CC BY
11ного штелекту перспективним напрямком психолого-пе-дагопчного дослвдження.
Посилання:
1. Goleman D. Primal leadership: The hidden driver of great performance/ D. Goleman, R. Boyatzis, A. McKee// Harvard Business Review. - 2001. -79 (11). - P. 42-53.
2. Петровский А. В. Краткий психологический словарь / А. В. Петровский, М. Г. Ярошевский. - М: Политиздат, 1985. - 431 с.
3. Дубровина И. В. Руководство практического психолога: психическое здоровье детей и подростков в контексте психологической службы / И. В. Дубровина. - М: Издательский центр Академия, 1998. - 176 с.
4. Хухлаева О. В. Основы психологического консультирования и психологической коррекции: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / О. В. Хухлаева. - М: Изд. центр «Академия», 2001. - 208 с.
5. Maslach Ch. Burned-out / Ch. Maslach // Human Behavior. - 1976. - №9(5). - P. 16-22.
6. Harvard business review on work and life balance [Електронний ресурс] // Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. - 2000. - Режим доступу до ресурсу: https://books.google.com.ua/books?id=uY2QR9dxPfYC&pg =PA69&dq=When+executives+burnout.+creates+unending +stress&hl=en&sa=X&ei=fwjjVMTHHOfywOC9ICgAQ&ve d=0CBsQ6AEwAA#v=onepage&q=When%20executives%20 burnout.%20creates%20unending%20stress&f=false.
7. Шингаев С. М. Психологическое обеспечение профессионального здоровья менеджеров : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня докт. псих. наук: спец. 19.00.03 «Психология труда, инженерная психология, эргономика» / Шингаев С. М. - СПб, 2014. - 40 с.
8. Никифоров Г. С. Психология профессионального здоровья / Г. С. Никифоров. - СПб: Речь, 2006. - 480 с.
9. Leadership is associated with lower levels of stress [Електронний ресурс] / [Sh. Taylor, G. D. Sherman, J. Lee et al.] // PNAS. - 2012. - Режим доступу до ресурсу: http:// decisionlab.harvard.edu/_content/research/papers/Lerner_et_ al._Leadership_Associated_with_Lower_Stress.pdf
10. Salovey P. Emotional intelligence. / P. Salovey, J. D. Mayer// Imagination, cognition and personality. - 1990. -9(3), P. 185-211.
11. Mayer J. D. The Intelligence of emotional intelligence / J.D. Mayer, P. Salovey // Intelligence. - 1993. - V.17. - № 4. - P. 433-442.
12. Люсин Д. В. Новая методика для измерения эмоционального интеллекта: опросник ЭмИн / Д. В. Люсин // Психологическая диагностика. - 2006. - № 4. - С. 3-22.
13. Гарскова Г. Г. Введение понятия «эмоциональный интеллект» в психологическую теорию / Г. Г. Гарскова // Тезисы науч.-практ. конф. «Ананьевские чтения». - СПб. : Изд-во СПб. ун-та, 1999. - С. 26
14. Власова О. I. Психолопя сощальних здiбностей: структура, динамжа, чинники розвитку: монографiя / Власова О. I. - К. : Видавничо-полiграфiчний центр «Кшвсь-кий ушверситет», 2005. - 308 с.
15. Андреева И. Н. Эмоциональный интеллект как феномен современной психологии / И. Н. Андреева. - Ново-полоцк : ПГУ 2011. - 388 с.
16. Шингаев C. М. Профессиональный стресс и здоровье менеджеров [Електронний ресурс] /С. М. Шингаев // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. - 2008. - Режим доступу до ресурсу: http://cyberleninka.ru/article/n/professionalnyy-stress-i-zdorovie-menedzherov.
