CC BY
8Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 6 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.
Муминов Ф.М., Душатов Н.Т., Миратоев З.М., Сулхонов Д.А.
Алмалыкский филиал Ташкентского государственного технического университета mfarhod007@gmail. сот, п dushatov@rambler.ru,
АННОТАЦИЯ
Исследования краевые задачи для уравнения составного типа сравнительно новое направление в теории краевых задач. Особый интерес эти задачи представляют в связи с их приложением в различным задачам механики и физики, такие они возникают при моделировании тепло масс обмена в капелярно-пористых средах ряда различных биологических объектов и других задач. Настоящая работа посвящена исследования краевые задачи для уравнения третьего порядка смещанного составного типа.
Ключевые слова: Краевые задача, уравнения смешанно-составной тип, локаль, сингулярное интегральное уравнение.
Investigations of boundary value problems for an equation of composite type are a relatively new direction in the theory of boundary value problems. These problems are of particular interest in connection with their application in various problems of mechanics and physics, such they arise when modeling heat and mass transfer in capillary-porous media of a number of different biological objects and other problems. The present work is devoted to the study of boundary value problems for a third-order equation of a displaced composite type.
Keywords: Boundary value problem, equations of mixed-composite type, locale, singular integral equation.
ВВЕДЕНИЕ
В односвязной области D, ограниченной гладкой линией а, опирающейся на точки A(0;1) и B(1; 0) расположенной в четверти плоскости (x > 0, y < 0) и отрезками AAX, BE, AXE прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно, где O, E - точки с координатами (0,0), (1,1) рассматриваются уравнения [1-10]
ABSTRACT
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 6 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
d_ dx
(Lu ) = 0,
(1)
1 - sgn y 1 + sgn y где Lu = и +--и,--и .
xx 2 УУ 2 У
ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ
Задача 1. Найти функцию и (х, у) со следующими свойствами:
1. Функция и(х, у) является регулярным решением уравнения (1) в области В (у ф 0).
2. Функция и(х, у) и ее частные пройзводные первого порядка непрерывны в замкнутой области (допускается, что в точках О(0,0), В(1,0) частные производные их, и могут обращаться в бесконечность порядка
меньше единицы).
3. Функция и (х, у) удовлетворяет граничным условиям.
' = /и\вк = ¥1(уХ и(0,у) + и(0, -у) аа = ^(y),
и
и.
0и,
К y\— и
on
(2)
АА1 у (у), ^ \а
где /, / , у - заданные функции, удовлетворяющие определенным
условиям гладкости и условиям согласования, причем \у(у) - четная функция.
Задача 2. Найти функцию и (х, у) со свойствами задачи 1 кроме краевого
условия и\ВЕ = ((у), которое заменяется условием и|х=1 = и\ВЕ (0 < е < 1).
При исследовании этих задач будем пользоваться тем фактором, что любое регулярное решение уравнение (1) представимо в виде
и( х у) = х у) + ^(y), (3)
соответственно [1-3], где 2(х,у) - регулярное решение уравнения
1 + бви у 1 + бви у
ихх +-2-иуу--2-иу = 0.
Гд (у), 0 < у < 1,
Обозначим д(у) = < д (х, у) - произвольные дважды
[д(у), -1 < у < 0,
непрерывно-дифференцируемые функция, д (у) - произвольная непрерывно-дифференцируемая функция.
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 6
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
Без ограничения общности можно предполагать ю(0) = ю'(0) = 0 . Предполагается, что < целиком лежит в полосе, ограниченной прямым
х = 0, х = 1.
Без ограничения общности можно предполагать, что ju(0) = ju\0) = 0. На основе (3) и (2) задача 2 редуцируется к определению регулярного решение (4) в области D (y ф 0) удовлетворяющего краевым условиям
z|< = f(#) - М2(У), Abe = ¥i(У) - МУ),
OA = ф(y) - M(yX A OA = ¥(y) - (P(y) - M2(y\ (5)
I v \dy
z
Zx
AA =V{y\— \a= Ш) -ßiiy)^--дц дп
Единственность решение задачи 2 следует из принципа экстремума.
Эх
(Предполагается, что — ф 0 вдоль дуги а).
Эп
Определим у1 (х). Поставляя значение у1 (х) в формулу
2л
z(x,y) = Jy(t)G(x,y;t,0)dt + J f(в)dG |#|=1 de-Jy(t)G(x,y;0,t)dt
3 л/2 дп -1
имеем
2л
z(x,y) = J ju2(sm0)pl(x,y;6)de + P(x,y), (6)
Эя/2
pl(x,y;e), P(x,y) - известные функции реализуя последнее условие из (5), для определения j2( y) получаем сингулярное интегральное уравнение (3).
ад)Sll4 + C0Se> Im.de-S^ | K(eA,)-Ч%Л)mdd.
v 0/ 0 Irr J Й-Й Irr J Й-Й V J
2л зЛ/2в-в0 2л 3 л/2 в-в0
2 л^/^^ч^/^^ч ^-i 2 л
+
+ cos^ л К2(в,во)-К2(во,во)mde + ^ Г 0(в,в)^(e)cosede+ (7)
2л 3 л/2 в-в0 2л 3л/2
/1 2л
cose
+ 0
2л
J Ql(ee,)S(e)cosede = p2(e0S),
3л/2
где 8(в) = ¿(¡¡тв); КДо), ^(ЯД), ШЪ), &(РЛ) ~ известные функции.
