О подгруппе коллинеаций полуполевой плоскости, изоморфной A4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.145

О.

подгруппе коллинеации полуполевои плоскости, изоморфной А4

Ольга В. Кравцова*

Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Киренского 26, Красноярск, 660074,

Россия

Виктория О. Прамзина^

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.05.2011, окончательный вариант 25.06.2011, принята к печати 10.07.2011 Доказано, что трансляционное дополнение полуполевой плоскости 'ранга 2 над конечным полем нечетного порядка не содержит подгруппы коллинеаций, изоморфной знакопеременной группе А4.

Ключевые слова: полуполевая плоскость, трансляционное дополнение, бэровская инволюция, гомология.

Среди проективных плоскостей особое место занимает класс плоскостей трансляций и подкласс полуполевых плоскостей, имеющих не только трансляционную прямую, но и трансляционную точку. Полуполевые плоскости, занимающие промежуточную ступень между плоскостями трансляций и классическими, дезарговыми проективными плоскостями, обладают большой группой коллинеаций, строение которой изучено еще недостаточно хорошо.

Вопрос о наличии подгруппы, изоморфной A4, в трансляционном дополнении полуполевой плоскости, неоднократно рассматривался на научном семинаре в Красноярском государственном университете под руководством профессора Н.Д. Подуфалова. В частности, существенное продвижение в исследовании плоскостей нечетного порядка, допускающих большую группу бэровских коллинеаций, было достигнуто И.В. Бусаркиной в работе [1], показавшей, что такие плоскости не допускают A4.

Следует заметить, что несложно указать достаточное количество примеров полуполевых плоскостей четного порядка, допускающих A4. Соответствующий результат приведен автором в докладе [2]. Тем больший интерес вызывают плоскости нечетного порядка. Основным результатом настоящей работы является доказательство отсутствия подгруппы, изоморфной A4, в трансляционном дополнении полуполевой плоскости ранга 2 над конечным полем нечетного порядка.

Пусть п — полуполевая плоскость ранга 2 над полем GF(q), q = pk, где p — нечетное число. Обозначим через W линейное пространство размерности 2 над GF(q):

W = {(xi,x2)|xi,x2 € GF(q)},

тогда аффинные точки плоскости п можно отождествить с элементами 4-мерного векторного пространства

V = W х W = {(x,y)|x,y € W}.

*[email protected] t [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

В качестве аффинных прямых рассматриваются смежные классы аддитивной группы V по подгруппам

{(0, у) 1у е ш}, {(х,хвг)|х е ш}, г е ш, где матрицы вг образуют регулярное множество плоскости (спрэд):

В = {вг |г е ш}.

Регулярное множество полуполевой плоскости содержит нулевую и единичную матрицы, замкнуто по сложению, причем все матрицы, кроме нулевой — невырожденные. Принято использовать также правое, среднее и левое ядра полуполевой плоскости:

Вг

{вг е В|вг ■ вг е В У г е ш},

Вт = {вт е В1вт ■ вг е В У г е ш}, В = {М |вг ■ м = м ■ вг У г е ш}.

Правое и среднее ядра полуполевой плоскости являются подполями в регулярном множестве, а левое ядро либо совпадает с В для дезарговой плоскости, либо состоит только из скалярных матриц для недезарговой полуполевой плоскости.

Полная группа коллинеаций полуполевой плоскости АиЬ п имеет вид АиЬ п = Т X О, где Т — группа трансляций:

Т(хо,уо) : (х,у) ^ (х + хо,у + уо),

а О — трансляционное дополнение, т.е. стабилизатор нулевого вектора в V. Элементы группы О индуцируются полулинейными преобразованиями векторного пространства, подгруппа Оо группы О, состоящая из линейных преобразований, называется линейным трансляционным дополнением.

Известно, что коллинеация порядка 2 произвольной проективной плоскости является либо центральной коллинеацией (элацией или гомологией), либо бэровской инволюцией (см. [3]). Нас интересует подгруппа коллинеаций К = {1, г, у, гу}, где г, у, гу — перестановочные инволюции. Рассмотрим все возможные варианты.

Лемма 1. Пусть п — полуполевая плоскость 'ранга п над полем нечетного порядка. Тогда элементарная абелева подгруппа порядка 4 в трансляционном дополнении п не содержит центральных коллинеаций.