РАЗВИТИЕ ЛИЧНОСТНЫХ КАЧЕСТВ ОБУЧАЮЩИХСЯ СРЕДСТВАМИ
МАТЕМАТИКИ
Далингер Виктор Алексеевич
доктор педагогических наук, профессор, Омский государственный педагогический университет
DEVELOPMENT OF THE PERSONAL QUALITIES WHICH ARE TRAINED MEANS OF MATHEMATICS Dalinger V A., doctor of pedagogical sciences, professor, Omsk State Pedagogical University
АННОТАЦИЯ
В статье рассматривается одна из ведущих целей обучения математике - развитие мышления обучающихся средствами математики, отмечается, что для этого необходимо создание специальных ситуаций, разрешение которых и ведет к развитию мышления. Приведены примеры из различных разделов математики, решаемые иногда с использованием информационно-коммуникационных технологий.
ABSTRACT
In article one of the leading purposes of training in mathematics - development of thinking trained means of mathematics is considered, it is noted that creation of special situations which permission conducts to development of thinking for this purpose is necessary. The examples from various sections of mathematics solved sometimes with use of information and communication technologies are given.
Ключевые слова: развитие мышления учащихся; средства математики; предметные ситуации, направленные на развитие мышления учащихся.
Keywords: development of thinking of pupils; means of mathematics; the subject situations aimed at the development of thinking of pupils.
В документах «Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования» [12] и «Современная модель российского образования до 2020 года» [8] среди основных направлений модернизации названы: личностная ориентация содержания образования, деятельностный характер образования, направленность содержания образования на формирование обобщенных способов различных видов деятельности, формирование ключевых компетенций, направленность образования на развитие личности учащегося, его познавательных и созидательных способностей.
Развитие личности человека предполагает развитие его мышления. В новых стандартах среднего общего образования явно отмечается, что результатом освоения обучающимися основной образовательной программы является формирование научного типа мышления [12]. Большие возможности в решении этой задачи имеет математика.
В.М. Тихомиров по этому поводу пишет: «Целью математического образования, по моему скромному мнению, должно быть, прежде всего, развитие. Развитие навыков оперирования с числами и фигурами, пространственного воображения, логического мышления - словом, развитие интеллекта. Ничто не может обучить этому лучше, чем математика, - об этом говорит весь опыт человечества» [9, с. 15].
А.В. Боровских и Н.Х. Розов [1], разделяя высказанную выше точку зрения, отмечают, что на учебные предметы следует смотреть как на средства, орудия обучения, воспитания и развития.
Заметим, что под развитием интеллекта понимается в основном развитие мышления. Искать основы развития
мышления обучающихся надо не только в содержании и технологиях обучения математике, но и в психологии. Развивать мышление следует посредством различных видов учебной деятельности, выполняемых учащимися при обучении математике, причем это развитие должно проходить такие стадии: наглядно-действенное мышление, наглядно-образное мышление, словесно-логическое мышление.
Мы, следуя Н.Н. Поспелову, будем под развитием мышления учащихся в процессе обучения понимать «формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработку умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другие» [7, с. 16].
Приведенному определению понятия «развитие мышления» созвучен подход А.В. Усовой, которая отмечает: «Развитие мышления предполагает овладение учащимися всеми операциями, из которых слагается мыслительный процесс (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), и формами мышления (понятия, суждения, умозаключения). Это означает, что в процессе обучения необходимо создавать ситуации, требующие от учащихся выполнения этих мыслительных операций и форм мышления» [10, с. 41].
Приведем примеры ситуаций, которые создаются для того, чтобы организовать учебно-познавательную деятельность учащихся с целью развития их мышления.
1. Задача. Точка М движется по сторонам квадрата (рис.1).
Рис. 1
По аналогии с известными тригонометрическими функциями введем новые функции: san a=x-y (санус угла a); cas a=x+y (касанус угла a); tig a=x2-y2 (тигенс угла а). Выполните следующие задания:
— установите связи между этими функциями;
— постройте графики этих функций;
Рис. 2
— установите множество значений каждой из квадратных тригонометрических функций;
— определите знаки квадратных тригонометрических функций в четвертях, отмеченных на рис. 2;
— установите связь между классическими и квадратными тригонометрическими функциями;
— установите алгоритмы решения квадратных тригонометрических уравнений: san t=a, cas t=a, tig t=a и т.д.
Описанная выше ситуация является искусственно созданной, но по словам A.C. Крыговской : «Значение имеет сама творческая деятельность, а не то, что она сотворила» [б, c. 20].
