Конечные регулярные гиперболические плоскости и нильпотентные группы с 8 образующими Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 2, С. 15-25

УДК 519.1

КОНЕЧНЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПЛОСКОСТИ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ С 8 ОБРАЗУЮЩИМИ

А. И. Долгарев

Регулярные конечные гиперболические плоскости получены с использованием нильпотентных групп ступени 2 простого периода, удовлетворяющие дополнительным условиям. Группе в виде таблицы связей сопоставлен латинский квадрат, который позволяет в тривиальную регулярную гиперболическую (2, 5}-плоскость У(7) ввести отношение эквивалентности на множестве ее прямых (выделить параллельные прямые). Тривиальная плоскость У(7) моделируется 7-угольником, его вершины есть точки плоскости, стороны и диагонали — прямые плоскости; прямая есть множество двух точек; для каждой пары (Р, I), Р £ I, через точку Р проходит две прямые, пересекающие прямую I и 5 прямых, не пересекающих I, см. [1, с. 45, 46]. Затем используется процесс проективизации плоскости, аналогичный получению проективной плоскости из аффинной. Построены четыре неизоморфные (3, 4}-плоскости. Число неизоморфных (3, 4}-плоскостей не меньше числа неизоморфных нильпотентных групп ступени 2 простого периода с 8 образующими элементами. Неизоморфные (3, 4}-плоскости получены впервые. Для некоторых точек и прямых рассматриваемых плоскостей выполняется конфигурация Дезарга, но в общем плоскости недезарговы. Перспективные отображения плоскости не являются ее коллинеациями.

Результаты работы сообщены на XIV международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» в 2005 году, [2]. Нильпотентные группы ступени 2 простого периода с 8 образующими описаны в [3].

Ключевые слова: неизоморфные конечные регулярные гиперболические плоскости, недезарговы плоскости.

1. Нильпотентные группы ступени 2 простого периода р с 8 образующими и коммутантом с 7 образующими

Рассматриваются только конечные нильпотентные группы О простого периода р ступени 2. Если д € О, то др = е, где е — единичный элемент группы. Коммутант С (О) группы О совпадает с ее центром 2(О) и подгруппой Фраттини (подгруппа Фраттини состоит из необразующих элементов группы). Если С (О) является циклической группой, т. е. С (О) = (с) (С (О) порождается элементом с), то группа О обладает следующими свойствами.

(1) Группа имеет четное число образующих элементов. Обозначим образующие элементы а1 , а2,..., ат; т — четное число.

(2) Образующие можно подобрать так, что их коммутаторы имеют значения: [а1, а2], [а3, а4[ат-1, ат] = с, остальные [а*, аj] = е, г, ] = 1,..., 8.

Доказательство этого утверждения содержится в [3]. Если коммутант С (О) группы О имеет несколько образующих элементов С1,С2,..., с, то, рассматривая фактор-группу О/Cj, где Cj = (с1, с2,..., Cj+1, С1) (подгруппа Cj порождается всеми элементами с*,

© 2011 Долгарев А. И.

г = 1, 2,... ,1, кроме е* = ), получаем, что ее образующие а*С^ обладают указанным

свойством (2).

Теперь рассматриваем группу Ж® с 8 образующими а1,а2 ,...,ат, С (Ж®) = 2 (Ж®) коммутант С(Ж®) порождается 7 элементами. Коммутаторы [а*,а^-] образующих группы можно распределить по циклическим подгруппам (е&) коммутанта по четыре в каждой подгруппе, см. таблицу 1. В таблице 1 вместо [а*,а^] выписаны только индексы [г,^]; наборы неупорядоченных пар индексов [г, ^] для [а*,а^] из одной подгруппы (е&) называются к-связями в группе. Таблица 1 есть один из примеров набора к-связей в группе N®.

