CC BY
37
Серия «Математика»
2014. Т. 7. С. 141—159
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 512.554
Квазиполя и проективные плоскости трансляций малых четных порядков *
П. К. Штуккерт
Сибирский федеральный университет
Аннотация. Построения различных классов конечных недезарговых плоскостей трансляций и квазиполей тесно связаны и с середины прошлого века систематически опираются на компьютерные вычисления. Мы находим структурное описание полуполей порядка 32 и квазиполей порядка 16, соответствующих плоскостей трансляций.
Известно, что проективные плоскости трансляций любого примарного порядка рп с простым р удается построить, координатизируя их линейным пространством Ш размерности п над простым полем из р элементов и характеризуя регулярным множеством, позволяющим снабдить Ш структурой квазиполя (возможно наперед заданным). Плоскость называют полуполевой, если Ш — полуполе; в случае поля Ш плоскость дезаргова. Изоморфность полуполевых плоскостей равносильна изотопности их полуполей.
Строение квазиполей порядка рп, в отличие от конечных полей, изучено мало даже при небольших простых или близких к простым п. Клейнфилд в 1960 году классифицировал, с точностью до изоморфизмов, квазиполя с ядром порядка 4 и все полуполя порядка 16. Классификацию всех плоскостей трансляций порядка 16 и 32 позднее завершили Демпволф и др. С помощью регулярных множеств недезарговых плоскостей удается построить 5 полуполей порядка 32 и 7 квазиполей порядка 16, исчерпывающих, с точностью до изотопизмов, все полуполя порядка 32 и, соответственно, квазиполя порядка 16. Основные результаты статьи перечисляют для них в случае полуполей (в случае квазиполей частично) ядра и все подполя, а также введенные порядки элементов и спектры соответствующих луп.
Ключевые слова: плоскость трансляций, регулярное множество, квазиполе, Полуполе, порядок элемента лупы.
Проективная плоскость характеризуется как множество точек с определенными подмножествами, называемыми прямыми [4]. Конечные
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 12-01-00968.
1. Введение
плоскости порядка п существуют не для любого натурального числа п > 2, в частности, их нет при п = 6 (Г. Тарри, 1900 г.). Плоскости любых примарных порядков, т. е. с единственным простым делителем, получают как плоскости трансляций, координатизируемые конечно-мерным линейным пространством Ш. Плоскость трансляций характеризуют регулярным множеством, позволяющим снабдить Ш структурой квазиполя. Если квазиполе есть кольцо, его называют полуполем, а плоскость — полуполевой; когда Ш — поле, плоскость дезаргова. Изо-морфность полуполевых плоскостей равносильна изотопности их полуполей [3; 11; 13; 15; 17].
Наименьшие четные порядки недезарговых полуполевых плоскостей и плоскостей трансляций, в силу [19] и [12], равны 16. Для нечетных порядков они даже не совпадают [10]. С использованием латинских прямоугольников Клейнфилд [12] классифицировал квазиполя с ядром порядка 4 и все полуполя порядка 16. Полностью классификация недезарговых плоскостей трансляций завершена для порядка 16 в работах [8; 9; 14], а для порядка 32 - в работах [18] (случай полуполей) и [9].
Мы исследуем вопросы структурного описания конечных квазиполей малых четных порядков 16 и 32, прежде всего, описание подполей, ядер и порядков элементов. Структурное описание всех (с точностью до изоморфизма) полуполей порядка 16 изучалось в [5].
Предварительные сведения о плоскостях трансляций и квазиполях приводятся в § 1. В § 2 изучается структурное описание квазиполей, соответствующих каждой недезарговой плоскости трансляций порядка 16; основной здесь является теорема 2.
Теоремы 4 и 5 в § 3 устанавливают структурное описание полуполей, соответствующих каждой полуполевой плоскости порядка 32.
Автор очень благодарна научному руководителю профессору Владимиру Михайловичу Левчуку за постановку задачи и внимание к работе.
2. Плоскость трансляций и ее квазиполе
Согласно [4, § 20.1], проективная плоскость п — это множество точек с определенными подмножествами, называемыми прямыми, и удовлетворяющими следующим аксиомам:
1) две различные точки лежат на одной и только одной прямой;
2) две различные прямые пересекаются в единственной точке;
3) существуют четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Определение 1. Проективные плоскости п\ и п2 называют изоморфными, если существует изоморфизм п\ на п2, т. е. биективное отображение, сохраняющее инцидентность, точек и прямых плоскости п\, соответственно, в точки и прямые плоскости п2.
Проективную плоскость называют конечной, если хотя бы на одной (равносильно, любой) ее прямой число п + 1 точек конечно; число п называют порядком плоскости. Свойства порядка см. [4, Теорема 20.1.1].
Построение проективных плоскостей трансляций связано с выбором п-мерного линейного пространства W над полем Г в качестве координа-тизирующего множества. Векторы внешней прямой суммы V = W ® W двух копий пространства W представляются в виде
(х,у) е V, х = (хг,х2,...,хп), у = (у1,У2,-;Уп) е W.
Напомним, что расщепление аддитивной группы — это набор ее подгрупп (компоненты расщепления) с попарно нулевыми пересечениями, дающих в теоретико-множественном объединении всю группу.
Далее используем расщепление ц аддитивной группы (V, +) такое, что V = М ® N для любых различных М, N е ц; тогда компоненты есть п-мерные подпространства. К этому случаю приводят множества
V(ж) = (0^), V(0) = , 0), V(а) = {(у,уа) | V е W)}(а е СЬ^)).
Проективную плоскость трансляций ц^) получают из V, считая точками 1-мерные подпространства из V, а прямыми — компоненты из ц и всевозможные смежные классы по ним; по определению, смежные классы по одной и той же подгруппе пересекаются в одной и той же точке (ж), называемой особой точкой, а множество всех особых точек считаем особой прямой [ж] проективной плоскости [7; 11; 15].