2. Одним из современных методов в математике является метод хромоматематики. «Хромо» в переводе с греческого языка означает цвет. Хромоматематика занимается тем, что она активно использует цвет для изображения математических закономерностей. Основой этого метода являются хромоматематические модели, которые могут быть дихроматическими, монохроматическими и др.
Конечно, огромная роль хромоматематики принадлежит компьютеру, позволяющего визуализировать в цвете как простые, так и сложные математические закономерности.
Учащимся могут быть предложены задания по нахождению: хромоматематических закономерностей операций сложения (вычитания), умножения натуральных чисел; новых свойств числа ; новых конструкций дерева Штерна - Броко; решения задачи Хонсбергера; образов кватернионных полей; закономерностей последовательностей простых чисел; образов функций комплексного переменного и т.д.
Больших результатов в обучении учащихся нахождению хромоматематических моделей достиг кандидат физико-математических наук, доцент О.Л. Цвырко [11]. Материалы по хромоматематическому подходу к визуализации математических закономерностей читатель найдет на авторских сайтах: hromomath.ucoz.org;ameta.ucoz.org.
3. В школьном курсе математики рассматриваются лишь арифметические прогрессии с постоянными разностями d = const. Понятие арифметической прогрессии допускает совершенно естественное обобщение, если положить, что разность арифметической прогрессии сама будет являться функцией натурального аргумента, то есть dn = d(n). В таком случае мы будем иметь дело с арифметическими прогрессиями с переменными разностями. Изучение таких прогрессий следует вести по той же схеме, что и изучение обычных арифметических прогрессий: формула общего члена, формула суммы n первых членов прогрессии, характеристическое свойство и т.п.
Многие известные последовательности являются арифметическими прогрессиями с переменной разностью. Например, фигурные (многоугольные и пирамидальные) числа, показательные последовательности, некоторые возвратные последовательности, последовательность степеней натуральных чисел.
Определение: Числовая последовательность, члены которой, начиная со второго, определяются по формуле: an = an1 + dn 1, где dn = d(n) - функция натурального аргумента, называется арифметической прогрессией с переменной разностью.
Имеет место следующий факт: в случае, когда закон изменения разности dn задается произвольно, последовательность частичных сумм любой последовательности есть не что иное, как арифметическая прогрессия с переменной разностью. Получается довольно общая ситуация.
Это заставляет на первых этапах изучения арифметических прогрессий с переменными разностями рассматривать более частные случаи. Например, ограничить свой выбор закона изменения разности
1) Рассмотрим различные случаи, когда разность прогрессии имеет рациональный вид:
а) ^ = п, а1 = 1 (получим известную последовательность треугольных чисел);
б) dn
ряд l,
l
al = l (получим гармонический
... );
п(п -1)
111 1 2'3'4'"'' п
в) ^ = 2 , а1 = 2 (получим последовательность степеней, показателями которых являются натуральные числа 21, 22, 23,..., 2п,...);
2) Дадим определения:
- арифметической прогрессией 1-го порядка называется последовательность {а }, члены которой, начиная со второго, определяются по формуле ап = ап ^^ 1, где ^ =
Ь0+Ь1п;
- арифметическая прогрессия с переменной разностью называется прогрессией к-го порядка, если ее разность d имеет рациональный вид, то есть dn = Ь0+Ь1п+Ь2п2+...+Ькпк,
Ьк Ф 0,Ь1 е Я , п, к е N.
а) Пусть имеем арифметическую прогрессию 1-го порядка, где
ап = ап 1+dn 1, dn = Ь0+Ь1п. Докажите формулу
, n(n -1)
an = al + (n - l)b0 +-~-bl.
2
Докажите формулу
S
na
n(n -1) n(n2 -1)
bl.
б) Пусть имеем арифметическую прогрессию 2-го порядка, где
а = а ,+d ,, d = Ь„+Ь,п+Ь,,п2.
п п-1 п-1 п 0 1 2
Докажите формулу
а,, = «1 + (п -1) Ьо + ^ ц + п( п -1»(2 п -1) Ь,
2 6
Докажите формулу
5 = па, + Ьо + п(п2 -1) Ь + п2(п2 -1) Ь2.