Таблица 1 Таблица 2

1-связь [1,2] [3,4] [5,6] [7,8] 1 2 3 4 5 6 7 8

2-связь [1,3] [2,8] [4,5] [6,7] 1 1 2 3 4 5 6 7

3-связь [1,4] [2,7] [3,5] [6,8] 2 1 3 2 6 4 7 5

4-связь [1,5] [2,6] [3,8] [4,7] 3 2 3 1 5 7 4 6

5-связь [1,6] [2,5] [3,7] [4,8] 4 3 2 1 7 6 5 4

6-связь [1,7] [2,3] [4,6] [5,8] 5 4 6 5 7 1 2 3

7-связь [1,8] [2,4] [3,6] [5,7] 6 5 4 7 6 1 3 2

7 6 7 4 5 2 3 1

8 7 5 6 4 3 2 1

Образующие группы N и коммутанта С (Ж®) можно подобрать так, что индексы элементов ей, к = 1, 2,... ,1, составляют таблицу 2, строки и столбцы которой занумерованы индексами элементов а*, г = 1,..., 8, индекс к находится на пересечении г-ой строки и ^-го столбца, если [а*,а^] = е&.

Существование групп с такими свойствами образующих элементов доказано в [3, п. 1.5, теорема 1].

Указанная таблица называется таблицей связей группы. Таблица связей группы обладает следующими свойствами.

1. Диагональ таблицы связей пуста.

2. Таблица симметрична относительно диагонали.

3. Каждый номер связи в таблице встречается 8 раз; 4 раза над диагональю.

4. В каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый номер связи встречается по одному разу. Таблица связей группы есть латинский квадрат 8 х 8, клетки латинского квадрата заполнены номерами 1-7, или не заполнены ничем.

Одна группа Ж® может иметь несколько таблиц связей; их можно получить, перенумеровывая связи и образующие или рассматривая различные системы образующих группы. Одинаковым таблицам связей соответствуют изоморфные группы.

Таблица 3 Таблица 4

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7

2 1 3 2 5 4 7 6 2 1 3 2 7 4 5 6

3 2 3 1 6 7 4 5 3 2 3 1 5 6 7 4

4 3 2 1 7 6 5 4 4 3 2 1 6 7 4 5

5 4 5 6 7 1 2 3 5 4 7 5 6 1 2 3

6 5 4 7 6 1 3 2 6 5 4 6 7 1 3 2

7 6 7 4 5 2 3 1 7 6 5 7 4 2 3 1

8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 4 5 3 2 1

Пусть даны две таблицы связей размерами 8 х 8. Перенумеровываем образующие элементы группы и связи всевозможным образом в каждой из таблиц связей. Если в результате получатся одинаковые таблицы связей, то даны таблицы связей изоморфных групп. Если не получится одинаковых таблиц связей, то данные таблицы связей задают неизоморфные группы.

В [3] установлено, что существует не менее четырех видов попарно неизоморфных групп N [3, п. 2.3, теорема 1]. Их таблицы связей в дополнение к таблице 2 есть таблицы 3-8.

Таблица 5

1 2 3 4 5 6 7 ОС

1 1 2 3 4 5 6 7

2 1 3 2 6 7 4 5

3 2 3 1 7 6 5 4

4 3 2 1 5 4 7 6

5 4 6 7 5 1 2 3

6 5 7 6 4 1 3 2

7 6 4 5 7 2 3 1

8 7 5 4 6 3 2 1

Таблицу 6 из [3] здесь мы записали как таблицу 5. Число 8 является наименьшим четным, таким, что существуют неизоморфные группы N1^.

2. Регулярные конечные гиперболические плоскости

Конечная плоскость содержит конечное количество точек и конечное количество прямых. Всякая прямая содержит не менее двух точек и через всякие две различные точки проходит единственная прямая. Существуют разные виды конечных плоскостей: аффинные, проективные и др. (см., например, [1]). Для каждого вида конечных плоскостей интересно получить неизоморфные плоскости с одинаковыми числовыми характеристиками. В [1, с. 45-49] определены и регулярные гиперболические плоскости. Пусть Р — точка, I — прямая регулярной гиперболической плоскости. Для всякой пары [Р, I] в плоскости существует т прямых, проходящих через точку Р и пересекающих прямую I, и п прямых, проходящих через Р и не пересекающих I. Прямая содержит т точек. Такая плоскость называется регулярной гиперболической или (т,п)-плоскостью. Модель У(к) тривиальной гиперболической плоскости дает к-угольник. Вершины к-угольника есть точки, стороны и диагонали — прямые. Прямая понимается как множество двух точек. Это (2, к — 3)-плоскость, она считается неинтересной. Мы рассмотрим еУ(к)-плоскость — это У(к)-плоскость с дополнительным условием:

(е) на множестве прямых V(к)-плоскости задано отношение эквивалентности: для каждой прямой указаны все параллельные ей прямые.

