CC BY
13
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. №4. C. 216-234. ISSN 2079-6641
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ УДК 514.112.3 Научная статья
О некоторых неизвестных результатах, связанных с нетривиальными свойствами обычных треугольников. Ч. I
Б. П. Федоров , C. Б. Богданова, С. О. Гладков
Московский авиационный институт, 125993, г. Москва, Волоколамское ш, 4 E-mail: sonjaf@list.ru
В работе приведено подробное решение множества оригинальных задач, сформулированых в свое время Б. П. Федоровым, и относящихся к разнообразным нетривиальным свойствам евклидовых треугольников. При изложении материала используется некоторая общепринятая, но не слишком распространенная в современных учебниках по геометрии терминология, необходимая для понимания и более углубленного восприятия описанных в работе задач.
Ключевые слова: свойства треугольников, вписанная и описанная окружности, подобие.
DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-216-234
Поступила в редакцию: 10.11.2021 В окончательном варианте: 10.12.2021
Для цитирования. Федоров Б. П. , Богданова C. Б., Гладков С. О. О некоторых неизвестных результатах, связанных с нетривиальными свойствами обычных треугольников. Ч. I // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. C. 216-234. DOI: 10.26117/20796641-2021-37-4-216-234
Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Федоров Б. П. , Богданова C. Б., Гладков С. О., 2021
Введение
Общее знакомство с геометрией, как правило, начинается с подробного изучения свойств обычных евклидовых треугольников, как одной из, казалось бы, простейших геометрических фигур. При их поверхностном изучении весьма распространеным заблуждением довольно часто бытует представление о том, что треугольник это нечно тривиальное и простое по своим геометрическим свойствам. Ниже в тексте статьи это неверное представлние будет развеяно конкретными примерами и их подробными решениями. Более того, в процессе детального и более глубокого анализа выясняется, что внутренняя природа произвольного треугольника чрезвычайно богата: количество его «замечательных» точек на сегодняшний день исчислятся пятьюдесятью тысячами! Энциклопедия
Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.
таких замечательных точек [1], (Encyclopedia of Triangle Centers, ETS), в которой каждая точка нумеруется в формате X(No), где номер принимает значение от 1 до 50000, начата американским математиком Кларком Кимберлейком в 1994 году, и представляет собой систематизацию наработанных многими десятилетиями математических фактов. В настоящей работе, опираясь на огромный педагогический опыт работы Б. П. Федорова со студентами в Государственном гуманитарно -технологическом университете города Орехово - Зуева Московской области, а также учитывая опыт авторов статьи в работе со слушателями подготовительных курсов Московского авиационного института, хотелось бы вначале сконцентрировать особое внимание на трех хорошо известных в планиметрии (см. [2] - [6]) внутренних точках треугольника, порождаемых тремя чевианами. При этом наш нескрываемый интерес, возникший еще и под влиянием классических уже упомянутых монографий и учебников [2] - [6], будет состоять прежде всего в изучении свойств таких треугольников, которые самым естественным образом получаются с помощью соответствующих геометрических построений благодаря этим специфическим точкам. Вначале необходимо напомнить, что три прямые AAi,BBi,CCi называются чевианами треугольника [2], если они пересекаются в одной точке. Рис. 1 показывает, как c помощью точки пересечения Q чевиан AAi,BBi,CCi можно получить треугольники AiBiCi и A2B2C2, самым простым образом связанными с исходным треугольником ABC.
Рис. 1. Произвольный треугольник ABC вписан в окружность. Точки пересечения продолжения чевиан с этой окружностью порождает треугольник A2B2C2. Треугольник A1B1C1 образован основаниями чевиан
C другой стороны, хорошо известно [3], что основания перпендикуляров, опущенных из внутренней точки Q, являются вершинами так называемого подерного (или педального) треугольника, показанного на рис.2.
A
"2
B2
B
C
Рис. 2. Показан подерный треугольник MNF точки Q - точки пересечения трех чевиан треугольника ABC
В процессе многолетнего изучения различных нетривиальных свойств обычных евклидовых треугольников (обозначенных на рис. 1, 2 как А\В\С\, А2В2С2 и МЫЕ), одним из авторов настоящего сообщения (Б. П. Федоровым) был проделан огромный творческий труд по постановке и решению множества задач из области планиметрии, систематизация которых позволила получить таблицу.