п 1 2 0 6 1 12 2
в) Пусть имеем арифметическую прогрессию 3-го порядка, где
а = а ,+d ,, d = Ь„+Ь,п+Ь,,п2+Ьп3.
п п-1 п-1 п 0 1 2 3
Докажите формулу
. ... п( п - 1), «(« -1)(2 п - 1), п 2( п -1)2,
а = а + (п-1) Ь0 + —-- Ь +—---- Ь, +—--— Ь3'
" 0 2 1 6 2 4 3
Докажите формулу
S.
n( n -1) , n( n -- nai + —-b +-
-1) b+n2( n2-
4) + n( n- 1)(3n-1) b.
2 0 6 1 12 2 60 3) Исследуйте вопрос о суммировании степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрес-
сий с переменными разностями.
4) Рассмотрите различные случаи, когда разность прогрессии имеет нерациональный вид, например, dn = log2n; dn = 22п+1и т.д. [5].
4. Известно, что внутри любого треугольника АВС (рис. 3) существует такая точка Р (а их две), что (*).
B
A
Рис. 3
Точки Р и Р1 называются точками Крелля-Брокара. а) Выполните следующее исследовательское задание: Найти способы построения точек Крелля-Брокара с помощью компьютера. (Дадим наводящие подсказки: строятся подобные треугольники на сторонах исходного треугольника или используются формулы для координат точек Крелля-Брокара.)
Обозначим углы, содержащиеся в равенстве (*), через 5.Известно, что 3°
что
Ctg 8 = Ctg A + Ctg B + Ctg C . Ниже приведены те-
оремы, которые могут стать предметом исследования учащихся.
б) Исследуйте вопрос: «Может ли точка Р(Р1) лежать на биссектрисе, на медиане, на высоте или на двух из них?»
в) Докажите, что если Р - центр описанной окружности, или центр вписанной окружности, или ортоцентр, то треугольник АВС правильный.
г) Докажите, что если точка Крелля-Брокара является пересечением медианы CM с биссектрисой АЕ (рис. 4), то треугольник правильный.
A
Рис. 4
Доказательство
Так как ВР = АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит как медианой, так и высотой. Но тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит, и биссектрисой, следовательно, точка Р - пересечение биссектрис; треугольник АВС правильный.
е) Докажите, что если точка Крелля-Брокара Р явля-
ется точкой пересечения медианы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный. Предоставляем читателю возможность самостоятельно доказать эту теорему.
ж) Докажите, что если точка Крелля-Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD (рис. 5), то треугольник АВС правильный.
B
C
Доказательство
Так как Р - точка Брокара, то
АРАС = АРБА = АРСБ и
ААСМ = АБСМ (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что
¿РАС = ААСМ = ААСР , в треугольнике АВС стороны АР и РС равны.
В равнобедренном треугольнике АРС высота РБ является и медианой, то есть АБ = БС. Следовательно, высота ВБ в треугольнике АВС является и медианой. Точка Бро-кара Р в треугольнике АВС является пересечением биссектрисы СМ с медианой ВБ, отсюда, по предыдущей теореме, треугольник АВС правильный.
з) Докажите, что если в треугольнике АВС построена
точка Крелля-Брокара Р ( АРАС = АРБА = АРСБ
5), то sin a sin в sin у < -, где a = ZA - 8,
8
Р = АБ-8, y = ZC-8.
Доказательство
Применим теорему синусов к треугольникам АРВ, ВРС, СРА:
БР _ sin a CP _ sin в AP _ sin у
AP ~ sin8 ' БР ~ sin8 ' CP ~ sin8'
БР sin 8 . п CP sin 8 . AP sin8
sina =-, sin в =-, sin y =-.
AP BP CP
Из этих равенств следует:
3 1 sin a sin в sin y = sin 8 и, так как sin 8 < —
2
1
то sin a sin в sin y < —.
8
и) Докажите, что если в треугольнике АВС & = 30°, то треугольник правильный. Доказательство
Если & = 30°, то а+ Р + 7 = 90 . По доказанному ра-
венству
sin a sin в sin y = sin 8, в
данном случае
• 8 1 • ■ в ■ -sin 8 = —. sin a sin в sin y = —. 28
Поэтому a = P = r = 30°, ZA = ZB = ZC = 60°
Предложим читателю еще несколько фактов, относящихся к точкам Крелля-Брокара, которые предстоит доказать.
