К изоморфизму конечной плоскости Холла и плоскости Андре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.015.2

В.М. Галкин1, М.Е. Елисеев1, М.Е. Сангалова

2

К изоморфизму конечной плоскости Холла и плоскости Андре

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева1, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского2

2

Известно, что конечная проективная плоскость Холла является в то же время и плоскостью Андре. Однако в литературе доказательство этого факта дается неконструктивно. В данной статье изоморфизм плоскостей строится явным образом, то есть указывается конкретное отображение точек и прямых одной плоскости в точки и прямые другой.

Ключевые слова: конечная проективная плоскость, плоскость Холла, плоскость Андре, изоморфизм проективных плоскостей, квазиполе.

1. Плоскости Холла относятся к классу так называемых плоскостей трансляций. Это простейший класс плоскостей, дающий примеры недезарговых плоскостей. Простейший в том смысле, что соответствующие плоскости обладают достаточно большими группами кол-линеаций. Более точно, группа коллинеаций действует транзитивно на множестве точек вне некоторой прямой - несобственной или «бесконечно удаленной».

Плоскость трансляций конструируется исходя из алгебраической системы Я(+/), называемой квазиполем (Холл в [1] использует термин - система Веблена-Веддербарна). Аксиомы квазиполя являются ослабленным вариантом аксиоматики поля. Именно в Я требуется выполнение следующих аксиом ([1], [2]):

1) Я(+) - абелева группа с нейтральным элементом 0;

2) Я\{0} - лупа с единицей относительно операции (•);

3) в Я выполняется односторонняя (для определенности левая) дистрибутивность а~(Ъ+с)=аЪ+ас;

4) уравнение ах+Ъу =с имеет единственное решение х при а Ф Ъ.

Само построение плоскости производится тем же путем, что и построение дезарговой плоскости над полем. Аффинная часть плоскости состоит из точек (ху) с координатами из Я. Из них компонуются прямые Ьа={(а,у)} и ЬтЪ={(ху)У=т-х+Ъ}. Проективное пополнение аффинной плоскости вводит несобственную прямую Ь«,, состоящую из точек (да) и (т). Аффинная прямая дополняется точкой (да), а Ьт,Ъ - точкой (т). Аксиома 4 обеспечивает выполнение аксиом инцидентности в плоскости.

Холл [1], [3] предлагает пример квазиполя исходя из поля к и неприводимого над к многочлена/(х)=х2-гх-5. Элементами Я являются пары (х, у) с х, у е к с обычным сложением. Умножение же дается формулами

Нетрудно согласиться с тем, что этот пример появляется как deus ex machina и что желательно иметь прозрачное объяснение происхождения этой конструкции.

Заслуживает рассмотрения еще одно обстоятельство, связанное с плоскостями Холла. Имеется класс плоскостей трансляций более общий, чем класс плоскостей Холла. Это так называемые плоскости Андре. В конце книги [1] доказывается, что плоскость Холла является в то же время плоскостью Андре. Доказательство использует довольно сложную процедуру, называемую деривацией (derivation) и неконструктивно. Желательно иметь прямое доказа-

(ах, ау), если Ъ = 0, (ах — b~1yf(a), Ъх — ay + sy) при Ъ ф 0.

© Галкин В.М., Елисеев М.Е., Сангалова М.Е., 2017.

тельство изоморфизма соответствующих плоскостей. Далее обсуждаются оба поставленных вопроса.

2. Успех в построении Холлом его плоскостей можно объяснить следующей причиной. В группе ОЬ2(к) - группе обратимых преобразований двумерного векторного пространства V над полем к - имеются классы сопряженности, чьи элементы некоторым стандартным способом можно биективно отобразить на элементы из К/к, где К - квадратичное расширение поля к. Таковым классом является класс, характеристический многочлен которого неприводим над к. Отметим необходимые в дальнейшем свойства класса Н с неприводимым характеристическим многочленом /(х)=х2-гх-?.

Предложение 1

1. Если Ге ОЬ2(к) имеет _Дх) характеристическим многочленом, то ГеН.

2. Для ГеН и ненулевого вектора V векторы V и Г(у) линейно независимы.

3. ГеН однозначно определяется значением ДУ) для vф■0.

Доказательство

1. Поскольку Г не скаляр, то найдется vеVтакой, что V и Г(у) линейно независимы. В базисе V, Г(у) матрица Г имеет вид ^,т.е. ГеН.

2. Линейная зависимость V и Г(у) влечет существование у Г собственного значения из к, что невозможно.

3. Следует из 1, если взять базис V, Г^) в V.

Квазиполе Холла теперь строится следующим образом. В качестве V берется квадратичное расширение К поля к. В ОЬ2(к) выбирается класс сопряженных элементов в Н. Квазиполе Холла совпадает как множество с К, и с тем же сложением, что и в К. Умножение определяется формулами

_ ( ху, если хек, \Тх(у), если хеК\к.

где ГхеН и индекс х определяются из равенства Гх(1)=х. Существование и единственность х обеспечивается свойством 3 из предложения 1. Выполнение аксиом 1 и 3 очевидно. Выполняется также левое деление, т.е. ах = Ъ однозначно разрешимо при а^0.

Уравнение ха = Ъ при линейно зависимых а и Ь переходит в ха=Ь и х=Ъ/а ек единственно. При линейно независимых а и Ь существование и единственность х следует из п.3 предложения 1. Наконец, единицей по умножению в Я является 1 еК. Обратимся к аксиоме 4.