Таблица
точка пересечения SA1 b1c1 Smnf sa2b2c2
биссектрис 2abcS (a + b) (a + c)(c + b) S r 2 ' R S R 2 ' 7
медиан S 4 S a2 + b2 + c2 36 R2 S (a2 + b2 + c2)2 64 (MaMbMc )2
высот 2S cos A cos B cos C 2S cos A cos B cos C 8S cos A cos B cos C
Поскольку в этой таблице представлены лишь окончательные результаты вычислений, то главной целью настоящей работы является их подробное доказательство, которое приводится нами ниже.
Исследование треугольников, порожденных точкой пересечения биссектрис
В качестве первого примера мы рассмотрим треугольники, порождаемые точкой пересечения биссектрис. В энциклопедии центров треугольника (ETC) эта точка занимает почетное первое место, обозначаемое как X(1), и называется инцентром. На чертежах ее принято обозначать буквой I.
Воспользуемся теперь тем свойством, что эта точка является центром вписанной окружности, т.е. точкой, равноудаленной от сторон треугольника. Однако это самое известное ее свойство проявляет себя лишь один раз, когда речь заходит о подерном треугольнике.
Например, при вычислении площади треугольника А1В1С1 (рис. 3) потребуется знание свойства точки пересечения биссектрисы с противоположной стороной треугольника, теорема косинусов, формула площади треугольника и формула Герона, а также умение проводить преобразование громоздких рациональных алгебраических выражений.
B
Д с
Рис. 3. На рисунке показаны биссектрисы AA1,BB1,CC1 треугольника ABC, пересекающиеся в точке I. AC = b,AB = c, BC = а
Согласно рис. 3 площадь треугольника AA1,BB1,CC1 найдем как разность
SA1B1C1 = SABC — (SAB1C1 + SCB1A1 + SBA1C1) (1)
Вычислим значение каждого слагаемого в скобках. По свойству биссектрис треугольника ABC запишем:
AC1 = А, BC1 = А, AB1 = , CA1 = А, AB1 = , CB1 = аЬ
a + b a + b c + b c + b a + c a + c
Тогда _
„D • „ 1 cb bc [ (c2 + b2 - a2)2
Sacibi ^ACi ■ ABi ■ sin A = - ■ —— ■ —— м 1 -
2 2 a + b a + c y 4c2b2
__b2 : c2_a2
, т.к. sinA = V1 — cos2A, а cos A =-—- по теореме косинусов из треугольника
ABC. Поэтому
SAB1C1 = +С- a2)2 ■ bc (2)
Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:
4c2b2 — (c2 : b2 — a2)2 = (2cb : c2 : b2 — a2) (2cb — c2 — b2 : a2) = = — ((b: c)2 — a2) ((b — c)2 — a2) = (b: c: a)(b: c — a)(b: a — c)(c:a — b) = = 2p ■ 2(p — a) ■ 2(p — b) ■ 2(p — c) = 16S2,
где в последней строке была учтена формула Герона:
$ = у/Р(Р - а)(Р - Ь)(Р - с).
В результате формула (2) примет вид:
Ьс•4$ Ьс
$ав1с1 = 77——гг,—:—7 =
4(а + Ь)(а + с) (а + Ь)(а + с)' Аналогичные рассуждения приведут нас и к двум аналогичным соотношениям:
$Ьа $са
¿сахвх = 7——ГГ7—:—7 и ¿вса =
(c + b)(a + c) 1 1 (a + b)(b + c)
Складывая их все, имеем
sab1c1 + scb1 a1 + sba1c1 =
bc ba ca
= S- 7-ТГ7-T + 7-ТГ7-Г +
= S-
(a + b)(a + c) (c + b)(a + c) (a + b)(b + c) bc(c + b) + ab(a + b) + ac(a + c)
(a + b)(a + c)(c + b) В итоге искомая площадь будет:
saißici = sabc — (sabici + scbiai + sba1c1) =
. bc(c + b) + ab(a + b) + ac(a + c)\ (3)
= S • 1--
(а + Ь)(а + с) (с + Ь)
Подробно покажем теперь, как можно преобразовать выражение в скобках. Имеем для него:
, bc{c + b) + ab (a + b) + ac(a + c) _ (a + b)(a + c)(c + b) — bc(c + b) — — Z^O+l
1 — - — -
(a + b)(a + c)(c + b) (a + b)(a + c)(c + b)
(c + b) (a2 + ab + ac) — a(ab + b2 + ac + c2) (c + b) (a2 + ab + ac) — ab — b2 — ac — c2
(а + Ь)(а + с)(с + Ь) (а + Ь)(а + с)(с + Ь)
После раскрытия скобок в числителе и приведения подобных слагаемых, получим:
Ьс(с + Ь) + аЬ(а + Ь) + ас(а + с) 2аЬс
1 — - = -.
