ПРОБЛЕМА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Research BIB / Index Copernicus

(E)ISSN: 2181-1784 4(7), July, 2024 www.oriens.uz

ПРОБЛЕМА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

СМЕШАННОГО ТИПА

Миратоев З.М.

Islom Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti Olmaliq filiali

E-mail: [email protected]

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается нестандартная краевая задача для одного нелинейного уравнения, имеющего широкий спектр приложений в различных областях науки и техники. Объектом изучения является нелокальная краевая задача, которая отличается от традиционных задач по наличию нестандартных условий на границе области. Основной целью работы является исследование существования и свойств решений данной нелинейной краевой задачи, а также разработка эффективных методов их численного решения.

Ключевые слова: Нелокальная краевая задача, Неклассическое уравнение, Нелинейное уравнение, Краевая задача с нестандартными условиями, Существование и единственность решений, Численные методы решения, Устойчивость решений, Анализ математической постановки.

I. ВВЕДЕНИЕ

Не локальные краевые задачи для нелинейных уравнений привлекают все большее внимание в современной математике и ее приложениях. Эти задачи представляют собой значительное расширение классического подхода к краевым задачам, требуя учета влияния не только граничных условий, но и нелинейных не локальных эффектов на решения уравнений.

Краевые задачи для нелинейных уравнений играют важную роль в различных областях науки и техники, таких как физика, биология, экономика и инженерия. Они представляют собой математические модели реальных процессов, в которых учитываются сложные взаимодействия и нелинейные явления.

В данном контексте, не локальные краевые задачи выделяются своей способностью учитывать не только локальные свойства системы, но и эффекты, распространяющиеся на всей области определения уравнения. Это делает их более реалистичными в моделировании широкого спектра физических и биологических процессов, таких как распространение тепла, распространение популяций, реакции диффузии, и многие другие.

В данном исследовании мы обращаемся к одной из таких задач - не локальной краевой задаче для одного не классического уравнения.

Данное исследование представляет собой важный шаг в понимании и развитии методов решения нестандартных краевых задач, имеющих широкое практическое применение и теоретический интерес.

II. Математическая постановка задачи Формулировка нелинейного уравнения и условий на границе Рассмотрим уравнение:

LU = K (x;y)U ^ + Uxx + а( x; y) U y + b( x; y)U + m |u| PU = f (x; y) (1) Где К(х,у)-непрерывно дифференцируемая функция , причем К (х, у)> 0 при у > 0,К(х,у)< 0при у < 0, а(х,у)е C(D),b(x,y) е C1 (D) ,m < 0, р > 0

Область D- которая состоит при у>0 из прямоугольника с вершинами в точках А(0; 0), В(1;0), Ai(0;l), Bi(l;l), а при у<0 ограничена характеристиками уравнения (1)

$ = j(x; y): ^ = -V-K, y(0) = 0, y < 0 j = J(x;y): ^ = W-K,y(0) = 0,y < 0j

Всюду ниже предполагается что, yeS. ß(x) = exp

■(-1 + y)

,X> 0,y е S.

Положим $ - $1 и $2

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Э такое, что

и (0; у)- и (1; у)- 0 (2)

и(х;1) - 0(х)и(х; у) /$ (3)

' Я р + 2

Где у<0 Через ж}( В) обозначим под пространство функций из пространства Ж2г( В) которые удовлетворяют краевым условиям (2)-(3)

Определение 1. Функции и (х;у)е^ф) ) называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если выполнено интегральное тождество.

|Щу(КУ\ - ихУх + а(х;у)и/ + ЬШ + т|и|' иУ йВ - ЩЩВ

а в

о1

для любой функции V из Ж2(э) .

Существование обобщенного решения краевой задачи (1)-(3) установим с помощью метода Галеркина. Пусть (фп (х, у)} -множество функций из

пространства ж1(В) обладающее тем свойством , что все срп (х, у) линейно

независимы , а их линейные комбинации плотны в этом пространстве. Такое множество, как известно [1], [4] существует. Рассмотрим вспомогательную задачу

W ( x;1) — ß( x)Wn ( x; y) /s (6)

Решение задачи (5)-(6)

y 1

Wn ( x, y) = J eÄTpn (x; r)dt + -Г— J eXt<Pn (x; t)dt « ß 1 s

N

Ясно, что Wn ( x, у ) линейно независимы. Действительно, если X CnW„ — 0 для

n—1

какого-нибудь набора W1, W2, ..., Wn то действуя на эту сумму оператором L, имеем

N

X Cp (x;y) — 0 ^ Cn — 0, V n

n— 1

Ясно, что W (x; y) e W1(D) нетрудно получить оценку Il Wir < m\\p IIp

II n\\Lp (d ) ll^n IlLp (D )

Кроме того Wn(x,y) удовлетворяет условиям (6) для любого n. Приближенное решение задачи (1)-(3) будем искать в виде

Где С постоянные, которые определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений виде

(LUNUn )о — ( fUn )о, n — 1, N (7)

Разрешимость этой системы алгебраических уравнений следует из получаемых ниже априорных оценок для приближенных решений и [4] леммы «об остром угле»

Лемма 1. Пусть выполнены условия К ( x;1)> 0 и неравенства

2а ( x; у )-Кy ( x; у )-Л К ( x; у )>â> 0

Тогда справедлива оценка

||UN|l2, +|ИГ ^ к

Il IIw2(d) Il \\lp (d) 2 (8)

К-_ не зависит от п.

