О некоторых коллинеациях конечных проективных плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.015.2

М. Е. Елисеев1, Е. М. Елисеев2 О НЕКОТОРЫХ КОЛЛИНЕАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева1, Арзамасский государственный педагогический институт им. А. П. Гайдара

В данной работе описывается методика нахождения некоторых коллинеаций конечных проективных плоскостей. Определяется подгруппа группы коллинеаций для новой конечной проективной плоскости порядка 9 - 1-плоскости.

Ключевые слова: конечная проективная плоскость, коллинеация, латинский квадрат.

1. Изотопные преобразования ЛК (квазигрупп)

Известно [1], что таблица Кэли квазигруппы является латинским квадратом (ЛК) в силу того, что уравнения а о х = Ь и х о а = Ь решаются однозначно. Латинские квадраты называются изотопными, если а * Ь = у(а(а) о Р(Ь)), где преобразование а - перестановка строк, Р - перестановка столбцов, у - переобозначение элементов, * и о - операции в квазигруппах, соответствующих ЛК.

Каждому ЛК порядка п можно взаимно однозначно сопоставить упорядоченный набор из п подстановок, по следующему правилу:

1) находим все решения уравнений х о У = а ;

2) элементу а^ сопоставляем подстановку ^ =

- Х2 '■■■Xn ^

^ У - У2 )

далее для краткости

будет использоваться запись у = ^ (хг).

Понятно, что по набору подстановок ^,£2,...,£п можно восстановить ЛК: если у = ^ (х), то на месте ( хг, у ) записывается ак (в терминах квазигрупп это следующее соответствие: х о у = а ). Далее будем говорить, что упорядоченный набор ^, ,...,порождает ЛК и будет называться диаграммой ЛК. Понятно, что разному порядку ^ отвечают ЛК, отличающиеся переобозначением элементов - у.

Пример 1. Латинскому квадрату соответствует набор подстановок

^ = (1)(2)(3)(4)(5), = (12345 ), = (13254 ),Б4 = (14352 ),

= (153)(24) ■

Приведем несколько простых, но важных для дальнейшего изложения утверждений.

Лемма 1. Умножению подстановок ^, порождающих ЛК

А, на подстановку а"1 слева соответствует перестановка строк ЛК а, на подстановку Р справа - перестановка столбцов Р .

Доказательство. Пусть подстановка Р представлена в цикловом виде р = (У1 У2 —Ук)(Ук+1--Ут)■■■. Тогда х1 о У1 = а, ^ х1 • У2 = а,, х2 о У2 = а ^ х2 • Уз = аг, • -хк о Ук = а ^ хк • У = а , то есть столбцы ЛК переставляются в порядке Р . Для строк доказательство аналогично.^

xi \ Yj 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 4 1 2 5 3

3 5 3 1 2 4

4 3 5 4 1 2

5 2 4 5 3 1

© Елисеев М.Е., Елисеев Е.М., 2011.

Цикловым видом подстановки далее будем называть набор длин циклов ей соответствующих.

Лемма 2. Пусть подстановка представлена в виде произведения циклов, тогда а£га"1 имеет тот же цикловый вид, причем элементы из переставляются в порядке а .

Доказательство этого простого утверждения можно найти, например, в [2].

2. Коллинеации проективной плоскости

Известно [3], что по полной системе попарно ортогональных латинских квадратов порядка п можно построить инцидентностную схему конечной проективной плоскости со стандартным выбором бесконечно удаленной прямой. Через каждую точку бесконечно удаленной прямой проходит пучок прямых, причем ЛК соответствуют (п - 1) из этих пучков.

Напомним, что преобразование проективной плоскости, сохраняющее отношение принадлежности точки прямой, называется коллинеацией. Рассмотрим коллинеации проективной плоскости, сохраняющие бесконечно удаленную прямую и пару точек на ней, причем берутся точки, пучки прямых, проходящие через которые, не соответствуют латинским квадратам. Коллинеации этого вида индуцируются преобразованиями

а * Ь = у(а(а) о а"1 (Ь)), описанными выше. По лемме 2 такие преобразования сохраняют цикловые виды подстановок из диаграммы ЛК.