Регулярное множество плоскости п — это множество К = в(^) с нулевой матрицей О и с единичной матрицей для аддитивного отображения в пространства W в кольцо М(п, Е) всех п х п-матриц над Г такого, что в СЬ(п, Е) лежат множество К \ {О} и в(и) — в(у) при и^ е W, и = V. Ранг п — это размерность W. Умножение на W вводим, полагая
X о у := х ■ в (у) (х,у е W). (2.1)
Напомним, что множество Ь с бинарной операцией о называют лупой, если в (Ь, о) существует нейтральный элемент (нуль 0 в аддитивной терминологии) и уравнения а о х = Ь и х о а = Ь однозначно разрешимы при любых а,Ь е Ь. В частности, группа — это ассоциативная лупа.
Определение 2. Конечное множество Q с бинарными операциями сложения + и умножения о называют левым квазиполем, если: 1) ^, +) _ абелева группа; 2) ^ \ {0}, о) - лупа; 3) 0 о х = 0 (х е Q);
4) выполняется левый дистрибутивный закон
х о (у + г) = х о у + х о г (х,у,г е Q).
Замечание 1. Хьюгес [11] называет (Q, +, о) с произвольным Q, не обязательно конечным, и условиями 1)—4) слабым квазиполем (weak quasifield), а квазиполем — при дополнительном условии: уравнение a о x = b о x + c однозначно разрешимо при a,b,c € Q, a = b.
По [11, Теорема 7.3], конечное слабое квазиполе есть квазиполе. Конечное правое квазиполе определяется аналогично с соответствующими изменениями свойств 3) и 4) (Люнебург [15] под «квазиполем» понимает «правое квазиполе»). Далее, как и Хьюгес [11], говорим «квазиполе» вместо «левое квазиполе», если не оговорено противное.
Отметим, что квазиполе с двусторонней дистрибутивностью называют полуполем; в терминологии А.Г. Куроша [1, II.6.1] - это квазитело.
Плоскость п называют плоскостью трансляций, если (W, +, о) есть квазиполе, и называют полуполевой плоскостью, когда (W, +, о) есть полуполе [3; 11; 15]. Известна
Лемма 1. Плоскость трансляций является дезарговой тогда и только тогда, когда соответствующее ей квазиполе есть поле. □
Взаимосвязь между классами изоморфных проективных плоскостей и классами изотопных конечных полуполей выявил Алберт [6].
Теорема 1. Две полуполевые плоскости изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие им полуполя изотопны. □
Для произвольного квазиполя Q с единицей е несложно доказывается следующая лемма, где
ke = е + е + ... + е , (—к)е = —ке при к е Z, к > 0, Ое = 0. к раз
Лемма 2. Отображение х ■ к ^ ке (к € Z) есть гомоморфизм кольца Z целых чисел в квазиполе Q, причем либо x(Z) — Zp для некоторого простого числа p, либо x(Z) — Z. □
По определению [11], правое ядро или ядро квазиполя Q — это
Nr (Q) = {к € Q | x о (у о к) = (x о у) о к, (x+у)ок = x ок+y ок (x,y € Q)}.
Аналогично вводят левое ядро. Ядро всякого квазиполя есть тело; конечное квазиполе всегда является правым векторным пространством над своим ядром [11, Теорема 7.2]. В частности, справедлива
Лемма 3. Ядро конечного квазиполя Q изоморфно полю GF(q) для подходящего q. Если n — размерность Q над ядром, то IQI = qn. □
3. Квазиполя порядка 16
Недезарговы полуполевые плоскости порядка 16 классифицировал в 1960 году Клейнфилд [12], описав изотопные классы их полуполей; всего таких классов 2. Характеризуя таблицу Кэли лупы W* некоторых квазиполей W латинскими прямоугольниками (см. также [2]), он доказал, что число неизоморфных полуполей порядка 16 равно 24.
Явно формулы умножения двух полуполей из [12] - представителей изотопных классов, выписал Кнут [13]. Структурное описание всех неизоморфных полуполей порядка 16 изучалось в [5]: для каждого полуполя W перечислены его подполя, найдены таблица Кэли и спектр лупы W *.
Определение 3. Порядком элемента х в лупе называем наименьшее целое число п > 1 (обозначаем 1х1) такое, что хотя бы одно произведение длины п элемента х равно е; в остальных случаях 1х1 = ж. Спектром лупы назовем множество порядков всех ее элементов.
Далее используем обозначение дк для к-й степени (к > 1) элемента д квазиполя с правильной, правонормированной, расстановкой скобок.
Недезарговы плоскости трансляций порядка 16 классифицировали Демпволф и Рейфхат [8], [9]; с точностью до изоморфизмов, их оказалось всего 7, включая две полуполевые плоскости.
Мы исследуем в этом параграфе квазиполя, соответствующие плоскостям трансляций порядка 16 из [9].
Выбирая координатизирующее множество как 4-мерное пространство W над 22, регулярные множества плоскостей трансляций обозначаем через Кг, 1 < г < 8, соответственно нумерации из [9]. В частности,
К1 = {О, Е,
/0
1 1
V1 / 1
0 1\ 0 0
1 0 11
1 1\
0 0 0 1 0 10 1 \ 1 0 0 0 у
{ 0 0 0 1 \ 0 110 110 1 У 0 1 0 0 /
/0 1 1 0\ 1110 10 0 1
V 0 0 1 0 )
/1 1 0 0 \ 10 0 1 0 0 0 1
VI 1 1
/0 0 0 0 1 0
V1 1
( 0 1 0 1 0 1
V1 0 /1 1 0 0 1 1
V0 1
0 1 0
ч
1 1 \ 0 1 0 0
10 \ 0 1\ 1 0 0 0 1 ч
/0 0 1 1 0 1
V1 0
(1 1
1 0
1 1
1 1
1 1
1 1
0 0 1 \ 0 1 0 1 1 1
111 \ 1 1 0\ 0 0 0 0 1 1 0 0 1/
/0 1 0 0\ 1111 0 0 11 \ 0 1 0 1 у
I 1 0 1 0 \ 0 111 10 0 0 У 1 1 0 0 )
/1111 \ 10 11 0 110 \ 0 0 1 1 У
Через Qi обозначаем квазиполя, соответствующие плоскостям трансляций с регулярными множествами Кг.
