CC BY
1
R
О
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
МУМИНОВ Фарход Маликович
канд.мат-физ. наук, доцент, Алмалыкский филиал Ташкентского государственного технического университета, Республика Узбекистан, г. Алмалык E-mail: farxod.muminov.58@inbox.ru КАРИМОВ Сардор Яшинович Ассистент, Алмалыкский филиал Ташкентского государственного технического университета, Республика Узбекистан, г. Алмалык E-mail: mr_man89@mail.ru
АННОТАЦИЯ
В этом статье приводится постановка корректной краевой задачи для уравнения смешанного эллиптико-параболического типа. При определённых условиях на коэффициенты и правую часть уравнения доказывается корректности этих задач в пространстве С. Л. Соболева.
Ключевые слова: уравнения, смешанная задача, корректность
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Lu ее (-l)S+1ff(t)2)tpu + C-l)m+1 ZWUßl=mVZ (aaß'D^u) + Bu
f (1)
a = S^u ±xU Sx"\..Sxy
; a = (av ...,an), |a| = ai E N
Где р > 1,т > 1 - целые числа, х = {хъ ...,х^) Е О., О-область, ограниченная достаточно гладкий замкнутой поверхностью у в Я." ,
Предлагается, что коэффициенты уравнения (1) гладкие и удовлетворяют следующим условиям: К(1) > О, (: > 0; АГ(О) = 0; аар (х, £) = а^а{х, I),
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Задача. В области С ищется решение уравнения (1) такое, что
Зки
Snk
= 0, К = Q,rn- L (2)
Dtu I t=o = 0,0 < i < р-^—1 — 1; 2>/u|t=r = 0, 0<Г<
p
L2J
- 1 (3)
2 ' *
Где п = ..., п^,?^) -внутренняя нормаль К, Г.
В настоящей работе при определенных условиях на коэффициенты уравнения доказана существования единственного регулярного решения задачи (1)-(3) в весовом пространстве Соболева. Через Сь обозначим класс гладких функций в С, удовлетворяющих краевым условиям (2)-(3).
1. При р = 25 для простоты положим
^'25-1 = (--г 1, К2;-2 = (-! п и будем считать, что функция
р{х) = а(х, 0) — ^(0) > 0. Пусть Иь весовое пространство Соболева, которое получено пополнением класса Сь по норме
Где INI - норма пространства W2''î S(G) [1]. Рассмотрим вспомогательные операторы:
Где а1,Ь1,с1 - некоторые константы.
Лемма1. При достаточно больших % > О,— Ь^ > 0, сг > 0 для всех г I € Ст_ Имеет место неравенство
т+1 А т.,
Доказательство. Для любой функции и(х, t) из CL справедливо неравенство
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
Где V = (—&)т/2и., а интегральные члены, обозначенные многоточием, играют подчиненную роль. Из последнего равенства на основании неравенств Коши, Гординга и теоремы вложения следует утверждение леммы1.
Теорема1. Пусть числа а1 > 0, —Ь^ > 0,—с1 > 0 является достаточно большими. Тогда для любой / Е 12 (б) уравнение Ь0и = / имеет единственное решение в пространстве Н1 и справедлива оценка
Мъ < т||/||00, т > 0.
Доказательство. Пусть {фк) ~ фундаментальная система в
W,
2m,2S,
(G) П W^ S(G) ортонормированная в L2(G) . В качестве базиса {<рк}
возьмем решения краевой задачи:
(4)
S'<pt
- = 0, i = 0,т- 1; ТКфс \ г=о =0, ; = 0,5 - 2; D: V- | г=т- = 0 (5)
t=T
В силу [2] задачи (4)-(5) имеет единственное решение <ре из И^22т'25(С). Приближенные решения иу (х, £) ищем в виде
из системы алгебраических уравнений
Умножим каждое из (6) на Си сложим по к ой 1 до N . Получим равенство
Из которого, в силу леммы1 следует оценка
¡К Y {vïvïuVfdG + ||иЧ|
2m,2S—1
<
l/lc (7)
\a\=m
Отсюда вытекает разрешимость системы (6), ибо для не имеет место теорема единственности. Действительно, если и¥ было бы решением однородной системы (6), то из (7) следовало бы, что
иу = 0 в w22m'2S 1(G) значит, имеем 0 = Puv = £
•N _
Тогда С£ = 0 при к = 1,ЛГ. Благодаря (7) можно переходит к пределу в равенстве
С/, фв)о,о = ао1Л«о,о = (-1У! Ъ^и^кфМС + -
Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784
educational, natural and social sciences 5(1), Jan., 2025
Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz
на основания этого нетрудно видеть, что для предельной функции u(x,t) из W22m'2S~\G) такой, что Vk'D?'D£u Е L2(G) при \а\<т, выполнено тождество
для любых 1] из Следовательно уравнение Leu = f
удовлетворяется в смысле распределений в G . Тогда из самого уравнения следует, что k'D2su принадлежит L2(G). Теорема доказана.
В силу теоремы1 методом продолжения по параметру доказывается теорема2.
Теорема2. Пусть коэффициенты bQ (х, t) < 0 и | b0 | достаточно большой. Кроме того выполнены условия
Тогда для любой / Е L2(G) существует единственное решение задачи (1)-(3) из пространства HL при р = 25.
При р = 25 + K2S = (-l)s+1a(x, t) . Обозначим через WL анизотропное пространство Соболева с весом, полученное замыканием CL по норме
Лемма2. Пусть коэффициенты О < О и |Ь01 достаточно большой и
Тогда существует числа À > 0 такое, что выполнено неравенство
S e~2ÀtuLudG > т0 ||и||^ 5,ш0 > О
ЛеммаЗ. Пусть выполнены условия лемма2 и a(x,t) = a(t),t G [0,/го],
Тогда для любой функции и G CL справедливо коэрцитивное неравенство
.
Доказательство леммы 2,3 проводится аналогично доказательству соответствующих лемме из [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бесов О.В., Ильин В.П., Николаевский С.М. Интегральные предоставления функций и теоремы вложения. М: Наука. 1975. 480 стр.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
2. Брюханов Ю.А. Об одном классе эллиптических уравнений, выражавшихся на границе. Дифференциальные уравнения. 1973. Т.4 166-168 стр.
3. Врагов В.К. Краевые задачи неклассических уравнений математической физики. Новосибирск НГУ, 1983, 84 стр.
4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. Наука. 1981 448 стр.
5. Муминов Ф.М., Каримов С.Я., Утабов У нелокальная краевая задача для линейных уравнений смешанного типа Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, Volume 2 ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
6. Муминов Ф.М., Каримов С.Я. О смешанных краевых задачах для уравнения составного типа третьего порядка. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, Volume 4 ISSUE 2 ISSN 2181-1784 SJIF 2024: 7.404 ASI Factor = 1.7
7. Муминов Ф.М., Каримов С.Я. On the formulation of boundary value problems for one third-order equation. International Global Conference 1 (4), 257-263.