(а + Ь)(а + с)(с + Ь) (а + Ь)(а + с)(с + Ь)
Тогда формула (3) перепишется в виде:
2аЬс
sa1b1c1 = s•
(a + b)(a + c)(c + b)'
что и требовалось показать.
Остановимся теперь подробно на вычислении площади подерного треугольника, получаемого в результате пересечения биссектрис относительно треугольника ABC (рис. 4).
B
Рис. 4. На рисунке показан подерный треугольник MNF точки пересечения биссектрис I относительно треугольника ABC. IN = IM = IF = r, где r -радиус вписанной окружности
S г
Как мы уже упоминали, при выводе формулы Smnf = ~ • — важную роль играет
2 R
то обстоятельство, что эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, а кроме этого воспользуемся свойствами внутренних углов треугольника (для евклидового треугольника их сумма составляет п) и четырехугольника (их сумма равна 2п), а также теоремой синусов и соотношением между периметром, радиусом вписанной окружности и площадью треугольника:
S = рг.
Площадь треугольника Smnf можно найти как сумму площадей трех составляющих его треугольников:
Smnf = S/MN + S/NF + S/FM. Для этого удобно воспользоваться формулой:
S = ab sin a, b.
Тогда имеем
1 2 1 2
S/MN = 2 г sin(n - A) = 2 Г Sin A,
1 2 1 2 S/NF = 2 г sin(n — B) = 2 г sin B,
S/FM = 1 r2sin(n — C) = 1 r2sin C.
При этом было учтено, что, во - первых, треугольники /MN, /NF, /FM равнобедренные и /N = /M = /F = г. А, во - вторых, каждый из четырехугольников M/NA, N/FB, F/MC содержит по два прямых угла. Поэтому
12
Smnf = S/MN + S/NF + S/FM = 2 г (sin A + sin B + sin C). (4)
Заменяя теперь синусы в (4) согласно теореме синусов, а именно
• , a b . ^ c
sin A = —, sin B = —, sin C = —, 2R 2R 2R
в результате получим:
SMNF = S/MN + S/NF + S/FM = ^ г2(^ + + 2R)
S
1
2'
b
2R ' 2R
г2 2 p
"2 • 2R
= P—. (5) 2R V '
2
Но поскольку периметр p = -, то из (5) окончательно следует:
r
Smnf = S/mn + S/nf + S/fm = prr = rr^s = S ' n •
2R 2rR 2 R
Что и требовалось доказать. С целью вычисления площади треугольника A2B2C2 (см. рис. 5) наиболее удобным и рациональным методом решения задачи является теорема синусов. Ключевым моментом при решении этой задачи является равенство
А
Рис. 5. Вершины треугольника A2B2C2 являются точками пересечения биссектрис AAi, BB1, CC1 треугольника ABC с описанной вокруг него окружностью. Отмечены равные дуги этой окружности, на которую опираются равные вписанные углы с использованием удобных сокращенных обозначений: A2C2 = b2, A2B2 = С2, B2C2 = а2.