Здесь надо рассмотреть три случая: а,Ъ е к,Ь (или а)е к и а, Ь £ к. Уравнение ах — Ъх = с перепишется как ах — Ъх = с, (Та — Ь)(х) = с или (Та — Ть)(х) = с. Существование и единственность х очевидна в первом случае, следует из обратимости Та — Ъ (так как собственные значения Та не лежат в к) во втором. Обратимость Та — Ть в третьем случае следует так же из п.3 предложения 1.

3. Не давая общего определения плоскости Андре (см. [2],[3]), остановимся лишь на частном случае, когда квазиполе строится, как и раньше, по полю К\к. Пусть в = (х ^ х) -нетождественный автоморфизм К над к. Умножение Андре определяется несколько иначе:

х*у = хвх(у),

где вх = б,если норма Ыт(х) = хх = 1, и тождественен в противном случае.

Для установления изоморфизма между плоскостями обоих типов используем следующее представление преобразования Та из предыдущего пункта.

Предложение 2. Та(х) = Аах + Вах, где Ва = = а — Ва, Ли Л - корни

/(х) = х2 — гх — Б.

Доказательство. Надо проверить, что правая часть представления переводит 1 в а и

удовлетворяет характеристическому уравнению Та — гТа -5 = 0. Первое условие дает Аа + Ва = а. Второе приводит к равенству

Аа(Аах + Вах) + 5а(Лах + Вах) = г(Аах + Вах) + бх.

Оно заведомо выполняется, если совпадают коэффициенты при хих в обеих частях. Это дает

Аа2 + ВаТТа=гАа+8 , (1)

Аа+А; = г. (2)

Подставляя г из (2) в (1) и используя Ва = а — Аа, получаем

аАа + аАа = аа — б. (3)

о а—ТО—5 о^ —ТО—5

Вместе с (2) это позволяет найти Аа = ——-— и Ва = —-—_—. Выражение для Ва в

формулировке предложения получается из разложения /(х) на множители.

Перейдем теперь к основному результату этого пункта. Пусть Рн и РА плоскости Холла и Андре, построенные по полю К/к.

Предложение 3

Плоскости Рн и РА изоморфны. Изоморфизм задается сопряжением аффинных точек (х,у) Е Рн — (х',у') Е РА, где х = х' — у',у = Ах' — Лу. Соответствие между точками несобственных прямых дается отображением

т — А

-=,т Е к

™ V / пт- — Л

т -> т = < „ .

т — А

----,т Е К\к

т — А

Точке (от) Е Рн соответствует (1) Е РА, а точке (от') Е РА соответствует точка (!) Е Рн.

Доказательство

Проверке подлежит соответствие прямых у = тх + Ъ — у' = т' * х' + Ь' . Отдельно выделяются случаи, когда одна из прямых имеет несобственной точкой от. С них и начнем проверку. Точкам прямой х = а из Рн соответствуют точки (х',уг), для которых а = х' — у', т.е. они лежат на прямой у' = 1 * х' + Ь'(Ь' = —а) из РА.

Точкам же прямой х' = а из РА соответствуют точки (х, у) Е Рн, для которых

х = а — у',у = Аа — Лу', т.е. у = Лх + Ъ = Т~х(х) + Ь,Ь = (А — Л)а.

Далее для тЕк точки прямой у = т^х + Ъ переходят в точки (х',у'), причем т(х' — у') + Ъ = Ах' — Лу', т.е. лежащие на прямой у' = —=х' + Ь',Ь' = —что можно переписать в виде у' = т' * х' + Ъ'.

Несколько длинее производится проверка в случае т0к,т Л. Здесь у = Тт(х) + Ъ дает Лх' — Лу' = Атх + Втх + Ъ = Ат(х' — у') + Вт(х' — у') + Ъ, что можно переписать в виде (Ат — Л)у' — Втх' + Вту' — (Ат — Х)х' = Ь.

Это равенство заведомо выполняется для точек прямой у' = т' * х' + Ъ', если положить т' = Вт-. Наконец найдем Ь' из соотношения

(.Ат — Л)Ъ'—ВтЪ' = Ъ. (4)

Используя выражения для Ат = т — Вт и Вт из предложения 2, нетрудно проверить, что т = . Остается выразить Ъ через Ь. Для этого надо подействовать в (4) автомор-

физмом поля К/к и получить систему относительно Ъ и Ь'

((Am — l)b'-BmV = b,

№ь + (лт — л)ъ' = ъ. (j

ß

Подсчет ее определителя с учетом равенства т' = —^ показывает, что он отличен от нуля, значит Ь' определяется однозначно.

Библиографический список

1. Холл, М. Теория групп / М. Холл. - М., 1962.

2. Huges, D. Projective planes / D. Huges, F. Piper // Springer. 1973.

3. Weibel, Ch. Survey ofNon-Dezargian planes // Notices of the AMS. - 2007. - V. 54. - Р. 1299-1303.

Дата поступления в редакцию 01.06.2017

V.M. Galkin1, M.E. Elyseev1, M.E. Sangalova2

ON THE ISOMORPHISM OF FINITE HOLL PLANE WITH ANDRE PLANE

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev1, Nizhny Novgorod state university n.a. N.I. Lobachevsky2

Purpose: In this paper explicitly gives the isomorphism of finite projective Holl plane with Andre plane. Design/methodology/approach: The theory of non-associative structures and theory of finite projective planes is using.

Findings: The result is important in the theory of finite projective planes

Research limitations/implications: Methods of this paper may be used on the proof of the isomorphism other finite projective planes.

Originality/value: The result is new.

Key words: finite projective plane, Hall plane, Andre plane, isomorphism of projective planes, quasi field.