Структурное описание квазиполя Ql устанавливает
Теорема 2. Квазиполе ( имеет единственное максимальное подполе
Н = {0,е, (0, 0,1, 0), (1, 0,1, 0)},
являющееся ядром. Каждый элемент из ( \ Н имеет порядок 5 и порождает лупу (1.
Доказательство. Таблицу Кэли лупы (1 строим по правилу (2.1); умножение на единичный элемент в ней опускаем.
Таблица 1
Таблица Кэли лупы (1
(0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1) (0,1,1,0) (0,1,1,1)
(0,0,0,1) (0,1,0,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (0,0,1,0) (1,0,1,0)
(0,0,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,0) (0,1,1,1) (0,0,1,1) (1,1,1,0) (1,0,0,1) (0,1,0,0)
(0,0,1,1) (1,0,0,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0) (0,1,1,0) (0,0,0,1) (1,0,1,1) (1,1,1,0)
(0,1,0,0) (0,1,1,0) (0,0,1,1) (1,1,0,1) (1,1,1,1) (1,1,0,0) (1,1,1,0) (0,1,0,1)
(0,1,0,1) (0,0,1,0) (1,1,1,0) (0,1,1,0) (1,0,1,0) (0,0,1,1) (1,1,0,0) (1,1,1,1)
(0,1,1,0) (1,0,1,1) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,1,0,0) (0,0,1,0) (0,1,1,1) (0,0,0,1)
(0,1,1,1) (1,1,1,1) (0,1,0,0) (0,0,0,1) (1,0,0,1) (1,1,0,1) (0,1,0,1) (1,0,1,1)
(1,0,0,1) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (1,0,0,0) (0,0,0,1) (1,0,1,0) (0,1,0,0) (1,1,0,1)
(1,0,1,0) (1,1,0,0) (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,1,1,1) (1,0,1,1) (1,1,1,1) (0,0,1,1)
(1,0,1,1) (1,0,0,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (1,1,0,1) (1,0,0,1)
(1,1,0,0) (0,1,1,1) (0,0,0,1) (1,1,1,0) (1,0,1,1) (1,0,0,1) (1,0,0,0) (0,0,1,0)
(1,1,0,1) (0,0,1,1) (1,1,0,0) (0,1,0,1) (1,1,1,0) (0,1,1,0) (1,0,1,0) (1,0,0,0)
(1,1,1,0) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,0,0,1) (1,0,0,0) (0,1,1,1) (0,0,0,1) (0,1,1,0)
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (0,1,1,0) (0,0,1,0) (1,1,0,1) (1,0,0,0) (0,0,1,1) (1,1,0,0)
(1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,0) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1)
(0,0,0,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,0,0) (1,1,1,0) (0,1,1,0) (1,0,0,1) (0,0,1,1)
(0,0,1,0) (1,1,1,1) (1,0,0,0) (0,1,0,1) (0,0,0,1) (1,1,0,0) (1,0,1,1) (0,1,1,0)
(0,0,1,1) (1,0,0,0) (0,1,0,0) (1,1,0,1) (1,1,1,1) (1,0,1,0) (0,0,1,0) (0,1,0,1)
(0,1,0,0) (1,0,1,0) (0,1,1,1) (0,0,0,1) (1,0,0,1) (0,0,1,0) (1,0,0,0) (1,0,1,1)
(0,1,0,1) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,0,1) (0,1,1,1) (0,1,0,0) (0,0,0,1) (1,0,0,0)
(0,1,1,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (0,1,0,0) (1,0,0,0) (1,1,1,0) (0,0,1,1) (1,1,0,1)
(0,1,1,1) (1,1,1,0) (0,0,1,1) (1,1,0,0) (0,1,1,0) (1,0,0,0) (1,0,1,0) (1,1,1,0)
(1,0,0,1) (1,1,1,0) (0,1,1,0) (0,0,1,1) (0,0,1,0) (1,0,1,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0)
(1,0,1,0) (0,1,1,0) (0,0,1,0) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (0,0,0,1) (0,1,0,1) (1,0,0,1)
(1,0,1,1) (0,0,0,1) (1,1,1,0) (0,1,1,0) (0,0,1,1) (0,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,1,0)
(1,1,0,0) (0,0,1,1) (1,1,0,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (0,1,1,0) (0,1,0,0)
(1,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (1,0,1,1) (1,0,0,1) (1,1,1,1) (0,1,1,1)
(1,1,1,0) (1,1,0,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (0,1,0,0) (0,0,1,1) (1,1,0,1) (0,0,1,0)
(1,1,1,1) (1,0,1,1) (1,0,0,1) (0,1,1,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,0,1)
С помощью таблицы Кэли устанавливаем равенство левого и правого обратных элементов к любому элементу лупы . Кроме того, Н есть подполе порядка 4.
Для вычисления порядков элементов заметим, что число различных неассоциативных произведений элемента д длины п, т. е. с различными расстановками скобок, для случаев п = 1, 2, 3, 4, 5 равно соответственно 1,1, 2, 5,14. В частности, все они при п = 1, 2, 3, 4 отличны от е для элемента д = (0,0,0,1), а д5 = е. Более того, аналогично находим, что любой элемент из Ql \ Н имеет порядок 5.
Несложно проверяется также, что квазиполе Ql есть и левое, и правое векторное пространство над подполем Н, так что Н — ядро. □
Аналогичное описание получено для квазиполей Qi, г = 2,3,4, 5. Отметим, что квазиполя Q6 и Q7 являются полуполями и изучались в [5]; Q8 — поле.
Замечание 2. Клейнфилд [12] описал квазиполя порядка 16 и ядром порядка 4, с точностью до изоморфизмов; он показал, что из них всего 70 не являются полуполями. Далее. Как показывает проверка, сложение в регулярных множествах Щ, 1 < г < 5, не замкнуто.