Последнее влечет несколько простых утверждений, позволяющих находить колли-неации указанного вида:

1) пучки прямых, соответствующие ЛК, могут переходить друг в друга при коллинеации, если подстановки одного ЛК имеют те же цикловые виды, что и у другого;

2) если один из пучков имеет набор цикловых видов подстановок, отличающийся от остальных, то он инвариантен относительно коллинеаций указанного типа;

3) прямые внутри пучка могут меняться местами (при сохранении пучка), если они имеют одинаковые цикловые виды.

Эти соображения позволяют легко определить указанную подгруппу в группе колли-неаций для плоскостей небольших порядков. Для больших порядков нетрудно использовать компютерные программы.

3. Подгруппа группы коллинеаций Л-плоскости

Теория, изложенная в п. 2, была использована при определении подгруппы группы коллинеаций .Г-плоскости. Последняя описана в [4], полная система ЛК, ей соответствующая, приведена в табл. 1. Для справок приводится также полная система ЛК для плоскости Хьюза (табл. 2)

Нетрудно заметить (см. таблица 3), что второй ЛК имеет отличный от остальных набор цикловых видов подстановок, поэтому он переходит в себя под действием коллинеаций. Кроме того, три подстновки из девяти имеют цикловый вид (•)(••)(••)(••)(••), поэтому соответствующие прямые либо переходят в себя, либо друг в друга, остальные шесть прямых этого пучка также переставляются.

Непосредственная проверка показывает, что так действуют только 6 подстановок, образующие группу 2 3 со следующими представителями: г1=(2)(4)(6)(08)(15)(37),

г2=(2)(4)(6Х17)(03)(58), г3=(2)(4)(6)(35)(78)(01).

Информация об этой подгруппе используется при нахождении третьей подплоскости .Г-плоскости и при доказательстве теоремы отличия этой плоскости от остальных известных четырех плоскостей порядка 9.

Латинские квадраты J-плоскости

Таблица 1

012345678 048731256 071856432 064572183

120453786 172684503 147560328 1 8 5 3 06247

201534867 237146085 258407613 246085731

345678012 306257148 380742561 327814650

453786120 460825317 426371805 408163572

534867201 581073624 562138740 573421068

678012345 623508471 614283057 632750814

786120453 715462830 703615284 751248306

867201534 854310762 835024176 810637425

025187364 057623841 036418527 083264715

104728635 138275460 163047852 156832074

213870546 270368154 284651370 265713408

352061487 361480275 318526704 374105826

431602758 482517036 475230681 417058263

540216873 516704382 507382416 528640137

687435102 605841723 650174238 641327580

768354021 724036518 742803165 730581642

876543210 843152607 821765043 802476351

Таблица 2

Латинские квадраты плоскости Хьюза

012345678 012345678 012345678 012345678

201534867 120453786 678012345 867201534

120453786 201534867 345678012 453786120

678012345 345678012 120867534 534120867

867201534 453786120 786534201 120678453

786120453 534867201 453201867 678534012

345678012 678012345 201786453 786453201

534867201 786120453 867453120 345012786

453786120 867201534 534120786 201867345

012345678 012345678 012345678 012345678

786120453 345678012 534867201 453786120

534867201 678012345 786120453 867201534

867534120 201786453 453201786 786453201

345012867 534120786 678453012 201867345

120786345 867453120 201678534 345012786

453201786 120867534 867534120 534120867

201678534 453201867 120786345 678534012

678453012 786534201 345012867 120678453

Таблица 3

Подстановки соответствующие латинским квадратам J-плоскости

012345678=(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

120453786=(012)(345)(678)

