разность а и Ь.
, 7 2S , 2S 2S(sina+sinB)
Учащиеся получают: а + b = —— +--;— = ——-—— ,
с sinp с sina c(sinœsinp)
2S 2S 2S(sina-sinp)
a — b =
с sin^ с sina c(sinœsinP) Учитель: Найдите произведение (a + b)(a — b).
2 1 2 4S2(sin2 a -sin2 p) , Л
Учащиеся получают: a2 — b2 = —т——;-, 9 __ (18).
c2(sin2 a •sin* P)
Учитель: Выразите из полученного равенства (18) площадь треугольника. Учащиеся: (а2с2 — b2c2) sin2 а • sin2 fi = 4S2(sin2 а — sin2 fi),
fnç\2 _ (a2c2-b2c2) sin2 a^sin2 P sin2 a -sin2 p '
^ „ 1 c2(a2-b2)(sinœsinP)2 1 . a2-b2
Отсюда S = - I-—-—rz-= -c sina^sinfi I^—-(19).
2 sin2 a -sinL p 2 sin2 a -sinL p
Учащиеся формулируют «свою» теорему: площадь треугольника равна половине произведения стороны и синусов прилежащих углов, умноженное на квадратный корень из частного разности квадратов двух других сторон и разности квадратов синусов противолежащих им углов.
Учитель: Из прямоугольника А, В, С (черт. 1) найдите площадь.
Учащиеся получают следующие результаты.
1а ha = 1ab sinY = \bc s^na = \ ас (20).
1с hc =1ab sinY = \bc sina = 1 ac sinfi (21). ii i i
-b hb = -ab sinY = 2^c s™a = 2 ac (22) [2. с. 174].
Учитель: Перемножьте левые и правые части этих равенств.
Перемножив их, учащиеся получают следующие равенства:
sin3 у = ^ (23), sin3 а = «20С (24), sin3 ß = ЬЛ^с (25).
Учащиеся формулируют и записывают теорему: куб синуса внутреннего угла треугольника равен произведению стороны и всех высот, деленное на квадрат произведения двух других его сторон.
Далее, учитель просит сложит равенства 23, 24, 25. Сложив их, учащиеся
получают: sin3 у + sin3 а + sin3 ß = hahbhc + + т^) (26).
и ^ С и С /
Тут учащиеся формулируют и записывают теорему: сумма кубов синусов внутренних углов треугольника равна произведению его высот на сумму отношений стороны к квадрату произведения двух других сторон.
Некоторые учащиеся, заметив, что sin х < 1 могут сформулировать другую теорему: отношение произведения любой стороны треугольника и его высот к квадрату произведения двух других сторон не больше 1.
При организации такой работы, учащиеся могут «открыть» для себя очень много интересной информации. После нескольких занятий учащиеся овладевают таким умениями, как селективное комбинированное (умение соединять фрагменты информации, чтобы получить новое), селективное сравнение (решение по аналогии), а также развиваются исследовательские умения и навыки, творческое мышление, повышаются уверенность и самооценка учащихся.
Список литературы:
1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе. Ростов-н/Д. «Феникс» 2005, — 252 стр.
2. Мамедяров Д.М. Вакилов Ш.М. Развитие творческого мышления учащихся на основе фреймовой формы обучения на факультативных занятиях. Вестник Костромского госуниверситета им. Н.А. Некрасова, научно-методический журнал «Акмеология образования», 2007, том 13. — 220 стр.
