CC BY
15DOI: 10.25586/RNU.HET.19.10.P.43 УДК 378.1
Н.В. Аргунова, А.М. Попова,
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова
Всероссийская олимпиада по элементарной геометрии как одна из форм внеаудиторной учебной работы со студентами
Среди актуальных задач развития высшего образования в России выделяется по своему значению повышение конкурентоспособности и востребованности выпускников на рынке труда. Их решению способствует введение федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования третьего поколения, открывающих для студентов новые перспективы профессиональной самореализации и профессионального развития.
Новые образовательные стандарты направлены на освоение учащи-
мися общих и профессиональных компетенций, что требует формирования соответствующей образовательной среды и поиска наиболее прогрессивных методологических оснований. В частности, задачи преподавателя могут быть реализованы более эффективно, если аудиторные занятия будут совмещены с целенаправленной внеаудиторной учебной работой, способствующей достижению высоких образовательных результатов [4].
По мнению Н.И. Холод, внеаудиторная деятельность студентов -это педагогически целесообразная
организация свободного времени студентов, которая обеспечивает не только приобретение ими специальных знаний, навыков и умений, но и способствует развитию личностных качеств, проявлению их склонностей и способностей [5].
Г.Х. Вахитова отмечает, что предметная олимпиада как один из видов внеаудиторной деятельности имеет субъектную значимость для реализации потенциальных возможностей и способностей каждого студента [1]. В системе высшего образования проведение предметных олимпиад является одним
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова
© Аргунова Н.В., Попова А.М., 2019
НИНА
ВАСИЛЬЕВНА АРГУНОВА
кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания ма-^^^^^^^^^^ тематики Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова. Сфера научных интересов: совершенствование обучения математики в школе и в вузе. Автор 76 опубликованных научных работ. Электронная почта: nargunova@yandex.ru
АЛЕНА
МИХАЙЛОВНА ПОПОВА
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова. Сфера научных интересов: статистические методы обработки результатов педагогического эксперимента. Автор 31 опубликованной научной работы. Электронная почта: poalmi@list.ru
Представлен опыт проведения Всероссийской олимпиады по элементарной геометрии среди студентов высших учебных заведений в дистанционно-очной форме. Приведены условия и решения задач основного этапа олимпиады. Показана роль соревновательных мероприятий такого рода в развитии самостоятельной учебной работы студентов.
Ключевые слова: высшее образование, олимпиада, внеаудиторная работа, элементарная геометрия, студенты, условие и решение задач.
The experience of the Ail-Russian Olympiad on Elementary Geometry among students of educational institutions of higher professional education in the distance and full-time form is presented. The conditions and solutions of the main stage of the Olympiad are given.
Key words: higher education, olympiad, extracurricular work, elementary geometry, students, condition and solution problems.
из видов интеллектуальных соревнований студентов, основанных на демонстрации знаний в области одной конкретной учебной дисциплины. Мы согласны с мнением А.И. Попова, что олимпиадное движение обеспечивает «целостность и инновационную направленность педагогического процесса в системе высшего профессионального образования за счет развития творческих способностей обучающихся на основе более глубокого освоения основной образовательной программы и оптимального сочетания педагогического сопровождения формирования кластера профессионально важных творческих компетенций, самоуправления и творческого саморазвития личности студента» и тем самым повышает уровень профессиональной компетентности выпускника вуза [2].
Ввиду этого в целях повышения качества подготовки будущих специалистов, а также поддержки одаренных студентов, способных к креативному и инновационному мышлению, с 2013/2014 учебного года на базе Северо-Восточного федерального университета
имени М.К. Аммосова проводится Всероссийская олимпиада по элементарной геометрии среди студентов высших учебных заведений. Инициатором проведения и организатором олимпиады является кафедра методики преподавания математики Института математики и информатики Северо-Восточного федерального университета.
Олимпиада проводится в два этапа.
Отборочный этап проводят вузы, заявленные участниками. Организаторы на местах готовят задания и осуществляют отбор участников основного этапа.
Основной этап проводится в очной форме на базе Северо-Восточного федерального университета, а также в дистанционно-очной форме в учебных заведениях, заявленных участниками, в апреле среди
победителей и призеров отборочного этапа. Задания высылаются на электронную почту организаторов из других вузов в день проведения Олимпиады. Тексты задач основного этапа составляются не только преподавателями СевероВосточного федерального университета и ведущими учителями математики Республики Саха (Якутия), но и работниками учебных заведений страны. Жюри, состоящее из преподавателей вузов на местах проведения, осуществляет проверку работ участников по разработанным составителями критериям оценивания. После проверки протоколы и отсканированные копии работ участников отправляются организаторам в Северо-Восточный федеральный университет, где проводится перепроверка работ с высокими баллами. По окончании проверки результаты выполнения участниками олимпиадных заданий публикуются на сайте Института математики и информатики Северо-Восточного федерального университета.
