CC BY
0
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННО - СОСТАВНОГО ТИПА
Муминов Фарход Маликович
канд.мат-физ. наук, доцент, Алмалыкский филиал Ташкентского государственного технического университета, Республика Узбекистан, г. Алмалык E-mail: farxod.muminov.58@inbox.ru
АННОТАЦИЯ
В этом статье приводится постановка корректной краевой задачи для уравнения третьего порядка смешанно-составного типа. При определённых условиях на коэффициенты и правую часть уравнения доказывается этих задач.
Ключевые слова: уравнения смешанно-составной, корректность
В этом статье приводится постановка корректной краевой задачи для уравнения третьего порядка смешанно-составного типа. При определённых условиях на коэффициенты и правую часть уравнения доказывается этих задач.
В односвязной области D, ограниченной гладкой линией а, опирающейся на точки A(0;1) и B(1; 0) расположенной в четверти плоскости (х > 0, y < 0) и отрезками AAX, BE, AXE прямых х = 0, х = 1, y = 1 соответственно, где O, E - точки с координатами (0,0), (1,1) рассматриваются уравнения д
~(Lu) = 0, (1)
дх
1 - sgn y 1 + sgn y где Lu = u н--u--u .
^ хх 2 yy 2 y
Задача 1. Найти функцию u(х,y) со следующими свойствами:
1. Функция u (х, y) является регулярным решением уравнения (1) в области D (y ф 0).
2. Функция u (х, y) и ее частные пройзводные первого порядка непрерывны в замкнутой области (допускается, что в точках O(0,0), B(1,0) частные производные ux, u могут обращаться в
бесконечность порядка меньше единицы).
3. Функция u (х, y) удовлетворяет граничным условиям.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
u
u„
■= f (#)> u\be = ¥i( У\ u(0, у) + u(0, - у) aa y)' du
aa =y( уХх" U=
1 dn
(2)
где /, / , у - заданные функции, удовлетворяющие определенным условиям гладкости и условиям согласования, причем \у(у) - четная функция.
Задача 2. Найти функцию и (х, у) со свойствами задачи 1 кроме краевого условия и\ВЕ = срх(у), которое заменяется условием и|х=1 = и\ВЕ (0 < е < 1).
При исследовании этих задач будем пользоваться тем фактором, что любое регулярное решение уравнение (1) представимо в виде и(х, у) = х у) + ^(y), (3)
соответственно [1-3], где z(x,y) - регулярное решение уравнения
(4)
+ l+s^ - 1+w = о
xx 2 yy 2 у
Обозначим j(y)
j(y), 0 < y < 1,
j (x, y) - произвольные дважды
^2(у), -1 < у < 0,
непрерывно-дифференцируемые функция, ^ (у) - произвольная непрерывно-дифференцируемая функция.
Без ограничения общности можно предполагать ю(0) = ю'(0) = 0 . Предполагается, что а целиком лежит в полосе, ограниченной прямым
х = 0, х = 1.
Без ограничения общности можно предполагать, что /л(0) = /л\0) = 0. На основе (3) и (2) задача 2 редуцируется к определению регулярного решение (4) в области В (у ф 0) удовлетворяющего краевым условиям
а = /(€) - М2(У), АбЕ = у) - МУ),
ОА = ((у) - А(уХ А!ОА = у) - (Р(у) - М2(УХ (5)
z
z.
aa
(l=Ky), и ~ fl -j(y)-dy
дц дп
Единственность решение задачи 2 следует из принципа экстремума.
дх
(Предполагается, что — ф 0 вдоль дуги а).
дп
Определим у (х). Поставляя значение у (х) в формулу
дО
2ж
z(x,y) = Jy(t)G(x,y;t,0)dt + J f(0) — |#|=1 dd-\v(t)G(x,y;0,t)dt
3ж/2
-1
0
Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784
educational, natural and social sciences 5(2), Feb., 2025
Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz
имеем
2л
z(x,y) = J ju2(sm0)pl(x,y;0)dQ + P(x,y), (6)
3л/2
f (x, y;Q), P(x, y) - известные функции реализуя последнее условие из (5), для определения j2( y) получаем сингулярное интегральное уравнение (3).
SQ)sin#0 + C0° 2л т.de-Sin^L 1 Ki(QA)-K1(0Q°q)¿(Q)dQ +
2л зЛ/2О-О0 2л зЛ/2 Q-QQ
+CoQ л K2(e,°Q)-K2(Qq,Qq)ô(Q)dQ + COs0 л Q(9A)S(Q)cos0d0 + (7) 2Л зЛ/2 Q-QQ 2Л зЛ/2
cosQ 2л
+ Q
2л
J Qi (0, Qq ')S(Q) cos 6dQ = P2 (Qq ),
3ж/2
где 6(0) = /4(яп0); ^(0Д), Д(0Д), ДОЛ), 01(0,0,) - известные функции.