Доказательство. Предположим, что К = {1,г,у,гу} содержит центральные коллинеа-ции. Так как п — плоскость нечетного порядка, то перспективность порядка 2 может быть только гомологией (см. [3]). В трансляционном дополнении полуполевой плоскости содержатся следующие группы гомологий (показано в [4]):

1) группа гомологий с осью [то] и центром (0,0)

5

м0 0м

М е В*

5 - В*;

2) группы гомологий с осью [г, 0] и центром (то)

Нг

Е вг (Е - Б) 0 Б

Б е В*

3) группы гомологий с осью [0] и центром (г)

Ех =

А (А - Е)вг 0Е

А е В!

Нг — В*

Ех — В!

Здесь и далее рассматриваются матрицы размерности п х п, координаты точек и прямых приводятся в соответствии с [3].

Так как регулярное множество плоскости ранга п над полем порядка д = pk состоит из pnk матриц, то правое и левое ядра имеют нечетный порядок ря, поэтому каждая из групп гомологий Иг или ^ содержит единственную инволюцию. То же следует сказать и о группе так как левое ядро либо совпадает с Д, либо состоит из д = рк скалярных матриц. Инволюция в группе 5 задается матрицей вида

—Е 0 0 —Е

поэтому для любой коллинеации 7 порядка 3 в трансляционном дополнении получим у =

7-1«7 = г.

Если г — инволюция в группе Иг и коллинеация 7 переводит точку (г) на прямой [то] в точку (и), то у = 7-1«7 — гомология в группе Ни, но их произведение

Е 2в2 \( Е 2ви \_( Е 2(ви — в2)

гу 1 0 —Е]\ 0 —Е] \ 0 Е

является элацией порядка р с осью [0] и центром (то) (кроме того, гу = у г).

Пусть далее г — инволюция в ^ и (г)7 = (и), тогда у = 7-1«7 £ и произведение

.. = ( —Е —2в2 \( —Е —2ви N = ( Е 2(ви — в2) гу ^ 0 Е ^ ^ 0 Е у ^ 0 Е

также является элацией. □

Таким образом, если в трансляционном дополнении полуполевой плоскости нечетного порядка и содержится группа, изоморфная А4, то она не может содержать центральных коллинеаций. Следует отметить, что проведенные рассуждения не зависят от размерности матриц, результат справедлив для плоскостей произвольного ранга.

Переходим к отысканию перестановочных бэровских инволюций в линейном трансляционном дополнении полуполевой плоскости ранга 2.

Лемма 2. Пусть п — полуполевая плоскость 'ранга 2 над конечным полем нечетного порядка рк. Линейное трансляционное дополнение п не содержит подгруппы {1,г,у, гу} X (7), где г,у, гу — бэровские инволюции, |7| = 3.

Доказательство. Если плоскость п содержит бэровскую подплоскость, то порядок плоскости п является квадратом, д = рк = р2к . Выберем базис пространства V так, чтобы бэровская инволюция г оставляла на месте прямую у = ж, тогда

. ( £ 0

г = ^ 0 £

Так как ^(ж) = ж2 — 1 — минимальный многочлен матрицы то в жордановом базисе пространства Ш матрица Ь записывается в виде

Ь =1 1 0 £ = 1 0 —1

Рассмотрим элемент порядка 3 в линейном трансляционном дополнении:

7 =( А в ), А3 = Е, В3 = Е, АБ + Б В = —А-1 БВ-1.

Найдем инволюцию 3 = 7 1г^ и запишем условие перестановочности г с 3:

г3 =

3г

Л2ЬЛ Л2ЬБ + (ЛБ + БВ)ЬВ 0 В2ЬВ

ЬЛ2ЬЛ ЬЛ2ЬВ + Ь(ЛБ + БВ)ЬВ

0

ЬВ2ЬВ

Л2ЬЛЬ Л2ЬВЬ +(ЛБ + БВ)ЬВЬ 0 В2ЬВЬ

ЬЛ2ЬЛ = Л2ЬЛЬ, ЬВ2ЬВ = В2ЬВЬ,

ЬЛ2ЬБ + Ь(ЛБ + БВ)ЬВ = Л2ЬБЬ + (ЛБ + БВ)ЬВЬ. Рассмотрим внимательнее первое из полученных условий.