Условия, решения заданий и критерии оценивания первых пяти олимпиад по элементарной геометрии приведены в учебном пособии «Решение олимпиадных задач по математике: задачи Всероссийской олимпиады по элементарной геометрии» [3].
С каждым годом география участников расширяется и возрастает число студентов, желающих принять участие в олимпиаде (табл. 1).
В этом учебном году прошла шестая Всероссийская олимпиада по элементарной геометрии. Все участники отметили высокий уровень организации олимпиады и выразили заинтересованность в даль-
Таблица 1
Количество участников Всероссийской олимпиады по элементарной геометрии, 2014-2019 гг.
Год 2014 2015 2016 2017 2018 2019
Число участников 99 156 318 295 325 521
Количество вузов 6 9 15 18 13 18
нейшем сотрудничестве в ее проведении. Организаторы и жюри Олимпиады высоко оценили уровень составления задач, предложили в дальнейшем установить официальные сроки проведения отборочного этапа в вузах и создать банк олимпиадных задач, из которого будут сформированы задания.
Предлагаем условия и решения задач основного этапа IV Всероссийской олимпиады по элементарной геометрии.
Задача 1. В единичном кубе ABCDA.fiСточки М и N - середины ребер АВ и ВВ. соответственно. Найдите расстояние между прямыми DA1 и MN.
Решение. Пусть точка К - середина ребра ВС. Тогда плоскости (A1C1D) и (MNK) параллельны и, следовательно, расстояние между этими плоскостями равно искомому расстоянию. Сечение ВВрр куба перпендикулярно плоскостям (А.С.О) и (MNK) и пересекается с этими плоскостями по прямым Ш и FD, где Е - середина отрезкаМК, аF - центр грани А.В.С.О..
S = S + S
ABCOl ABO1 BCO1
= 1/2AB • r1 + 1/2BC • r1 = 1/2(AB + BC) • r.
Разделим каждый из отрезков B1D1 и BD на четыре равные части и через точки деления проведем прямые, параллельные прямым NE и FD (см. рис.). Теперь видно, что по теореме Фалеса искомое расстояние равно 3/6 • BD1 = V3/2 (составитель задачи Н.В. Аргунова).
Задача 2. Покажите, что треугольник со сторонами 6, 16 и 20 можно разрезать на три различных треугольника с целочисленными сторонами.
Решение. Из теоремы косинусов для треугольника ABC (см. рис.) находим, что cos ZBAC = 3/4.
Равенства
62 + 42 - 2 • 6 • 4 • 3/4 = 16, 62 + 92 - 2 • 6 • 9 • 3/4 = 36 и теорема косинусов для треугольников ABE1 и ABE2 показывают возможность следующего разрезания:
(составитель задачи А.Н. Афанасьев).
Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника расположены на общих внутренних касательных окружностей с радиусами г1 и г2, а гипотенуза - на общей внешней касательной этих окружностей. Найти площадь этого треугольника.
Решение. БАВС = Бавсо. - 5АС01, где О. - центр окружности с радиусом г.. При этом SAC01 = 1/2АС • г1,
Тогда
SACB = 1/2(AB + BC) • r1 - 1/2AC • r1 =
= 1/2((AB + BC + AC) - 2AC) ■ r1 = 1/2(PABC- 2AC) ■ r1 = = (p - AC) ■ r1 = (AM - AC) • r1 = CM ■ r1 = r2 ■ r1
(составитель задачи А.Е. Афанасьев).
Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC точка O - центр его описанной окружности, P - середина отрезка AH, где H - ортоцентр треугольника ABC. Прямая, проходящая через точку P параллельно стороне BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AB и AC задают биссектрисы внешних углов треугольника OMN.
Решение. Пусть BBX и CCX - высоты треугольника. Известно, что треугольники ABlCl и ABC подобны с коэффициентом k = cos ZA, AH - диаметр окружности, описанной около треугольника ABlCr Поэтому AP = AH/2 = R cos ZA , где R - радиус описанной окружности треугольника ABC. С другой стороны, так как O - центр описанной окружности треугольника ABC, ZBOC = 2ZA. Отсюда в прямоугольном треугольнике COT, где T - середина стороны BC, имеем OT=R cos ZA. Через точку O проведем прямую, параллельную стороне BC и пересекающую стороны AB и AC в точкахK и L соответственно. Так как ранее мы получили AP = OT, по теореме Фалеса следует, что AM=KB и AN=LC. Отсюда и из равнобедренности треугольников AOB и AOC следует, что треугольники KOM и LON также равнобедренные. Тогда ZAMN = ZMKO = ZOMK, откуда и следует, что лучи MA и MB - биссектрисы внешних углов треугольника OMN при вершине M. Аналогично и для вершины N.
(составитель задачи А.Н. Павлов).
Задача 5. Четыре сферы радиусом a вписаны во все трехгранные углы тетраэдра и касаются внешним образом сферы радиусом b. Найдите радиусы сферы, описанной около тетраэдра, если радиус вписанной в него сферы равен r.