4. Полуполя порядка 32
В этом параграфе нашей целью является перечисление, с точностью до изотопизмов, и структурное описание полуполей порядка 32, на основе известного описания полуполевых плоскостей того же порядка.
Классификацию полуполевых плоскостей порядка 32 в 1962 году анонсировал Волкер [18]. В 2011 году все плоскости трансляций порядка 32 классифицировали Демпволф и Рокенфеллер [9; 16], наряду с описанием регулярных множеств. Число таких плоскостей, с точностью до изоморфизмов, равно 9, включая 6 полуполевых. Координатизиру-ющее множество здесь есть 5-мерное пространство Ш над полем 22. Регулярные множества недезарговых полуполевых плоскостей порядка 32, согласно [9], записываются как множества Щ = ), г = 1, 2,..., 5, состоящие из всевозможных матриц при х,у,г,и1,в € 22, соответственно,
Й1
/ х у X т в \
X х + X у + в т + в т
X + в т х + т у + т X
т X + т т + в х + X у + т
\у + х + т + в X + в у + т + в X + т х + т /
Я?
Я,
Й5
( х у
х + V + в х + г + в х + в х + V \у + х + V
V
х + V + в х + V
х
у + V х + х + V
V + в
V в
у + х
х + в
в
V + в
х
у + х + в
х
х + V х + в х
у у + х + V (
у
х
х + V в х
у + х + V + в х + в х + х + V + в у
\
х
у + х + V х + х + V х + V + в у + х + V + в
V V + в
у + V
в V
х
Яд
х + х + V + в у + х + в х + V х + х + в у
х у х V в \
в х у + в х V
х + V х + V + в х + х у + х х
х + в х + V в х + ву
У у + V + в х у + адад + в х )
х х
х + в х + V + в у у + х + V
у х V в
+ х + V у + V V + в V
V х у + V х + V
х + в в х + х + аду + х + в
V + в у х х + х /
Отметим, что в [9] при каждом г выписываются все 32 матрицы над 2 из Я.
Через Рг обозначаем полуполе Ш с умножением (2.1) при в = вг. С учетом теоремы 1, из [16], [9] вытекает
Теорема 3. Каждое полуполе порядка 32 изотопно точно одному из полуполей Рг, 1 < г < 5, или полю Галуа СГ(32). □
С помощью формулы (2.1) и регулярного множества Яг выписываем таблицу Кэли каждой лупы Р* (с помощью компьютерных вычислений ее построение упрощается); умножение на единичный элемент в ней опускаем. В частности, для лупы Р* таблица Кэли — табл. 2.
Структурное описание полуполей Рг дают следующие две теоремы.
Теорема 4. В полуполе Р5 существует подполе Н порядка 4, являющееся единственным максимальным подполем и не являющееся ни правым, ни левым ядром. Каждый элемент из Р5 \ Н порождает лупу Р* и имеет порядок > 3; спектр лупы Р* совпадает с {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Доказательство. С помощью табл. находим левый и правый обратные элементы к элементам лупы Р5* .
В лупе Р* только у первых пяти элементов в табл. 3 правые и левые обратные элементы совпадают. Поэтому Р5 не имеет подполей порядка больше 4. Ясно, что Н = {0, е, (0, 0, 0,1, 0), (1, 0, 0,1, 0)} - подполе. В то
же время, кубы 4 и 5-го элементов таблицы 3 не равны 1, как показывает табл. 2. Поэтому H — единственное максимальное подполе в Р5.
Таблица Кэли показывает также, что все степени < 3 каждого из элементов (0, 0, 0, 0,1), (0, 0, 0,1,1), (0,1,1,1,1) неединичны, а одна из третьих степеней совпадает с правым или левым обратным к этому элементу. Поэтому порядки этих элементов равны 4. Продолжая аналогичную процедуру, находим порядки всех элементов лупы Р5* и ее спектр.
Таблица 2 показывает, что правильные расстановки скобок 24 элементов из Р5 \ H (кроме 4 элементов д1 = (0,1,0,0,1), д2 = (0,1,1,0,1), д3 = (1,1,0,0,1), д4 = (1,1,1,0,1)) дают все ненулевые элементы полуполя Р5, причем их 31-ая степень равна е = (1,0,0,0,0). С другой стороны, вторые степени элементов д^ дают элементы, которые порождают лупу Р*: д2 = (0, 0,1,1, 0), д22 = (0, 0, 0,1, 0), д32 = (1,1, 0,1, 0), д3 = (1, 0, 0,1, 0). Поэтому лупа Р5* порождается всяким элементом из Р5 \ Н.
Также табл. 2 показывает, что над подполем Н полуполе Р5 не является ни левым, ни правым векторным пространством, поскольку
(1, 0,0,1,0) • ((0, 0,0,1,0) • (0, 0,0, 0,1)) = (1,1,0, 0,0),
((1, 0,0,1,0) • (0, 0,0,1,0)) • (0, 0,0, 0,1) = (0, 0,0, 0,1),
и
((0, 0,0, 0,1) • (0, 0,0,1,0)) • (1, 0,0,1,0) = (0, 0,1,1,1), (0, 0,0, 0,1) • ((0, 0,0,1,0) • (1, 0,0,1,0)) = (0, 0,0, 0,1).
Поэтому подполе Н не является ни левым, ни правым ядром. □
Теорема 5. В каждом полуполе Pi, г = 1, 2, 3, 4, подполе порядка 2 есть единственное подполе. Всякий элемент порядка > 1 порождает лупу Р*, а спектр лупы Р* совпадает с {1, 4, 5, 6, 7} при г = 1, 2, с {1, 4, 5, 6, 7, 8} при г = 3, и с {1, 5, 6, 7, 8, 9} при г = 4.
Доказательство. Доказательство теоремы проводится по аналогичной схеме. Правый и левый обратный элементы совпадают в лупе Р1* только для единичного элемента, в лупах Р3* и Р3* — для 3 элементов. Сейчас легко получаем максимальность подполя порядка 2 в этих полуполях. Это же верно и для коммутативной лупы Р*, поскольку она не имеет элементов порядка 3. Спектр и порядки элементов выявляют следующие таблицы.