Из всех прямых, не пересекающих данную прямую и проходящих через данную вне прямой точку, отношение (е) выделяет одну прямую, параллельную данной; остальные прямые сверхпараллельны данной прямой. Конечные гиперболические плоскости с таким взаимным расположением прямых рассмотрены и в [5, 6].

Ниже мы сначала построим еV(8)-плоскости по таблицам связей групп N8, а затем, используя процесс проективизации, из этих плоскостей и минимальной конечной проективной плоскости, т. е. плоскости Фано, построим (3,4)-плоскости. Мы впервые получили неизоморфные плоскости с заданными т и п.

3. Плоскости еV(8)

Рассматриваем конечную плоскость X, точки которой обозначены Р\,Р^, ...,Р% и прямые \\,\2,..., ^28. Известно, какие точки каким прямым принадлежат, под прямыми можно понимать множества точек. Для плоскости составляется таблица инцидентности. Точки плоскости X есть столбцы таблицы инцидентности, прямые — строки. Если Pj Е 1%, то в клетке пересечения 2-ой строки и у-го столбца ставится значок *. Если Pj Е 1%, то в клетке (2,у) значок отсутствует.

Таблица 6 Таблица 7

* *

* *

* *

* *

**

* *

** * *

** * *

** ** ** ** "* * ** ** **

"* * ** ** ** ** **

* *

* *

* *

* *

* *

**

* *

**

* *

** * *

** * *

** ** ** ** "* * ** ** **

"* * ** **

**

**

**

* *

* *

* *

Каждому образующему элементу aj группы N поставим в соответствие точку Pj плоскости еV(8), коммутатору [а%, aj] = Cs = е поставим в соответствие прямую 1з, номер прямой определяется номерами 2, у, а не номером образующего коммутанта.

Таким образом, прямая 1_8 есть множество двух точек Р%, Pj; ls = PiPj. Прямые Р%Pj и РгРг параллельны, если коммутаторы образующих [а%,аj], [аг,а±] лежат в одной циклической (ск). Составим таблицу инцидентности еV(8)-плоскости по таблице связей 2 группы N. 1-связи соответствуют прямые 11 = Р\ Р2, 12 = Рз Р4, 1з = Р5 Рб, 14 = Р7 Р8. Это прямые одного пучка параллельных прямых. В строке 11 таблицы инцидентности ставим значок * в первом и втором столбцах; в строке 12 ставим значок * в третьем

и четвертом столбцах; в строке 1з — в пятом и шестом столбцах; в 14 — в седьмом и восьмом столбцах, см. таблицу 6. Блок первых четырех строк в таблице выделен. Также проставляем знаки * в строках 15-18, используя клетки таблицы связей группы, где записано число 2, соответствующее 2-связи и т. д.

Таблица 8 Таблица 9

* *

* *

**

* *

**

* *

** * *

** * *

**

**

**

**

**

**

**

**

**

**

**

**

* *

* *

* *

**

* *

**

* *

** * *

** * *

**

**

**

**

**

**

**

**

**

**

**

**

* *

Таблицы 7-9 инцидентности еV(8)-плоскостей составлены по таблицам связей 3-5 соответственно. Эти таблицы содержат по 7 блоков по 4 строки в каждом блоке и по 8 столбцов.

4. Таблицы инцидентности (3,4)-плоскостей

Минимальная плоскость Фано имеет таблицу инцидентности

Таблица 10

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

По таблицам 6-9 составим таблицы инцидентности (3,4)-плоскостей. Каждая таблица имеет 28 + 7 = 35 строк и 8 + 7 столбцов, т. е. каждая (3,4)-плоскость содержит 35 прямых и 15 точек.