радиусов описанных окружностей для треугольников ABC и A2B2C2:
abc a2b2c2
R =
Откуда следует, что
4S
S
4S2
S2 = —¡- • a2b2C2. abc
2
Поскольку = r, можно переписать эту формулу в виде:
с a2b2c2
S2 = ~ÂR- • (6)
Если теперь воспользоваться теоремой синусов для треугольника A2B2C2 и учесть, что сумма углов треугольника равна п, т.е. A + B + C = п, найдем:
... . ■ ( B + C\ . ( п — A \ „ . ( п A \ „ A
а2 = 2R sinA2 = 2R sin I —2— ) = 2R sin I —2— ) = 2R S1M 2 — 2 ) = 2R C0S 2 •
Аналогично можно показать, что
b2 = 2R cosB и c2 = 2R cosC • 2 2 2 2
Подставляя эти результаты в общее соотношение (6), получим:
«*>з ABC
0 a2b2C2 Cos 2C0s 2C0s 2 „ 2 ABC ^
S2 = 2 2 2 =-^-2-2 = 2R2 cos-cos-cos- • (7)
2 4R 4R 2 2 2 w
Результат
S2 = Г R
2 r
может быть легко найден из соотношения (7), если воспользоваться следующим симметричным, но пока что неочевидным тождеством
A B C S
cos —cos —cos — =
2 2 2 4Яг'
вывод которого мы сейчас приведем.
Действительно, благодаря следующей цепочке преобразований имеем:
rr S = pr = 2 (a + b + c) = 2 (2R sinA + 2R sin B + 2R sin C) =
= rR(sin A + sin B + sin C) = rR (sin A + sin B + sin (n - (A + B))) =
= rR (sinA + sin B + sin (A + B)) = rRy sinA + sin5 + sinA cos B + cos Assin Ii) = = rR (sinA ■ (1 + cos B) + sin B ■ (1 + cos A)) = rR^ sin A ■ 2cos2 B + sin B ■ 2cos2 A^j =
f A A 2 B B B 2A = 4rR sin — • cos — • cos — + sin — • cos — • cos —
V 2 2 2 2 2 2
A B ( A B B A\
= 4rR • cos — • cos — • sin — • cos — + sin — • cos — = 2 2 2 2 2 2
A B A + B A B n - C ABC
= 4rR • cos — • cos — • sin —-— = 4rR • cos — • cos — • sin —-— = 4rR • cos — • cos — • sin —.
222 222 222
И, следовательно,
S2 = |.R,
2r
что и требовалось показать.
Некоторые свойства треугольников, порожденные точкой пересечения медиан
Рассмотрим теперь в подробностях некоторые свойства треугольников, порожденных точкой пересечения медиан. В классификации ETC это точка X(2) сразу следует за инцентром, и традиционно обозначается на чертежах буквой M. Она называется центроидом (барицентром, а также центром тяжести треугольника).
Наиболее «простым» среди изучаемых является треугольник A1B1C1 (см. рис. 6).
B
Рис. 6. На рисунке показаны медианы AAi, BBi CCi и точка M - центроид треугольника ABC
Вычисление площади этого треугольника базируется на свойстве площадей подобных фигур. В самом деле, если Ai, Bi, Ci середины сторон треугольника ABC, то каждый из треугольников BAiCi, CBiAi и ACiBi, должен быть подобен данному
ABC c коэффициентом подобия k = -, а поэтому их площади равны, причем
И, следовательно,
SBAiCi = SCBiAi = SACiBi = = 4S
3 i
SAiBiCi = S - 4S = 4S
Нахождение площади подерного треугольника относительно точки
пересечения медиан М (см. рис.7) оказывается весьма поучительным, поскольку требует знания таких понятий, как подобие треугольников, теоремы синусов, а также свойств внутренних углов четырехугольника.
Как видно из рис. 7, площадь треугольника ЬМР удобно искать в виде суммы
Slnf = Smnf + Smln + Smlf .
(8)
B
B N
B C
Рис. 7. Из точки пересечения медиан M опущены перпендикуляры ML, MN, MF на стороны треугольника. Показано, что ML || CCh, MF || AAh, MN || BBh , где AAh, BBh, CCh высоты треугольника ABC
В качестве примера вычислим площадь треугольника ММР. Вполне понятно, что угол М = п — С, поскольку в четырехугольнике ММС^ два угла прямые по построению. Из подобия же треугольников ВхММ и ВхВВ^ с коэффициентом подобия МВ1 1 „
-= о (по свойству точки пересечения медиан треугольника) следует, что
ВВ1 3
1 1 23
ММ = - ВВй = - —. 3 3 ь
Вполне аналогично получается и такое равенство
1 1 23 М^ = -ААЙ = - —. 3 3 а
В результате интересующую нас площадь треугольника ММР можно вычислить с помощью формулы
1 1 1 2S 1 2S 2S2 Smnf = х ■ MN ■ MF ■ sin(n - C) = - ---sinC = — ■ sinC.