Из уравнение (7) определим функцию ¡и2 (у). Таким образом, функция и (х, у) полностью определяется в области .
о
о
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 6
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
Решение уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям
Abe =И»-М(У), AGE = ?(x\ zx\AB = у(У) определяется по формуле
У __У _
z(x,y) = Jv(t)G(x,y;0,t)dt - J[^(t) - j(t)]G#(x,y;l,t)dt -
0 0 (8)
y _
-Jv(t )G (x, y; t ,0)dt,
— i
где G( х, у;^,^) - функция Грина.
Функция 2(х, у) , определенная формулой (2) должна удовлетворять условию 2
у у
ga = P( У) -U( У)'
р(y) - Ui(y) = Jv(t)G(0,y;0,t)dt - Jr(t)G(0,y;t,0)dt -
0 0 (9)
-} [¥{х) -д(х )]^(0, у;1, х )йх.
0
Реализуя условие у) -((-у) - д (у) имеем
¥(у) - ((у) - д(у) = |д2(япв)А(0,у,в)ав+Р(0,у). (10)
Поставляя значение ((у) в формулу (9) для определения д (у), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода
Д( у) + )к (у, X )д(х )ах = Р2(у), (11)
0
где К (у, X), р (у) - известные функции.
Из уравнения (11) единственным образом определяется функция д (у). Задача 2 редуцируется к определению регулярного решение уравнения (5) удовлетворяющего краевым условиям
zI= f - U(y\ zIx=e = Abe = Pi(У) - Ui(y),
z
zx
ga = P(y) - Ui(y), AGA = ¥(y) - P(y) - U2(y),
dz I i dz
AA = у(У)Т~ -= f№) -U2(y^-1 on on
0
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 6
educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
Через ((y), ((y) обозначены соответственно значения u(0, y), u(1, y) (0 < y < 1).
Единственность решения задача 2 доказывается, используя принцип
dx
максимума в предположении, что — ф 0 вдоль линии.
дп
Существование решения задачи 2 области D2 определяется как и в случае задачи 1 решение уравнение (5) удовлетворяющее краевым условиям
Abe = (i(y) ~Му\ AOB =т(хХ zx I OA = v(x)'
дается формулой
y __1 _
A(x,y) = jv(t)G(x,y;0,t)dt - jr(t)G(x,y;t,0)dt -
0 0 y _
-j [(i(t) -M(t (x, y;1, t )dt,
0
A(x, y) должно удовлетворять условию
A a=e =((У) -M(У) >
(13)
У
1 +
0
1
((У) - м(у) + j [((t) - Mt Wde, y;1, t )dt
(14)
= \у(х)в(е,у;0,X)йх -\т(х)в(е,у;X,0)Л. 0 0 Интегральное уравнения (14) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, из которого единственном образом определяется
((у) -д1( у).
Реализуя условие г ОА = ((у) - д(у) из (13) найдем
у _
д (у) = ((у) + | [(1 (X) - д (X )]Ф (е, у; 1, X )ах +
1 0 1 _ (15)
+J*т(X ^(е, у; X, 0)а +1 у( )в(е, у; 0, X )а.
0 0
Поставляя значение ((у), ((у) -д(у) в формулу (15) определим функцию д (у), где ((у) находится из формулы (8).
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 6 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
REFERENCES
1. Врагов В.И. Об одном уравнении смешанного - составного типа диф. урав. 1973. T IX, №1. Стр. 169-171.
2. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. ОГИЗ. Гостехиздат. 1949.
3. Муминов, Ф. М., & Душатов, Н. Т. (2021). Нелокальная краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. CENTRAL ASIAN JOURNAL OF THEORETICAL & APPLIED SCIENCES, 2(5), 191-196.
4. Муминов, Ф. М., Миратоев, З. М., & Утабов, У. А. (2021). Об Одной Краевой Задаче Для Уровнениясоставного Типа Третьего Порядка. CENTRAL ASIAN JOURNAL OF THEORETICAL & APPLIED SCIENCES, 2(4), 17-22.
5. Муминов, Ф. М., & Миратоев, З. М. (2021). О нелокальной краевой задаче для одного неклассического уравнения.«. Scientific progress, 1(6), 922-927.
6. Muminov, F. M., Dushatov, N. T., & Miratoev, Z. M. (2022). Boundary Problem for a Third Order Equation of a Mixed Composite Type. Eurasian Journal of Physics, Chemistry and Mathematics, 5, 12-16.
7. Муминов, Ф. М., Самандаров, И. Р., Душатов, Н. Т., & Миратоев, З. М. (2022). О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СМЕЩАННОГО-СОСТАВНОГО ТИПА. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 2(4), 260-265.
8. Муминов, Ф. М., Самандаров, И. Р., Душатов, Н. Т., & Миратоев, З. М. (2022). КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 2(4), 218-224.
9. Сраждинов, И. Ф., Душатов, Н. Т., & Миратоев, З. М. (2022, April). Разрешимость начально-краевой задачи для одной системы составного типа. In E Conference Zone (pp. 50-51).
10. Muminov, F. M., Dushatov, N. T., & Miratoev, Z. M. (2022). NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A THIRD-ORDER MIXED-COMPOSITE TYPE EQUATION. Web of Scientist: International Scientific Research Journal, 3(4), 600-605.