Таблица 11

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

% % %

* * *

Таблицу 6 разместим в таблице 11 в левом верхнем углу, заняв первые 28 строк и первые 8 столбцов; таблицу 10 разместим в таблице 11 в правом нижнем углу, заняв нижние 7 строк и правые 7 столбцов. Левый нижний угол таблицы оставляем свободным. В первые 4 строки в столбец 9 ставим значок *, затем в 5-8 строки в столбец 10 ставим значок *, и т. д., см. таблицу 11. Получилась таблица инцидентности (3,4)-плоскости, построенная по таблице 6, т. е. по таблице связей 1. Также строим таблицы инцидентности 12-14 (3,4)-плоскостей по таблицам инцидентности 7-9 и 10 еУ(8)-плоскостей, соответствующих таблицам связей 3-5 групп Жр.

Таблица 12

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

% % %

* * *

Таблицу инцидентности плоскости можно изменить, производя перестановки ее строк и столбцов. Такие преобразования таблиц инцидентности 6-9 соответствуют преобразованиям таблиц связей 2-5. Неизоморфные таблицы инцидентности 6-9 соответствуют неизоморфным группам Ж®. Согласно построению таблиц, имеем неизоморфные (3,4)-плоскости, для которых составлены таблицы инцидентности 11-14.

Таблицы 6-9 инцидентности еУ(8)-плоскостей содержат по три первых одинаковых блока. Остальные блоки всех таблиц содержат в первых четырех столбцах одну и ту же подтаблицу — таблицу 15.

Сравниваем вторые части подтаблиц всех 4-7 блоков в таблицах 6-9.

Некоторые блоки одной таблицы встречаются в других таблицах, но все четыре блока нигде не повторяются.

Таблица 13

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

% % %

* * *

Справедливо следующее утверждение

Теорема 1. Попарно неизоморфных (3,4)-плоскостей не меньше, чем соответствующих им неизоморфных групп N^8.

5. Свойства (3,4)-плоскостей

Каждая прямая (3,4)-плоскости содержит 3 точки — в каждой строке встречается три знака *. Через каждую точку проходит по 7 прямых — в каждом столбце таблицы

встречается семь знаков инцидентности. Число всех точек и число всех прямых (ш, и)-плоскости, согласно [1, с. 46], вычисляется соответственно по формулам

ш + и

(т + п)(т — 1) + 1, ------((т + п)(т — 1) + 1)

которые при ш = 3 и и = 4 дают соответственно 15 и 35, что и выполняется в наших плоскостях.

Таблица 14

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

% % %

* * *

Так как на прямой лежит точно по 3 точки, то интересно проверить плоскость на дез-арговость. У нас плоскости гиперболические, поэтому не всякие прямые конфигурации Дезарга пересекаются. Параллельность прямых на (3,4)-плоскостях тоже неопределена. Поэтому плоскости недезарговы. Все-таки, поищем дезарговы конфигурации.

Теорема 2. (3,4)-плоскости содержат дезарговы конфигурации.

< Пусть Р1 центр перспективы, см. таблицу 11. Тройки точек Рб, Р10, Ре и Рд, Р2, Р15 неколлинеарны; прямые, определяемые парами точек Рб и Рд, Рю и Р2, Ре и Р15 проходят через точку Р1. Прямые Р10 Рб и Рд Р2 содержат точку Р7, прямые Р10 Р8 и Р2 Р15 пересекаются в Р5, прямые РвРв и РдР15 — в точке Р12; точки Р7, Р5, Р12 коллинеарны — это ось перспективы треугольников Рб Р10Р8 и Рд Р2 Р15. Перечисленные точки и прямые составляют конфигурацию Дезарга.