а) Докажите, что внутри ДАВС существует такая
точка Р, что ZABP = ZCAP = ZBCP (первая точка Крелля-Брокара). Докажите, что существует еще и вторая точка Крелля-Брокара Q, для которой
ZBAQ = ZACQ = ZCBQ.
б) На сторонах треугольника АВС внешним образом построены подобные ему треугольники: СА^, САВ^ CjAB. Докажите, что прямые АА^ ВВ1 и CCt пересекаются в одной точке, причем это точка и есть одна из точек Крел-ля-Брокара.
в) Через точку Крелля-Брокара Р треугольника АВС проведены прямые АР, ВР и СР, пересекающие описанную окружность в точках А^ В1 и Сг Докажите, что треугольники АВС и AjBjC 1подобны.
г) Пусть Р - точка Крелля-Брокара ДАВС. Докажите,
что ZABP, ZCAP, ZBCP не превосходят 30°.
5. Педальный треугольник. Дадим определение педального треугольника. Пусть дан треугольник ABC (рис. 6). Проведем высоты этого треугольника и соединим отрезками основания высот, получим треугольник A1B1C1, который называется педальным по отношению к треугольнику ABC.
Рис.6
В треугольник A1B1C1 проведем высоты треугольника и соединим их отрезками, получим треугольник A2B2C2, который называется педальным треугольником по отношению к треугольнику A1B1C1. Продолжим описанные построения неограниченно.
1) Докажите, что все педальные треугольники подобны между собой.
2) Установите закономерность, если она есть, у последовательности:
PABC, PA1B1C1, PA2B2C2 , •••,
где P - периметр соответствующего треугольника.
3) Установите закономерность, если она есть, у последовательности:
SABC, SA1B1C1, SA2B2C2 , •••,
где S - площадь соответствующего треугольника.
4) Установите, есть ли закономерность у последовательности и если да, то какова она:
S + S + S •
(J4BBl ^ (JBlCCi l,A1 AC1 ' A^B^A.^ B B2C2 C|A2C2; B2A3B3 C2B3C3 A2C3 A3;
5) Установите, есть ли закономерность у последовательности и если да, то какова она:
V V V V V V
°A2B2C2 . üA2B2C2 . ° A2B2C2
С 5 o ' o ' o ' o ' o
S A1B1B SB1C1C SA1C1A SA3B2B3 S B3C3C2 S A3C3 A2
Дадим более общее определение «педального треугольника».
Пусть А1, В1 и С1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны ДАВС. Треугольник А1В1С1 называется педальным (подерным) треугольником точки Р относительно треугольника АВС.
а) Пусть А1В1С1 - педальный треугольник точки Р от-
AP
носительно ДАВС. Докажите, что bc = BC —, где R - ради-
2R
ус описанной окружности ДАВС.
б) Внутри остроугольного треугольника АВС дана точка Р. Опустив из нее перпендикуляры РА1, РВ1 и РС1 на стороны, получим треугольник А1В1С1. Проделав для него ту же операцию, получим треугольник А2В2С2, а затем треугольник А3В3С3. Докажите, что эти треугольники подобны.
в) Докажите теорему. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины
ax by cz
сторон педального треугольника равны 2R 2R 2R где R - радиус окружности, описанной около треугольника АВС, a, c, b - стороны исходного треугольника.
6. Поисково-исследовательская деятельность учащихся может быть направлена на обобщение известных фактов. Покажем это на следующих примерах
а) Точка К делит медиану AD треугольника АВС (рис. 7а) в отношении 3 : 1, считая от вершины. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС?
Решение
Треугольники ВАЕ и ВЕС имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой так, что искомое отношение их площадей равно отношению длин отрезков АЕ и ЕС, и, таким образом, требуется узнать, в каком отношении прямая ВЕ делит сторону АС.