Таблицы Кэли позволяют также несложно доказать однопорожден-ность каждой лупы. □
Таблица 2
Лупа P*
00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000
00001 11000 01000 10000 10011 01011 11011 00011 10100
00010 11101 10010 01111 11011 00110 01001 10100 00001
00011 00101 11010 11111 01000 01101 10010 10111 10101
00100 10000 01011 11011 10001 00001 11010 01010 00010
00101 01000 00011 01011 00010 01010 00001 01001 10110
00110 01101 11001 10100 01010 00111 10011 11110 00011
00111 10101 10001 00100 11001 01100 01000 11101 10111
01000 00010 01111 01101 11000 11010 10111 10101 00100
01001 11010 00111 11101 01011 10001 01100 10110 10000
01010 11111 11101 00010 00011 11100 11110 00001 00101
01011 00111 10101 10010 10000 10111 00101 00010 10001
01100 10010 00100 10110 01001 11011 01101 11111 00110
01101 01010 01100 00110 11010 10000 10110 11100 10010
01110 01111 10110 11001 10010 11101 00100 01011 00111
01111 10111 11110 01001 00001 10110 11111 01000 10011
10001 11001 01010 10011 10111 01110 11101 00100 11100
10010 11100 10000 01100 11111 00011 01111 10011 01001
10011 00100 11000 11100 01100 01000 10100 10000 11101
10100 10001 01001 11000 10101 00100 11100 01101 01010
10101 01001 00001 01000 00110 01111 00111 01110 11110
10110 01100 11011 10111 01110 00010 10101 11001 01011
10111 10100 10011 00111 11101 01001 01110 11010 11111
11000 00011 01101 01110 11100 11111 10001 10010 01100
11001 11011 00101 11110 01111 10100 01010 10001 11000
11010 11110 11111 00001 00111 11001 11000 00110 01101
11011 00110 10111 10001 10100 10010 00011 00101 11001
11100 10011 00110 10101 01101 11110 01011 11000 01110
11101 01011 01110 00101 11110 10101 10000 11011 11010
11110 01110 10100 11010 10110 11000 00010 01100 01111
11111 10110 11100 01010 00101 10011 11001 01111 11011
01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111
00001 01100 11100 00100 00111 11111 01111 10111
00010 11100 10011 01110 11010 00111 01000 10101
00011 10000 01111 01010 11101 11000 00111 00010
00100 10010 01001 11001 10011 00011 11000 01000
00101 11110 10101 11101 10100 11100 10111 11111
00110 01110 11010 10111 01001 00100 10000 11101
00111 00010 00110 10011 01110 11011 11111 01010
01000 00110 01011 01001 11100 11110 10011 10001
01001 01010 10111 01101 11011 00001 11100 00110
01010 11010 11000 00111 00110 11001 11011 00100
01011 10110 00100 00011 00001 00110 10100 10011
01100 10100 00010 10000 01111 11101 01011 11001
01101 11000 11110 10100 01000 00010 00100 01110
01110 01000 10001 11110 10101 11010 00011 01100
01111 00100 01101 11010 10010 00101 01100 11011
10001 00101 10110 01111 01011 10010 00001 11000
10010 10101 11001 00101 10110 01010 00110 11010
10011 11001 00101 00001 10001 10101 01001 01101
10100 11011 00011 10010 11111 01110 10110 00111
10101 10111 11111 10110 11000 10001 11001 10000
10110 00111 10000 11100 00101 01001 11110 10010
10111 01011 01100 11000 00010 10110 10001 00101
11000 01111 00001 00010 10000 10011 11101 11110
11001 00011 11101 00110 10111 01100 10010 01001
11010 10011 10010 01100 01010 10100 10101 01011
11011 11111 01110 01000 01101 01011 11010 11100
11100 11101 01000 11011 00011 10000 00101 10110
11101 10001 10100 11111 00100 01111 01010 00001
11110 00001 11011 10101 11001 10111 01101 00011
11111 01101 00111 10001 11110 01000 00010 10100
10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000
00001 11001 01001 10001 10010 01010 11010 00010 10101
00010 11111 10000 01101 11001 00100 01011 10110 00011
00011 00110 11001 11100 01011 01110 10001 10100 10110
00100 10100 01111 11111 10101 00101 11110 01110 00110
00101 01101 00110 01110 00111 01111 00100 01100 10011
00110 01011 11111 10010 01100 00001 10101 11000 00101
00111 10010 10110 00011 11110 01011 01111 11010 10000
01000 01010 00111 00101 10000 10010 11111 11101 01100
01001 10011 01110 10100 00010 11000 00101 11111 11001
01010 10101 10111 01000 01001 10110 10100 01011 01111