Доказательство. Умножим (7) на Сп суммируя по п от 1 до N получим тождество

Г вХуиышыаъ = Г вЯуиы ¡ав

ъ ъ (9)

Интегрируя левую часть равенство (9) но частям, получаем

Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz

dD -

K(UN )2 + (2 a - KK - Ky)(Un )2 + +1(UN )2 + — \\un

P

к 1 к 1 к 1 1

-e- j (UN )2 dx + e- j K ( x;1)(UN )2 dx - e- j (UN )2 dx +1j eKy

2 0 2 0 2 0 2 s

((UN)2 -K(UN)2 + m\uN\ + (UN)2)«1 -2(UN)(UNy )n

ds

Где п=(п1 п2)- единичный вектор внутренний нормали к дТ). Используя условия (3) и условия леммы получим неравенство (8). Вернемся к вопросу о

разрешимости системы уравнений (7). Если записать ее в виде где

(' ~ ^ ''» ("'»то как мы только что убедились умножая (К,(С)-,С)0 ПОЛуЧаем

(К(С1С)0 > К0 Цс^Ц2, оценку 11 1Ь2(В)

В силу того, что линейная оболочка ......^) есть конечномерное

пространство, существует К2(т) такое, что значить, выполнено неравенство

5 -1

Если С достаточно больщая величина

А это условие "острого угла", достаточное для разрешимости системы уравнений (7).

Теорема. Пусть выполнены условия леммы. Тогда для любой функции /(Х; у) е ^(В) существует обобщенное решение задачи (1)-(3).

{\ик\рик}

Доказательство. В силу оценки (8), последовательность " >

1 1 1 L ~ + "- 1

ограничено в пространстве 4 где р % . Тогда на основании (8) из последовательности {Е/-^} можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся

слабо в ^(В) к некоторой функции £/(х,у) и последовательности 1и I и слабо

UN|Р UN ^ q(x; y) L

в q

сходится в Lq(D) к функции

Однако, но теореме вложение В) в (В) вполне непрерывно.

Следовательно, мы можем считать, что подпоследовательность и (х; у) сильно в

^ и почти всюду. Теперь применим лемму 1 из [2], [4] о предельной переходе в нелинейном члене в случае, когда из нее следует, что

% (х, у)- |и|ри

Далее, переходя к пределу при ^^^ в (7) при фиксированном п, будем иметь равенство

\[-Uy(Kpn-Ux<pn +aU<pn + ß(x;y)Upn + m\U\p Upn]dD = \f<pndD

d d

Где функции U(x;y) принадлежит W;i(D) . Отсюда в виду плотности < ^ в пространстве W (D) следует, что интегральное тождество I4 справедливо для

о 1

любой V(x; y) е W 2 (D) теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ (REFERENCES)

1. Врагов В.И. Краевые задачи неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983, 84с.

2. Врагов В.И. Об одной уравнений смешанно-составного типа.

3. Муминов Ф.М., Муминов С.Ф. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа. Central Asian Journal of mathematical theory and computer sciences. 2021. Issue: 04. April. ISSN:2660-5309.

4. Муминов Ф.М., Душатов Н.Т. О нелокальной краевой задачи для линейных уравнений смещенного типа. Central Asian Journal of theoretical and applied sciences. 2021. Vol.02/ Issue: 05. may. ISSN:2660-5309.

5. Fayzudinovich, S. I. (2021). To Investigation of The Mixed Problem For Systems of Equations of Compound Type. Central Asian Journal of Theoretical and Applied Science, 2(4), 23-32.

6. Сраждинов, И. Ф. (2021). Начально-краевая задача для одной системы составного типа. CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES, 2(3), 41-47.

7. Сраждинов, И. Ф. (2021). Смешанная Задача Для Одной Особой Системы Составного Типа С Коэффициентом Чебышева-Эрмита. CENTRAL ASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES, 2(10), 47-52.

8. Муминов, Ф. М., Душатов, Н. Т., Миратоев, З. М., & Ибодуллаева, М. Ш. (2022). ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СМЕШАННО-СОСТАВНОГО ТИПА. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 2(6), 606-612.