2 2 3 b 3 a 9ab
(9)
Те же рассуждения приводят нас к подобным соотношениям:
1 2S2 Smlf = т ■ MF ■ ML ■ sin(n - B) = -— ■ sinB.
2 v 7 9ac
(10)
1 2S2
SMNL = 2 ■ MN ■ ML■ sin(n - A) = — ■ sinA.
В результате с учетом равенств (9) - (11) формула (8) примет вид:
h
slnf = smnf + smln + smlf =
2S 9ab
2 ¡¡21 f sin C sin B
9 I ab cb
sinA\ 2 2 / c sinC cb ) 9 \ab c
2S2 2S2
sin C +---sin B + —— ■ sin A =
9ac 9bc
b sin B a sin A\ ac b cb a J
22 = 9 S2
1 2R
S , 2
c b a ab ac cb
S2 c2 + b2 + a2 = ^ , 2 2 2, = 9R ' abc = 9R'abc'[c + b + a) =
36R2
(c2 + b2 + a2).
При получении этого соотношения мы воспользовались здесь теоремой синусов
Ь
a
c
sin A sin B sin C
= 2R,
abc
а также учли формулу —— = R.
Чтобы теперь вычислить площадь треугольника A2B2C2 (см. рис. 8), который образован пересечениями продолжений медиан треугольника ABC с описанной вокруг него окружностью, то для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться признаками и свойствами подобных треугольников, а также свойством хорд окружности, проходящих через данную точку и признаками равенства вписанных углов. Помимо этого необходимо будет воспользоваться общим выражением для длины медианы треугольника, а также уметь проводить сложные алгебраические преобразования.
B
Рис. 8. Треугольники ABC и A2B2C2 вписаны в одну окружность. На рисунке показаны равные вписанные углы, опирающиеся на одинаковые дуги этой окружности.
2
Решение поставленной задачи мы начнем с такого ключевого момента, как равенство радиусов описанных окружностей для обоих треугольников ABC и A2B2C2:
abc a2b2C2 R = —— = ———. Откуда следует, что 4S 4s2
S2 = S-^. (12)
abc
a2 b2 c2
Что касается нахождения отношения сторон —, —, —, то их можно найти, если
abc
воспользоваться подобием следующих треугольников: BCM ~ B2C2M, ACM ~ A2C2M и ABM ~ A2B2M (по двум углам: из которых одна пара вертикальных углов, а вторая пара углов, опирающихся на одну и ту же дугу окружности).Исходя из подобия треугольников BCM ~ B2C2M2, можно записать, что:
a2 _ C2M _ B2M "a = BM = CM ,
или
a2 C2M B2M
= = . (13)
a 2 2
-mb -mc 3 b 3 c
А из подобия треугольников ACM ~ A2C2M следует:
b2 _ C2M _ a2m "b = ÂM = CM ,
или
b2 = C2M = A2M (14)
b 2 2 . ( )
^ma -mc 3 a 3 c
Вполне аналогично из подобия треугольников ABM ~ A2B2M получим:
c2 A2M B2M
7 = BM = am ,
или
c2 A2M B2M
7 = = ^.
-mb -ma З b З a
(15)
В результате с учетом полученных соотношений (13) - (15) произведение дробей a2 b2 c2
-------можно представить в виде:
abc
a2 b2 c2_27 C2M- A2M B2M a b c 8 mb ■ mc ■ ma
Для вычисления числителя этой дроби, найдем для примера длину отрезка C2M. Для него имеем:
C2M = C2C1 + CiM = + m =3c2 +4m2
4mc З i2mc
Действительно, если воспользоваться свойством точки пересечения медиан
2
^^ С
треугольника ABC, то найдем, что C¡M = —. Что касается соотношения C2C1 =
3' 4тс'
то его можно получить, если вспомнить свойство хорд окружности, пересекающихся
в точке С1, а именно:
СС1 С1С2 = АС1 С1В.