Если Л

«11 «12 «21 «22

то

Л2 = Л-

1 { «22 -«12 det Л \ -«21 «11

ЬЛ*ЬЛ = Л*ЬЛЬ,

1

det Л

«22 -«12 «21 -«11

«11

«12

-«21 -«22

«22

«12

-«21 -«11

Л*

«11 -«12 «21 -«22

«22«12 = 0, «11«21 = 0.

Отсюда либо Л =

«11 0 0 «22

как Л3 = Е. Таким образом, Л и В - диагональные матрицы, поэтому ЬЛ = ЛЬ, ЬВ = ВЬ,

либо Л = ( «0 «02 ). Второй случай невозможен, так

ЬЛ2ЬБ + Ь(ЛБ + БВ)ЬВ = Л2Б + Ь(-Л2БВ2)ЬВ = Л2Б - Л2ЬБЬ,

Л2ЬБЬ + (ЛБ + БВ)ЬВЬ = Л2ЬБЬ - Л2БВ2ЬВЬ = Л2ЬБЬ - Л2Б, Л2Б - Л2ЬБЬ = Л2ЬБЬ - Л2Б, Л2Б - Л2ЬБЬ = 0, Б = ЬБЬ.

Тогда

Л2ЬЛ Л2ЬБ - Л2БВ2ЬВ

0

В2ЬВ

Ь0 0Ь

Полученный результат завершает доказательство теоремы. Теорема 1. Если п — полуполевая плоскость 'ранга 2 над конечным полем нечетного порядка рк, то линейное трансляционное дополнение плоскости п не содержит подгруппы, изоморфной знакопеременной группе Л4.

Докажем далее более сильный результат: подгруппы, изоморфной Л4, не содержится и в трансляционном дополнении. Для этого потребуется рассмотреть не только линейные, но и полулинейные отображения в качестве коллинеаций г и 7.

Лемма 3. Пусть п — полуполевая плоскость ранга 2 над конечным полем нечетного порядка рк. Если трансляционное дополнение п содержит подгруппу коллинеаций, изоморфную Л4, то в этой подгруппе нет линейных бэровских инволюций.

3

1

3

г.

Доказательство. Для доказательства достаточно рассмотреть нелинейную коллинеа-цию 7 порядка 3. Пусть действие 7 на аффинных точках плоскости задается правилом:

7 : (ж, у) — (жа,уа)

А В

0 Б

где отображение а на векторах пространства Ш индуцировано автоморфизмом поля Р:

Ха = (ж! ,ж2)а = (жр , Жр ).

Далее для удобства обозначения будем использовать а как поэлементное действие автоморфизма поля на элементы как векторов, так и матриц:

А°

ац а12 «21 а22

11

12

Тогда

7 : (ж,у)

(жа,уа)

АВ 0 Б

АВ 0 Б

а21 а22

„2 „2,1 Аа Ва

73 : (ж, у) - (жа3 ,уа3 И А0"2 Ва2

(жа )

Аа Ва 0 Ба

0 Бс

АВ 0 Б

АВ 0 Б

Так как |71 = 3, то а3 = 1 (тождественный автоморфизм), |Р| = рп = р3т,

2 2 2 2 2 Аа АаА = Е, Ба БаБ = Е, Аа АаВ + Аа ВаБ + Ва БаБ = 0.

Как в лемме 2, запишем бэровскую инволюцию в виде

Ь 0 0 Ь

Ь

10 0 -1

Найдем инволюцию . = 7 1 ¿7 = 72«7:

.7 : (x, У)

(жа ,уа )

Аа Ва

АВ 0Б

Ь0 0Ь

АВ 0Б

(ж,У)

М N 0 Р

0 Ба

где М = АаАаЬА = А-1ЬА, Р = Ба БаЬБ = Б-1ЬБ,

22 N = А ЬВ + Аа ВаЬБ + Ва БаЬБ.

Так как инволюции г и . перестановочны, то МЬ = ЬМ, РЬ = ЬР, NL = LN. Из первых двух условий, как и в доказательстве леммы 2, получаем, что матрицы А и Б — диагональные, тогда

' Ь N

М = А-1ЬА = Ь, Р = Б-1ЬБ = Ь, Найдем третью инволюцию группы А4:

. =

Ь0 0Ь

Ь N 0Ь

.