01011 01100 11110 11001 11011 11100 01110 01001 11010
01100 11110 01000 11010 00101 10111 00001 10011 01010
01101 00111 00001 01011 10111 11101 11011 10001 11111
01110 00001 11000 10111 11100 10011 01010 00101 01001
01111 11000 10001 00110 01110 11001 10000 00111 11100
10001 01000 11011 00010 00110 11111 01100 10101 01101
10010 01110 00010 11110 01101 10001 11101 00001 11011
10011 10111 01011 01111 11111 11011 00111 00011 01110
10100 00101 11101 01100 00001 10000 01000 11001 11110
10101 11100 10100 11101 10011 11010 10010 11011 01011
10110 11010 01101 00001 11000 10100 00011 01111 11101
10111 00011 00100 10000 01010 11110 11001 01101 01000
11000 11011 10101 10110 00100 00111 01001 01010 10100
11001 00010 11100 00111 10110 01101 10011 01000 00001
11010 00100 00101 11011 11101 00011 00010 11100 10111
11011 11101 01100 01010 01111 01001 11000 11110 00010
11100 01111 11010 01001 10001 00010 10111 00100 10010
11101 10110 10011 11000 00011 01000 01101 00110 00111
11110 10000 01010 00100 01000 00110 11100 10010 10001
11111 01001 00011 10101 11010 01100 00110 10000 00100
11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111
00001 01101 11101 00101 00110 11110 01110 10110
00010 11110 10001 01100 11000 00101 01010 10111
00011 10011 01100 01001 11110 11011 00100 00001
00100 10110 01101 11101 10111 00111 11100 01100
00101 11011 10000 11000 10001 11001 10010 11010
00110 01000 11100 10001 01111 00010 10110 11011
00111 00101 00001 10100 01001 11100 11000 01101
01000 01110 00011 00001 10100 10110 11011 11001
01001 00011 11110 00100 10010 01000 10101 01111
01010 10000 10010 01101 01100 10011 10001 01110
01011 11101 01111 01000 01010 01101 11111 11000
01100 11000 01110 11100 00011 10001 00111 10101
01101 10101 10011 11001 00101 01111 01001 00011
01110 00110 11111 10000 11011 10100 01101 00010
01111 01011 00010 10101 11101 01010 00011 10100
10001 10100 00111 11110 11010 00011 10000 01001
10010 00111 01011 10111 00100 11000 10100 01000
10011 01010 10110 10010 00010 00110 11010 11110
10100 01111 10111 00110 01011 11010 00010 10011
10101 00010 01010 00011 01101 00100 01100 00101
10110 10001 00110 01010 10011 11111 01000 00100
10111 11100 11011 01111 10101 00001 00110 10010
11000 10111 11001 11010 01000 01011 00101 00110
11001 11010 00100 11111 01110 10101 01011 10000
11010 01001 01000 10110 10000 01110 01111 10001
11011 00100 10101 10011 10110 10000 00001 00111
11100 00001 10100 00111 11111 01100 11001 01010
11101 01100 01001 00010 11001 10010 10111 11100
11110 11111 00101 01011 00111 01001 10011 11101
11111 10010 11000 01110 00001 10111 11101 01011
Таблица 3
Левый и правый обратный к элементам лупы Р*
Элемент Левый обратный Правый обратный
(1,0,0,0,0) (1,0,0,0,0) (1,0,0,0,0)
(0,0,0,1,0) (1,0,0,1,0) (1,0,0,1,0)
(1,0,0,1,0) (0,0,0,1,0) (0,0,0,1,0)
(1,0,0,0,1) (1,1,1,1,0) (1,1,1,1,0)
(1,1,1,1,0) (1,0,0,0,1) (1,0,0,0,1)
(0,0,0,0,1) (0,0,1,0,0) (0,0,0,1,1)
(0,0,0,1,1) (0,0,0,0,1) (0,1,0,0,1)
(0,0,1,0,0) (0,1,0,1,1) (0,0,0,0,1)
(0,0,1,0,1) (0,1,1,0,1) (1,1,0,1,0)
(0,0,1,1,0) (1,1,1,0,1) (0,1,1,1,0)
(0,0,1,1,1) (1,0,0,1,1) (1,1,0,0,0)
(0,1,0,0,0) (0,1,0,0,1) (1,0,1,0,0)
(0,1,0,0,1) (0,0,0,1,1) (0,1,0,0,0)
(0,1,0,1,0) (1,0,1,1,0) (1,1,0,0,1)
(0,1,0,1,1) (0,1,1,0,0) (0,0,1,0,0)
(0,1,1,0,0) (1,1,0,0,0) (0,1,0,1,1)
(0,1,1,0,1) (1,1,1,0,0) (0,0,1,0,1)
(0,1,1,1,0) (0,0,1,1,0) (1,1,0,1,1)
Элемент Левый обратный Правый обратный
(0,1,1,1,1) (1,0,1,0,1) (1,0,1,1,0)
(1,0,0,1,1) (1,0,1,1,1) (0,0,1,1,1)
(1,0,1,0,0) (0,1,0,0,0) (1,0,1,0,1)
(1,0,1,0,1) (1,0,1,0,0) (0,1,1,1,1)
(1,0,1,1,0) (0,1,1,1,1) (0,1,0,1,0)
(1,0,1,1,1) (1,1,1,1,1) (1,0,0,1,1)
(1,1,0,0,0) (0,0,1,1,1) (0,1,1,0,0)
(1,1,0,0,1) (0,1,0,1,0) (1,1,1,1,1)
(1,1,0,1,0) (0,0,1,0,1) (1,1,1,0,0)
(1,1,0,1,1) (0,1,1,1,0) (1,1,1,0,1)
(1,1,1,0,0) (1,1,0,1,0) (0,1,1,0,1)
(1,1,1,0,1) (1,1,0,1,1) (0,0,1,1,0)
(1,1,1,1,1) (1,1,0,0,1) (1,0,1,1,1)
Таблица 4
Порядки элементов лупы