Откуда следует, что
с с
СС = АС1 С1^ с2
СС1 тс 4тс Рассуждая аналогично, получим еще два равенства:
„ . „ „ „ „ . „ а2 та 3а2 + 4та
А2М = А2А1 + А1М = — + = —-а,
4та 3 12та
Ь2 тЬ 3Ь2 + 4тЬ
В2М = В2В1 + В1М = — + -ь = —-ь.
4тЬ 3 12тЬ
а2 Ь2 с2
И, таким образом, произведение — ----теперь можно переписать в виде:
а Ь с
а2 Ь2 с2_27 С2М- А2МВ2М_ а Ь с 8 тЬ ■ тс ■ та = 27 1 3с2 + 4т2 3а2 + 4т2 3Ь2 + 4т| = 8 тЬ-тс-та 12тс 12та 12тЬ 27 1
(3с2 + 4т2) ■ (3а2 + 4та) ■ (3Ь2 + 4тЬ).
(16)
8 ■ 123 mb-mc-ma
<-с ■ '"-а
Если учесть теперь известные соотношения для квадрата длины медианы, а именно:
4т2 = 2(Ь2 + с2) — а2, 4т2 = 2 (а2 + с2) — Ь2, 4т2 = 2(Ь2 + а2) — с2. то после их подстановки в равенство (16), найдем:
От тт = тъ^тсгт;' <2' с2+ь2+с2)М2-(*2+ь2+с2))-и«2+ь2+с2)) =
_ (а2 + Ь2 + с2)3 64 ■ тЬ ■ тс ■ та.
Таким образом, исходя из формулы (12) площадь треугольника А2В2С2 может быть записана в виде следующего симметричного выражения:
а2Ь2с2 3 (а2 + Ь2 + с2)3
S2 =
abc 64 m¿ ■ m2 ■ m2
Переходим теперь к последнему, но также весьма важному разделу, касающемуся свойств внутренних точек треугольника.
Исследование треугольников, порожденных точкой пересечения высот
Используя опять - таки классификацию ETS, по которой точка пересечения высот занимает четвертое место X(4), и называется ортоцентром, а на чертежах обозначается буквой Н.
A с
B
Рис. 9. На рисунке показан треугольник AiB\C\, образованный основаниями высот треугольника ABC. Причем AB = c, AC = b, BC = a
Согласно рис. 9 можно вполне определенно утверждать, что треугольники AA1C и BB1C, AA1B и CC1B, BB1A и CC1A подобны. При более внимательном анализе этого рисунка мы видим также, что AHB1 ~ BHA1, BHC1 ~ CHB1 и AHC1 ~ CHA1. При нахождении площади треугольника A1B1C1, совпадающему с подерным треугольником ортоцентра, выясняется, что «угловые» треугольники AC1B1, BC1A1, CB1A1 также будут подобны данному треугольнику ABC!
Чтобы вычислить площадь треугольника A1B1C1, воспользуемся формулой:
Sa1b1c1 = 1 ■ A\B\ B1C1 ■ sinC\B\A\
(17)
Для вычисления фигурирующих в формуле (17) сторон треугольника A\B\C\ воспользуемся следующими соотношениями:
AiC = b • cosC,
которое следует из треугольника AAiC и
B1C = cos C,
которое следует из треугольника BBiC. Применяя теперь теорему косинусов для треугольника A1B1C, то есть:
AiB? = A1C2 + B1C2 - 2AiC-BiC- cosC =
= a2cos2C + b2cos2C - 2abcos3C = (a2 + b2 - 2ab cos C)cos2C = c2cos2C мы имеем право записать, что
A1B1 = c cos C, A1C1 = b cos B, C1B1 = a cos A.
(18)
Чтобы найти угол C1B1A1, нам необходимо вначале показать, что треугольники AC1B1, BC1A1, CB1A1 подобны данному треугольнику ABC. Докажем это, выбрав для определенности, например, треугольники ABC и A1B1C. Действительно, из подобия треугольников AA1C ~ BB1C (по двум углам) следует, что
BC
AC
BiC
Ale.