Е ЬN 0 Е

0Ь

Так как коллинеация г. не должна быть тождественной, то LN = 0, тогда коллинеация г. является элацией, что невозможно. □

а

рт рт

а.

—V

а.

Лемма 4. Пусть п — полуполевая плоскость ранга 2 над конечным полем нечетного порядка рк. Если трансляционное дополнение п содержит подгруппу коллинеаций, изоморфную А4, то в этой подгруппе нет полулинейных бэровских инволюций.

Доказательство. Пусть г — полулинейная бэровская инволюция. Выберем в качестве базисных элементов пространства V аффинные точки плоскости, фиксируемые инволюцией г. Тогда действие г на всех аффинных точках определяется правилом:

г : (ж, у) — (ж*, у*),

где ^ - отображение, индуцированное автоморфизмом поля ^,

Ж* — (Л „Р \ — (ж^ , Ж2 ),

|у| — 2, | — рк — р2я. Рассмотрим далее два случая:

1) 7 — линейная коллинеация порядка 3,

2) 7 — нелинейная коллинеация порядка 3. В первом случае определим 7 правилом

7 : (ж,у) — (ж,у^ А В )

тогда инволюция 3 — 7 «7 является нелинейной

3 : (ж У)

(ж,У)

А В О В

-1'

АВ ОВ

(ж*,у*)

А' В' О В'

и произведение инволюций ¿3 - линейное преобразование,

¿3 : (ж, у) — [(ж*,у*)]*

А' В' О В'

— (ж, у)

А' В' О В'

Как доказано в лемме 3, подгруппа, изоморфная А4, не может содержать линейных инволюций, получили противоречие.

Во втором случае запишем 7, как и в лемме 3:

7 : (ж, у) — (жа,уа)

АВ ОВ

(ж1 ,ж2 )-

В этом случае предполагается, что порядок поля ^ равен | — рк — р — р . Тогда инволюция 3 — 7-1«7 — нелинейная,

3 : (ж, у)

(жа ,уа )

Аа Ва О Ва

АВ ОВ

АВ ОВ

—(ж*,у*)

а произведение г3 - линейная бэровская инволюция,

г3 : (ж, у)

(ж*,у*)

А'' В'' ОВ

— (ж, у)

(А'')* (В'')*

О

(В )

А В ОВ

Таким образом, этот случай также невозможен (лемма 3), доказательство завершено. □ Леммы 3 и 4 позволяют обобщить теорему 1 и сформулировать аналогичный результат для трансляционного дополнения.

Теорема 2. Если п — полуполевая плоскость ранга 2 над конечным полем нечетного порядка рк, то трансляционное дополнение плоскости п не содержит подгруппы, изоморфной знакопеременной группе А4.

—►

а

ж

а

—-

—-

Следует отметить, что при рассмотрении полуполевых плоскостей ранга более 2 мы сталкиваемся с существенными трудностями: нет возможности перейти к расчетам только для диагональных матриц A и D. Эта ситуация требует значительно более серьезного и тщательного изучения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-00509-а)

Список литературы

[1] И.В.Бусаркина, О р-примитивных полуполевых плоскостях, Вестник КГТУ, Вып. 23, Математические методы и модели, (Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2001), 6-10.

[2] О.В.Кравцова, О некоторых трансляционных плоскостях, допускающих A4, III Всеси-бирский Конгресс женщин-математиков (в честь рождения С.В.Ковалевской), Тезисы докладов конгресса, 2004, 38.

[3] D.R.Hughes, F.C.Piper, Projective planes, Springer-Verlag, New-York, 1973.

[4] Н.Д.Подуфалов, Б.К.Дураков, О.В.Кравцова, Е.Б.Дураков, О полуполевых плоскостях порядка 162, Сиб. мат. журн., 37(1996), № 3, 616-623.

On Collineation Subgroup of Semifield Plane That Isomorphic to A4

Olga V. Kravtsova Victoria O. Pramzina

It is proved that the translation complement of any semifield plane of rank 2 over finite field of odd order does not contain a collineaton subgroup isomorphic to A4.

Keywords: semifield plane, translation complement, Baer involution, homolody.