201534867=(021)(354)(687)

345678012=(036)(147)(258)

453786120=(048)(156)(237)

534867201=(057)(138)(246)

678012345=(063)(174)(285)

786120453=(075)(183)(264)

867201534=(084)(165)(273)

057623841= 138275460= 270368154= 361480275= 482517036= 516704382= 605841723= 724036518= 843152607=

:(0)(15368)(274) :(01328)(476)(5) :(02)(175846)(3) :(03485)(162)(7) :(04186)(2)(357) (054)(1)(26378) :(067251)(38)(4) :(071243)(56)(8) :(087)(14523)(6)

064572183=

185306247=

246085731=

327814650=

408163572=

573421068=

632750814=

751248306=

810637425=

=(0)(16)(247835) (01874)(256)(3) :(02673)(148)(5) :(038)(12754)(6) :(046531)(28)(7) :(05176)(234)(8) :(06845)(137)(2) (07)(158632)(4) :(08572)(1)(364)

025187364=(0)(125763)(48) 104728635=(01)(24)(37)(58)(6) 213870546=(023865)(1)(47) 352061487=(03)(15)(2)(46)(78) 431602758=(04)(136752)(8) 540216873=(056832)(14)(7) 687435102=(061827)(34)(5) 768354021=(072816)(3)(45) 876543210=(08)(17)(26)(35)(4) 071856432=(0)(17382)(456) 147560328=(014635)(27)(8) 25 8407613=(02834)( 157)(6) 380742561=(037652)(18)(4) 426371805=(047)(12685)(3) 562138740=(058)(16743)(2) 614283057=(06)(1)(248753) 703615284=(07841)(236)(5) 835024176=(08613)(254)(7) 083264715=(0)(185467)(23) 156832074=(01526)(384)(7) 265713408=(02537)(164)(8) 374105 826=(031724)(5)(68) 417058263=(04583)(1)(276) 528640137=(05)(128736)(4) 641327580=(06578)(142)(3) 730581642=(07482)( 135)(6) 802476351=(081)(2)(34756)

048731256=(0)(14375)(286) 172684503=(017)(2)(36548) 237146085=(027856)(13)(4) 306257148=(03261)(457)(8) 460825317=(042)(16387)(5) 581073624=(053)(18472)(6) 623508471=(064)(12358)(7) 715462830=(073468)(1)(25) 854310762=(082415)(3)(67) 036418527=(0)(134)(26587) 163047852=(016823)(4)(57) 284651370=(024518)(36)(7) 318526704=(03567)(1)(284) 475230681=(04325)(178)(6) 507382416=(05271)(3)(486) 650174238=(062)(15473)(8) 742803165=(07614)(2)(385) 821765043=(083746)(12)(5)

Библиографический список

1. Белоусов, В.Д. Латинские квадраты, квазигруппы и их приложения / В.Д. Белоусов, Г.Б. Белявская. - Кишинев: Штиинца, 1989. - 250 с.

2. Супруненко, Д.А. Группы подстановок / Д. А. Супруненко. - Мн.: Наука и техника, 1996. -366 с.

3. Елисеев, Е. М. Проективная геометрия: учеб. пособие / Е. М. Елисеев. - Арзамас: АГПИ, 2003. - 255 с.

4. Елисеев, М. Е. Новая проективная плоскость порядка 9 // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании '2010: сб. науч. тр. материалов междунар. научно-практич. конф. Т. 8. Физика и математика. - Одесса: Черноморье, 2010. С. 42-45.

Дата поступления в редакцию 25.01.2011

M.E. Eliseev, E.M. Eliseev

ON THE SOME COLLINIATIONS OF THE FINITE PROJECTIVE PLANES

In this paper method of some colliniations finding for the finite projective plane is described. The subgroup of the group colliniations for new finite projective plane of the order 9 (J-plane) is represented.

Key words: finite projective plane, colliniation, latin square.