Вычислительный путь связан с большими трудностями и вряд ли приведет к успеху. Воспользуемся геометрической идеей решения. В самом деле, нам надо узнать, в каком отношении делится одна сторона угла БАС, если его вторая сторона разделена на четыре равных отрезка.
Проведем через точки деления медианы прямые, параллельные ВК (рис. 7б). На стороне АС возникают четыре равных отрезка. Так как АБ - медиана (ВБ = БС) и ББ || ВЕ, то ББ - средняя линия треугольника ВСЕ, и, следовательно, БС = ЕБ.
Таким образом, сторона АС разделена на 5 равных отрезков и искомое отношение равно 3 : 2.
В качестве исследовательского задания предлагаем обобщить эту задачу (вместо отношения 3 : 1 взять отношение к : т; в решении существенно не то, что АБ - медиана, а лишь то, что точка Б делит ВС в известном отношении).
б) Решите задачу: «На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС (рис. 8) взяты точки К и АК = Ак = 1
Ь так, что КБ , ^С 2. в каком отношении прямая КЬ делит высоту АБ?»
Обобщите эту задачу, взяв произвольный треугольник АВС, в котором известно, в каком отношении делят его стороны точки Б, К и Ь.
Идея решения этой задачи та же, что и в предыдущей задаче.
В й
Рис. 8
в) Решите задачу: «Дана трапеция (рис. 9) с основания- параллельные основаниям трапеции. Найти длины полу-ми 2 см и 5 см. Боковая сторона трапеции разделена на три ченных отрезков». равные части. Через точки деления проведены прямые,
С
Рис. 9
й
А
Длины отрезков ММ и КР можно найти, решив следую- Решите ту же самую задачу для случая, когда боковая
щую систему уравнении:
MN = 2 + KP
KP =
2
5 + MN
2
сторона разделена на 6 равных частей. Ясно, что решать эту задачу таким же путем, как и предыдущую, не следует (мы будем иметь систему пяти уравнений с
пятью неизвестными). Решать эту задачу следует по рис. 10 (через точки ,Э2 ,Б3 ,Э4 ,Э5 ,С проведены отрезки, параллельные боковой стороне трапеции АВ).
A
D
Рис. 10
В наших работах [2; 3; 4] читатель найдет много других заданий подобного характера.
Ссылки:
1. Боровских А.В., Розов Н.Х. Деятельностные принципы в педагогике и педагогическая логика - М.: МАКС Пресс, 2010. - 80 с.
2. Далингер В.А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: Учебное пособие. -Омск: Изд-во ОмГПУ, 2005. - 456 с.
3. Далингер В.А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения дробей и действий над ними: учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2007. -191 с.
4. Далингер В.А., Толпекина Н.В. Организация и содержание поисково-исследовательской деятельности учащихся по математике: Учебное пособие, 2004. - 263 с.
5. Далингер В.А., Князева О.О., Муравская О.И. Арифметические прогрессии с переменными разностями: Учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 1998. - 100 с.
6. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии // Математика в школе. - 1966. - №6. - С. 19-30.
7. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. - М.: Педагогика, 1989. - 151 с.
8. Российское образование - 2020: модель образования для экономики, основанной на знаниях: к IX Международной научной конференции «Модернизация экономики и глобализация», Москва, 1-3 апреля 2008г. / под ред. Я. Кузьминова, И. Фрумина; государственный университет - Высшая школа экономики. - М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2008. - 39 с.
9. Тихомиров В.М. Гений, живущий среди нас // Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. - М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999. - 256 с.
10. Усова А.В. Теория и практика развивающего обучения: Курс лекций. - Челябинск : Изд-во ЧГПУ «Факел», 2004. - 128 с.
11. Цвырко О.Л., Цвырко Н.И. Использование методов хромоматематики для активизации умственной деятельности учащихся школы и вуза // Актуальные вопросы современной науки в аспекте реформирования образования: Материалы Международной научно-практической конференции Тюменского государственного университета, 2011. - С.81-82.
12. Приказ Минобрнауки РФ от 6 октября 2009 г. № 413 «Об утверждении и введении в действие федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования»: URL Шр://минобрнауки.рф/доку-менты/543/файл/4588/
C
B