Решение. Рассмотрим тетраэдр T с вершинами в центрах данных сфер. Он подобен исходному тетраэдру, а центры вписанных в них сфер совпадают. Радиус вписанной в T сферы равен r - a, а описанной -a + b. Из подобия имеем: R/(a + b) = = r/(r - a), где R - радиус сферы, описанной вокруг исходного тетраэдра. Значит, R = (a + b)r/(r - a) (составитель задачи А.Ю. Эвнин).
Задача 6. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF известно, что AC || DF, BD || AE и CE || BF. Докажите,
Что SABCDEF < SACE + SBDF'
Решение. Пусть ZCAE = a. Заметим, что SABCD = 1/2 • AC ■ BD ■ sin a = = 1/2 • AE • BF • sin a = SDEF
Имеем
SABCDEF = SABCD + SADEF = 2~^SABCD ' SADEF =
= 2^1/2AC■ BD ■ sin a- 1/2AE■ BF■ sin a = = -V1/2AC ■ AE sin a ■ 1/2BD ■ BF sin a = = ■ S <S ■ S
2 *SACE SBDF < SACE SBDF
Таблица 2
Статистика решаемости задач Всероссийской олимпиады по элементарной геометрии 2018/2019 учебного года
Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6
Приступили к решению (%) 91 80 74 68 66 68
Ненулевые решения (%) 38 22 29 6 6 8,4
следовательно, 5авсвер < 5асе + (составитель задачи Н.М. Седракян).
В этом году максимальное количество баллов равно 32. В табл. 2 представлена статистика решаемости задач.
Все задания олимпиады рассчитаны на высокий и углубленный уровни геометрической подготовки студентов. Проверка работ показала, что задания олимпиады являются сложными для большинства участников. Самыми трудными оказались геометрические задачи, требующие для решения не столько формальных математических знаний (формул, теорем, готовых алгоритмов), сколько навыков самостоятельного ориентирования в математической ситуации, анализа планиметрической или стереометрической конструкции.
Проведение олимпиады по элементарной геометрии требует серьезной подготовки и объединения усилий организаторов и жюри всех вузов - участников олимпиады. Олимпиада дает студентам возможность проверить приобретенные в стенах вуза знания и умения, сравнить свои возможности и возможности конкурентов, выявить недостатки и сильные стороны, проверить качество освоения профессиональных компетенций. Надеемся, что проведение олимпиады по элементарной геометрии войдет в традицию, а опыт организации подобного мероприятия станет основой для дальнейшего сотрудничества между вузами страны и зарубежья.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вахитова Г.Х. Предметные олимпиады как способ повышения качества образования студентов педагогических вузов // Научно-педагогическое обозрение. Pedagogical Review. 2013. № 1 (1). С. 36-39.
2. Попов А.И. Теоретические основы формирования кластера профессионально важных творческих компетенций в вузе посредством олимпиадного движения: монография. Тамбов: Изд-во Тамбовского гос. технического ун-та, 2011. 80 с.
3. Решение олимпиадных задач по математике: задачи Всероссийской олимпиады по элементарной геометрии: учеб. пособие / Н.В. Аргунова, А.М. Попова, В.П. Ефремов. Ульяновск: Зебра, 2018. 91 с.
4. Холод Н.И. Конкурсы и олимпиады как средство формирования творческой культуры студентов во внеаудиторной деятельности по иностранному языку в вузе // Вестник ТГПУ. 2016. № 1 (166). С. 115-118.
5. Холод Н.И., Егорова О.С. Формы и методические принципы организации внеаудиторной деятельности студентов по иностранному языку // Ярославский педагогический вестник. 2014. № 4. С. 108-113.
LITERATURA
1. Vaxitova G.X. Predmetny'e olimpiady' kak sposob povy'sheniya kachestva obrazovaniya studentov pedagogicheskix vuzov // Nauchno-pedagogicheskoe obozrenie. Pedagogical Review. 2013. № 1 (1). S. 36-39.
2. Popov A.I. Teoreticheskie osnovy' formirovaniya klastera professional'no vazhny'x tvorcheskix kompetencij v vuze posredstvom olimpiadnogo dvizheniya: monografiya. Tambov: Izd-vo Tambovskogo gos. texnicheskogo un-ta, 2011. 80 s.
3. Reshenie olimpiadny'x zadach po matematike: zadachi Vserossijskoj olimpiady' po e'lementarnoj geometrii: ucheb. posobie / N.V. Argunova, A.M. Popova, V.P. Efremov. Ul'yanovsk: Zebra, 2018. 91 s.
4. Xolod N.I. Konkursy' i olimpiady' kak sredstvo formirovaniya tvorcheskoj kul'tury' studentov vo vneauditornoj deyatel'nosti po inostrannomu yazy'ku v vuze // Vestnik TGPU. 2016. № 1 (166). S. 115-118.
5. Xolod N.I., Egorova O.S. Formy' i metodicheskie principy' organizacii vneauditornoj deyatel'nosti studentov po inostrannomu yazy'ku // Yaroslavskij pedagogicheskij vestnik. 2014. № 4. S. 108-113.