Из уравнение (7) определим функцию ¡и2 (у). Таким образом, функция и (х, у) полностью определяется в области Д.
Решение уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям
Авк =¥(у)-М(y), Асе = т(х) 4в =у(у) определяется по формуле
у __у _
а (х, у) = )0( х, у;0, г -1 [ух(г) - х, у;1, г -
0 0 (8)
у _
)0(х х, у; г,0)Ш,
0
где G( х, у;£,ц) - функция Грина.
Функция а(х, у) , определенная формулой (2) должна удовлетворять
условию z
oa1 =р( y) - jl( у):
ç(y) - jj(y) = Jv(t)G(Q,y;Q,t)dt - Jr(t)G(Q,y;t,Q)dt -
Q Q (9)
-J [Kt ) -Ji(t )rä(0, y;1, t )dt.
Q
Реализуя условие z\OA = y( y) -ç(-y) - jj ( y) имеем
¥(У) - (P(y) - j(y) = J jz(sinQ)fi(Q, y,Q)dQ + P(Q, y). (10)
Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784
educational, natural and social sciences 5(2), Feb., 2025
Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz
Поставляя значение ((y) в формулу (9) для определения j (y), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода
j( У) + jK(y,t)j(t)dt = P2(y), (11)
0
где K(y, t), p (y) - известные функции.
Из уравнения (11) единственным образом определяется функция j ( y).
Задача 2 редуцируется к определению регулярного решение уравнения (5) удовлетворяющего краевым условиям
zI а = f (Ç) - j(у\ zI x=e = Abe = (1(У) - j(У),
z
zx
OA = ((У) - j(У\ z|oa = ¥(У) - ((У) - jУ\
д^ , дА
AA = v(У^ а = f1(- У^-1 дп дn
(12)
Через ((y), ( (y) обозначены соответственно значения u(0, y), u(1, y) (0 < y < 1).
Единственность решения задача 2 доказывается, используя принцип
dx
максимума в предположении, что — ф 0 вдоль линии.
дп
Существование решения задачи 2 области D2 определяется как и в случае задачи 1 решение уравнение (5) удовлетворяющее краевым условиям
Abe = (i(y) - МуХ AOB = т(хХ Zx¡o4 = Kx) >
дается формулой
y _ 1 _
A(x,y) = fy(t)G(x,y;0,t)dt - Jr(t)G(x,y;t,0)dt -
0 0 y _
-J [(i(t) -Mi(t )]G|( x, y;1, t )dt,
0
A(x, y) должно удовлетворять условию
Az=e = (( y) -M( y)>
y
1 +
'0
(1З)
(l( y) - j( y) + J [(l(t ) - j(t )]Gç(e, y;1, t )dt
0
y _ 1 _
= Jv(t)G(e,y;0,t)dt - Jr(t)G(e,y;t,0)dt.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Интегральное уравнения (14) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, из которого единственном образом определяется <( У) -Д( У).
Реализуя условие г!^ = <( у) - д(у) из (13) найдем
У
i + j"|((t)-j(t№£(e, y; I,t)dt +
0
I I _
+j r(t )G(e, y ; t, 0)dt + j v(t )G(e, y ; 0, t )dt.
^ _
Ji( У) = (( У) + j[(i(t ) - Ji(t )]G^(e, y;I, t )dt
(15)
0 0 Поставляя значение <(у), <(у) -д (у) в формулу (15) определим
функцию д (у), где <( у) находится из формулы (8).
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно -составного типов. Т: Фан, 1979.238стр.
2. Бесов О.В., Ильин В.П., Николаевский С.М. Интегральные предоставления функций и теоремы вложения. М: Наука. 1975. 480 стр.
3. Брюханов Ю.А. Об одном классе эллиптических уравнений, выражавшихся на границе. Дифференциальные уравнения. 1973. Т.4 166-168 стр.
4. Врагов В.К. Краевые задачи неклассических уравнений математической физики. Новосибирск НГУ, 1983, 84 стр.
5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. Наука. 1981 448 стр.
6. Муминов Ф.М., Каримов С.Я., Утабов У нелокальная краевая задача для линейных уравнений смешанного типа Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, Volume 2 ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
7. Муминов Ф.М., Каримов С.Я. О смешанных краевых задачах для уравнения составного типа третьего порядка. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, Volume 4 ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2024: 7.404 ASI Factor = 1.7
8. Муминов Ф.М., Каримов С.Я. On the formulation of boundary value problems for one third-order equation. International Global Conference 1 (4), 257-263.