Рассматривая эту конкретную пару треугольников, заметим, что они имеют общий угол C и пропорциональные стороны, прилежащие этому углу. Следовательно, A1B1C ~ ABC (см. рис.10), что, в свою очередь, приводит к равенству соответствующих углов в этих треугольниках, а точнее угол A = A1 и угол B = B1.
B
A
C
B
Рис. 10. На рисунке показано, что треугольник A1B1C подобен треугольнику ABC
Рис. 11. Анализ рисунка показывает, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами подерного треугольника A1B1C1 ортоцентра H относительно треугольника ABC
Из простого геометрического анализа рис. 11, на котором указаны все равные углы в подобных треугольниках: AC1B1, BC1A1, CB1A1 и ABC, можно сделать следующие вполне очевидные выводы:
1) ВВ1 - это биссектриса угла С1В1А1, т.к. С1В1А = А1В1С.
2) АА1 - это биссектриса угла С1А1В1, т.к. ВА1С1 = СА11В1.
3) СС1 - это биссектриса угла А1С1В1, т.к. ВС1А1 = В1С1А.
Суммируя все вышесказанное, можно теперь вполне однозначно утверждать, что угол /А^С = п — 2В. Принимая во внимание это строго доказанное равенство, а также формулу (18) и выражение (17) для площади треугольника А1В1С1 мы имеем право записать следующую цепочку тождественных преобразований:
Sai5iCi = ^Ai-Bi ■ B1C1 sin B1 = 2 ■ c cos C ■ a cos A ■ sin(n — 2B) =
= 1 • c cos C- a cos A • sin2B = ac- sin B- cos C- cos A - cos B = 2
= 2S cos C- cos A ■ cos B.
Стоит в заключение еще раз подчеркнуть, что подерный треугольник, построенный от точки пересечения высот относительно треугольника ABC естественным образом представляет собой треугольник A1B1C1. С целью вычисления площади треугольника A2B2C2 (см. рис. 12) нам вновь необходимо обратиться к исследованию вопроса о подобии треугольников.
Рис.12. Продолжение высот AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются с описанной окружностью в точках A2, B2, C2. Соответствующие стороны треугольников A1B1C1 и A2B2C2 оказываются при этом параллельными
Докажем, что треугольник A2B2C2 будет подобен треугольнику A1B1C1. Для этого покажем вначале, что точка A1 является серединой отрезка HA2. С этой целью проведем дополнительно (см. работу [7]) отрезок A2B, и обратим внимание на то, что треугольник HA2B является равнобедренным. Действительно, в нем A1B±HA2 (т.к.
2
AA1 высота треугольника ABC) и HBA1 = A2BC. Последнее следует из цепочки равных углов: AA1C = HBA1, поскольку треугольники A1AC и B1BC подобны, и A2AC = A2bC , как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (см. рис. 13):
Рис. 13. Равенство углов А\АС = В\ВА\ = А2ВС приводит к тому, что треугольник НВА2 является равнобедренным
Вполне аналогичные рассуждения приводят к тому, что точка С1 является серединой отрезка НС2, а точка В1 представляет собой середину отрезка НВ2. Это означает, что:
1) А1С1 -это средняя линия треугольника НА2С2 и поэтому А1С1 = ^А2С2.
2) А1В1 -это средняя линия треугольника НА2В2 и поэтому А1В1 = 1А2В2.
3) B1C1 -это средняя линия треугольника HB2C2 и поэтому B1C1 = 1B2C2.
Таким образом, показано, что треугольники A2B2C2 и A1B1C1 являются подобными
с коэффициентом подобия k = 2 2 = 2, а потому площадь треугольника A2B2C2
A1 B1
должны быть в четыре раза больше площади треугольника A1B1C1, т.е.:
SA2B2C2 = 4SAiBiCi = 8S cos A cos B cos C. Что и требовалось доказать.
2
Заключение
В заключении работы необходимо отметить, что:
1) При изучении подобия треугольников всегда полезно вспомнить порожденные ортоцентром подерный треугольник и треугольник.