У (1,0,0,0,0) (0,0,0,1,0) (1,0,0,1,0) (0,0,0,0,1) (0,0,0,1,1) (0,0,1,0,0) (0,0,1,0,1)
|у| 1 3 3 4 4 7 6
У (0,0,1,1,0) (0,0,1,1,1) (0,1,0,0,0) (0,1,0,0,1) (0,1,0,1,0) (0,1,0,1,1) (0,1,1,0,0)
|у| 6 5 6 7 6 5 5
У (0,1,1,0,1) (0,1,1,1,0) (0,1,1,1,1) (1,0,0,0,1) (1,0,0,1,1) (1,0,1,0,0) (1,0,1,0,1)
|у| 5 5 4 7 7 7 6
У (1,0,1,1,0) (1,0,1,1,1) (1,1,0,0,0) (1,1,0,0,1) (1,1,0,1,0) (1,1,0,1,1) (1,1,1,0,0)
|у| 6 7 6 7 7 5 8
У (1,1,1,0,1) (1,1,1,1,0) (1ДДДД)
|у| 5 7 6
Таблица 5
Порядки элементов лупы Р1
У (1,0,0,0,0) (0,0,0,0,1) (0,0,0,1,0) (0,0,0,1,1) (0,0,1,0,0) (0,0,1,0,1) (0,0,1,1,0)
|у| 1 4 7 5 6 6 6
У (0,0,1,1,1) (0,1,0,0,0) (0,1,0,0,1) (0,1,0,1,0) (0,1,0,1,1) (0,1,1,0,0) (0,1,1,0,1)
|у| 5 6 6 5 6 6 5
У (0,1,1,1,0) (0,1,1,1,1) (1,0,0,0,1) (1,0,0,1,0) (1,0,0,1,1) (1,0,1,0,0) (1,0,1,0,1)
|у| 6 6 5 6 5 6 6
У (1,0,1,1,0) (1,0,1,1,1) (1,1,0,0,0) (1,1,0,0,1) (1,1,0,1,0) (1,1,0,1,1) (1,1,1,0,0)
|у| 6 5 6 7 6 6 6
У (1,1,1,0,1) (1,1,1,1,0) (1,1,1,1,1)
|у| 6 7 5
Таблица 6
Порядки элементов лупы Р2
У (1,0,0,0,0) (0,0,0,0,1) (0,0,0,1,0) (0,0,0,1,1) (0,0,1,0,0) (0,0,1,0,1) (0,0,1,1,0)
|у| 1 5 4 6 7 6 5
У (0,0,1,1,1) (0,1,0,0,0) (0,1,0,0,1) (0,1,0,1,0) (0,1,0,1,1) (0,1,1,0,0) (0,1,1,0,1)
|у| 6 6 6 6 6 6 5
У (0,1,1,1,0) (0,1,1,1,1) (1,0,0,0,1) (1,0,0,1,0) (1,0,0,1,1) (1,0,1,0,0) (1,0,1,0,1)
|у| 6 7 6 6 5 6 6
У (1,0,1,1,0) (1,0,1,1,1) (1,1,0,0,0) (1,1,0,0,1) (1,1,0,1,0) (1,1,0,1,1) (1,1,1,0,0)
|у| 6 6 5 6 5 6 6
У (1,1,1,0,1) (1,1,1,1,0) (1ДДДД)
|у| 5 7 5
Таблица 7
Порядки элементов лупы Р3
У (1,0,0,0,0) (0,0,0,0,1) (0,0,0,1,0) (0,0,0,1,1) (0,0,1,0,0) (0,0,1,0,1) (0,0,1,1,0)
|у| 1 7 6 6 5 8 6
У (0,0,1,1,1) (0,1,0,0,0) (0,1,0,0,1) (0,1,0,1,0) (0,1,0,1,1) (0,1,1,0,0) (0,1,1,0,1)
|у| 7 6 6 7 5 7 4
У (0,1,1,1,0) (0,1,1,1,1) (1,0,0,0,1) (1,0,0,1,0) (1,0,0,1,1) (1,0,1,0,0) (1,0,1,0,1)
|у| 5 4 7 7 5 5 7
У (1,0,1,1,0) (1,0,1,1,1) (1,1,0,0,0) (1,1,0,0,1) (1,1,0,1,0) (1,1,0,1,1) (1,1,1,0,0)
|у| 4 7 6 8 5 6 6
У (1,1,1,0,1) (1,1,1,1,0) (1,1,1,1,1)
|у| 6 7 5
Таблица 8
Порядки элементов лупы P^
У (1,0,0,0,0) (0,0,0,0,1) (0,0,0,1,0) (0,0,0,1,1) (0,0,1,0,0) (0,0,1,0,1) (0,0,1,1,0)
|y| 1 8 9 7 8 9 8
У (0,0,1,1,1) (0,1,0,0,0) (0,1,0,0,1) (0,1,0,1,0) (0,1,0,1,1) (0,1,1,0,0) (0,1,1,0,1)
|y| 7 7 7 8 9 9 9
У (0,1,1,1,0) (0,1,1,1,1) (1,0,0,0,1) (1,0,0,1,0) (1,0,0,1,1) (1,0,1,0,0) (1,0,1,0,1)
|y| 9 7 8 8 8 8 5
У (1,0,1,1,0) (1,0,1,1,1) (1,1,0,0,0) (1,1,0,0,1) (1,1,0,1,0) (1,1,0,1,1) (1,1,1,0,0)
|y| 8 6 8 9 8 7 5
У (1,1,1,0,1) (1,1,1,1,0) (1ДДДД)
|y| 7 9 6
Список литературы
1. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош. - М.: Наука, 1973.
2. Левчук В. М. Перечисления полуполевых плоскостей и латинских прямоугольников / В. М. Левчук, С. В. Панов, П. К. Штуккерт // Механика и моделирование : сб. науч. ст. - Красноярск : СибГАУ,2012. - С. 56-70.
3. Подуфалов Н. Д. О функциях на линейных пространствах, связанных с конечными проективными плоскостями / Н. Д. Подуфалов // Алгебра и логика. - 2002. - Т. 41, № 1. - С. 83-103.
4. Холл М. Теория групп / М. Холл. - М. : ИЛ, 1962.
5. Штуккерт П. К. О свойствах полуполей четного порядка / П. К. Штуккерт // Материалы Междунар. науч. конф. по алгебре "Мальцевские чтения - 2013": электрон. сб. Новосибирск: НГУ, 2013. - С. 114.
6. Albert A. A. Finite division algebras and finite planes. / A. A. Albert // Proc. Sympos. Appl. Math. - Vol.10. - Amer. Math. Soc., Providence, R.I. - 1960. - P. 53-70.
7. Andre J. Uber nicht-Desarguesche Ebenen mit transitiver Translationgruppe / J. Andre // Math. Z. - 1954. - Vol. 60. - P. 156-186.
8. Dempwolff U. The Classification of the translation planes of order 16, I / U. Dempwolff, A. Reifart // Geom. Dedicata. - 1983. - Vol. 15. - P. 137-153.
9. Dempwolff U. File of Translation Planes of Small Order // www.mathematik.uni-kl.de/^ dempw/dempw_-Plane.html.
10. Dickson L. E. Linear algebras in which division is always uniquely possible / L. E. Dixon // Trans. Amer. Math. Soc. - 1906. - Vol. 7. - P. 370-390.