На рассматриваемой плоскости имеются также и другие конфигурации Дезарга. >

Таблица 15

*

*

*

С тем же центром перспективы Рі рассмотрим треугольники РбРії Р2 и Р9Р4Р10. Стороны Р6Р11 и РдР4 пересекаются в Р5; стороны Р11Р2 и Р4Р10 — в точке Р3. На стороне Р3Р2 лежит еще точка Р14, на стороне Р9Р10 лежит еще точка Рц; точки Р14 и Р11 не совпадают. На прямой Р5Р3 лежит еще точка Р14. Т. е. точки Р5, Р3, Р14 одной прямой могли бы быть осью перспективы рассматриваемых треугольников, но Рц не лежит на этой прямой. Это пример точек и прямых, не составляющих конфигурации Дезарга.

Теорема 3. На (3,4)-плоскости существуют неколлинеарные точки, которым перспективны коллинеарные точки.

< Пусть на той же плоскости, таблица 11, Р1 центр перспективы. Точки Р2, Рб, Р4 неколлинеарны. Этим точкам перспективны соответственно точки Р10, Рд, Рц. Каждая из точек Р10, Рд, Р11 есть третья точка соответствующей прямой Р1Р2, Р1 Рб, Р1Р4. Но точки Р10, Рд, Р11 лежат на одной прямой, именно на прямой І29, это верхняя прямая подплоскости Фано рассматриваемой (3,4)-плоскости. >

Выполняется более общее утверждение.

Теорема 4. Для любого центра перспективы Р1 — Р8 среди точек Р1 — Р8 имеются неколлинеарные тройки точек, перспективные тройкам точек одной из прямых 129 — І35.

< На той же плоскости таблицы 11 возьмем центр перспективы Р1 и прямую І34, состоящую из точек Рц, Р12, Р13. Они перспективны точкам Р4, Р3, Р5, см. таблицу инцидентности. По таблице 11 легко найти тройки неколлинеарных точек среди Р2 — Ре, перспективных точкам каждой из прямых І29 — І35 с центром Р1. Это верно для любого центра из множества точек Р1 — Р8. >

Теорема 4 верна на любой из рассмотренных (3,4)-плоскостей. Теоремы 3 и 4 означают, что выполняется

Теорема 5. Перспективные соответствия на (3,4)-плоскостях не являются коллине-ациями этих плоскостей.

Известна теорема Глисона [1, с. 276], что всякая плоскость Фано дезаргова. (3,4)-плоскости содержат плоскость Фано в качестве подплоскости. Однако, теорема Глисона на (3,4)-плоскости не распространяется, см. теорему 5, согласно которой не для всякого треугольника на плоскости существует перспективный.

Литература

1. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии.—М.: Наука, 1980.—320 с.

2. Долгарев А. И. Таблицы связей групп простой экспоненты ступени 2 и регулярные гиперболические (3, 4}-плоскости // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докл. XIV Междунар. конф. (Пенза, 23-28 мая 2005 г.).—М.: Изд-во МГУ, 2005.—С. 43.

3. Долгарев А. И. Группы простой экспоненты ступени 2 с 8 образующими и латинские квадраты // Изв. вузов. Математика.—2005.—№ 9.—С. 8-18.

4. Долгарев А. И. Конечные одулярные плоскости и модулярные решетки // Тезисы докл. Междунар. конф. по алгебре памяти А. И. Ширшова (Барнаул, 20-25 авг. 1991 г.).—Новосибирск, 1991.—С. 38.

5. Долгарев А. И. Плоскость группы простой экспоненты // Математика и информатика. Межвузовский сб.—Пенза: ПГПУ, 1996.—С. 3-12.

Статья поступила 17 ноября 2009 г.

Долгарев Артур Иванович Пензенский государственный университет, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования РОССИЯ, 440026, Пенза, ул. Красная, 40 E-mail: [email protected]

FINITE REGULAR HYPERBOLIC PLANES AND NILPOTENT GROUPS WITH 8 GENERATORS

Dolgarew A. I.

Regular finite hyperbolic plane are obtained for nilpotent groups of step 2 and simple period. Four nonisomorphic (3, 4}-plane are constructed. These planes are not Desargues.

Key words: nonisomorphic finite regular hyperbolic plane, not Desargues plane.