2) В вопросах изучения вписанных углов в качестве примера можно обратиться к треугольникам, порождаемые инцетром, центроидом и ортоцентром.
3) Теорему синусов вполне можно проиллюстрировать подерными треугольниками инцентра и центроида.
4) Использование математического аппарата тригонометрии в планиметрических задачах всегда можно показать на примере треугольника А2В2С2, порожденного инцентром.
Благодарности
Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность и признательность доценту Государственного гуманитарно - технологического университета города Орехово - Зуево Московской области Воробьевой Надежде Георгиевне за большую часть предоставленных материалов, оставленных ей на сохранение Борисом Павловичем Федоровым.
Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответсвенность. Все авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Список литературы/References
1. Encyclopedia of Triangle Center, ETS. https://faculty.evansville.edu/ck6/en-cyclopedia/etc.html.
2. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т, Планиметрия, преобразования плоскости, Т.1. Москва: МЦНМО, 2004. 312 с. [Ponarin YA. P. Elementarnaya geometriya: V 2 t, Planimetriya, preobrazovaniya ploskosti, vol.1. Moskva: MTSNMO, 2004.312 pp. (In Russian)]
3. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, В 2 ч. Москва: Наука, 1991.320 с. [Prasolov V. V. Zadachi po planimetrii, V 2 ch. Moskva: Nauka, 1991.320 pp. (In Russian)]
4. Ефремов Д. Д. Новая геометрия треугольника. Москва: URSS, 2015.352 с. [Yefremov D. D. Novaya geometriya treugol'nika. Moskva: URSS, 2015.352 pp. (In Russian)]
5. Шарыгин И. Ф. Решение задач, Учеб. пособие для 10 кл. Москва: Просвещение, 1994.252 с.
[Sharygin I. F. Resheniye zadach., Ucheb. posobiye dlya 10 kl. Moskva: Prosveshcheniye, 1994.252 pp. (In Russian)]
6. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач, Учебное пособие для 11 кл. Москва: Просвещение, 1991.384 с. [Sharygin I. F., Golubev V. I. Fakul'tativnyy kurs po matematike. Resheniye zadach, Uchebnoye posobiye dlya 11 kl. Moskva: Prosveshcheniye, 1991.384 pp. (In Russian)]
7. Воробьева Н. Г. Дополнительные построения в процессе поиска решения геометрических задач/ Сборник трудов "Математика и математическое образование"IX Международной научной конференции "Математика. Образование. Культура", 2019, С. 198-202. [Vorob'yeva N. G. Dopolnitel'nyye postroyeniya v protsesse poiska resheniya geometricheskikh zadach/Sbornik tru-dov "Matematika i matematicheskoye obrazovaniye" IX Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii "Matematika. Obrazovaniye. Kul'tura", 2019, pp. 198-202 (In Russian)].
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 37. no. 4. P. 216-234. TSSN 2079-6641
EDUCATIONAL-METHODOLOGICAL MATERIALS
MSC 97G40 Research Article
On some unknown results related to the nontrivial properties of
ordinary triangles. Part 1
B.P. Fedorov\, S. B. Bogdanova, S. O. Gladkov
Moscow Aviation Institute, 125993, Moscow, Volokolamskoe sh., 4, Russia E-mail: sonjaf@list.ru
In this paper, it was given a detailed solution of many original problems, formulated by Fedorov B. P. some time ago. These problems belong to the various nontrivial properties of Euclidean triangles. When presenting the material, it has been used some universally accepted, but not very popular in modern textbooks on geometry terminology, which is nesessary for understanding and in-depth perception of the problems described in the paper.
Keywords: properties of triangles, incircle and circumscribed circle, conformity. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-216-234
Original article submitted: 10.11.2021 Revision submitted: 10.12.2021
For citation. | Fedorov B. P. |, Bogdanova S. B., Gladkov S. O. On some unknown results related to the nontrivial properties of ordinary triangles. Part 1. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021,37: 4,216-234. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-216-234
Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Fedorov B. P. |, Bogdanova S. B., Gladkov S. O., 2021
Funding. The study was carried out without financial support from foundations.