11. Hughes D. R. Projective planes / D. R. Hughes, F. C. Piper. - Springer - Verlag : New-York Inc., 1973.
12. Kleinfeld E. Techniques for enumerating Veblen-Wedderburn systems / E. Kleinfeld // J. Assoc. Comput. Mach. - 1960. - Vol. 7. - P. 330-337.
13. Knuth D.E. Finite semifields and projective planes / D. E. Knuth // J. Algebra. -1965. - Vol. 2. - P. 182-217.
14. Lorimer P. A Projective Plane of Order 16 / P. Lorimer //J. Combinatorial theory (A). - 1974. - Vol. 16. - P. 334-347.
15. Lüneburg H. Translation planes / H. Lüneburg. - Springer - Verlag : Berlin Heidelberg New-York Inc., 1980.
16. Rockenfeller R. Translationsebenen der Ordnung 32 / R. Rockenfeller // Diploma Thesis, FB Mathematik, University of Kaiserslautern, 2011.
17. Veblen O. Non-Desarguesian and Non-Pascalian Geometries / O. Veblen, J.H. Maclagan-Wedderburn // Trans. Amer. Math. Soc. - 1907. - Vol. 8, N 3. - P. 379-388.
18. Walker R. J. Determination of Division Algebras with 32 Elements / R. J. Walker // Proc. Symp. Appl. Math. XV, Amer. Math. Soc. - 1962. - P. 83-85.
19. Wesson J. R. On Veblen-Wedderburn Systems / J. R. Wesson // The Amer. Math. Monthly. - 1957. - Vol. 64, N 9. - P. 631-635.
Ш^туккерт Полина Константиновна, аспирант, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, тел.: 8-913-16317-14. (e-mail: poli422@yandex.ru)
P. Shtukkert
Quasifields and Translation Planes of the Smallest Even Order
Abstract. Constructs of different classes of finite non-Desargues translation planes and quasifields closely related. It used by computer calculations since the middle of last century. We study semifields of order 32 and quasifields of order 16 of corresponding translation planes.
It is known that translation planes of any order pn for a prime p can be constructed by using a coordinatizing set W of order n over the field of order p. By using a spread set we providing W of structure of quasifield. The plane is set to be a semifield plane if W is a semifield. The plane is Desargues if W is a field. It is well-known that semifield planes are isomorphic if and only if their semifields are isotopic.
Structure of quasifields of order pn has been studied a few, even for small n. In 1960 Kleinfeld classified quasifields of order 16 with kernel of order 4 and all semifields of order 16 up to isomorphisms. Later Dempwolf and other completed the classification of all translation planes of order 16 and 32. We construct 5 semifields of order 32 and 7 quasifields of order 16 of non-Desargues planes by using their spread sets. For these semifields and for these quasifields (partially) our main results list for them introduced orders of all non-zero elements and all subfields.
Keywords: translation planes, spread set, quasifield, semifield, order of element of loop.
References
1. Albert A.A. Finite division algebras and finite planes. Proc. Sympos. Appl. Math., vol.10. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1960, pp. 53-70.
2. Andre J., Uber nicht-Desarguesche Ebenen mit transitiver Translationgruppe .J. Andre . Math. Z. , 1954, vol. 60, pp. 156-186.
3. Dempwolff U., Reifart A. The Classification of the translation planes of order 16, I. Geom. Dedicata, 1983, vol. 15, pp. 137-153.
4. Dempwolff U. File of Translation Planes of Small Order. Available at: www.mathematik.uni-kl.de/ dempw.dempw_Plane.html.
5. Dickson L.E. Linear algebras in which division is always uniquely possible. Trans. Amer. Math. Soc., 1906, vol. 7, pp. 370-390.
6. Hall M. Theory of groups. Moscow, 1962.
7. Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. Springer - Verlag: New-York Inc., 1973.
8. Kleinfeld E. Techniques for enumerating Veblen-Wedderburn systems. J. Assoc. Comput. Mach., 1960, vol. 7, pp. 330-337.
9. Knuth D.E. Finite semifields and projective planes. J. Algebra, 1965, vol. 2, pp. 182-217.
10. Kurosh A.A. Lectures on general algebra. Moscow, 1973.
11. Levchuk V.M., Panov S.V., Shtukker P.K. Enumeration of semifield planes and Latin rectangles. Book of scientific articles «Modeling and mechanics». Krasnoyarsk, Sib. St. Air. Univ., 2012, pp. 56-70.
12. Lorimer P. A Projective Plane of Order . J. Combin. theory (A), 1974, vol. 16, pp. 334-347.
13. Luneburg H. Translation planes. Springer - Verlag: Berlin Heidelberg New-York Inc., 1980.
14. Podufalov N.D. On functions on linear spaces. J. Algebra and Logic, 2002, vol. 41, no. 1, pp. 83-103.
15. Rockenfeller R. Translationsebenen der Ordnung 32. Diploma Thesis, FB Mathematik, Univ. of Kaiserslautern, 2011.
16. Shtukkert P.K. On the properties of semifields of even order. Collection of abstracts, International Conference «Mal'tcev meeting». Novosibirsk, 2013, p. 114.
17. Veblen O. Non-Desarguesian and Non-Pascalian Geometries. J.H. Maclagan-Wedderburn. Trans. Amer. Math. Soc., 1907, vol. 8, no. 3, pp. 379-388.
18. Walker R.J. Determination of Division Algebras with 32 Elements. Proc. Symp. Appl. Math. XV, Amer. Math. Soc., 1962, pp. 83-85.
19. Wesson J.R. On Veblen-Wedderburn Systems. The Amer. Math. Monthly, 1957, vol. 64, no. 9, pp. 631-635.
Shtukkert Polina, Postgraduate, Institute of Mathematics and Computer Sciences, Siberian Federal University, 79, Svobodny st., Krasnoyarsk, 660041, tel.: 8-913-163-17-14. (e-mail: poli422@yandex.ru)
