РЕПЕРНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ АФФИННЫХ ЕЛЬМСЛЕВОВЫХ ПЛОСКОСТЕЙ И $\omega$ ИЗОТОПИИ АН-ТЕРНАРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2007, Том 9, Выпуск 4

УДК 514.74

РЕПЕРНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ АФФИННЫХ ЕЛЬМСЛЕВОВЫХ ПЛОСКОСТЕЙ И ш ИЗОТОПИИ АН-ТЕРНАРОВ

Н. Л. Шатохин

В работе получены результаты об алгебраических связях между тернарами двух изоморфных аффинных ельмслевовых плоскостей, которые обобщают известные результаты Скорнякова, Мартина и Стивенсона из теории классических плоскостей.

Ключевые слова: проективная плоскость, аффинная плоскость, ельмслевовы плоскости, тернар, гомоморфизмы, изотопии, смежные точки, смежные прямые.

В статье описываются алгебраические условия, связывающие АН-тернары, коорди-натизирующие изоморфные аффинные ельмслевовы плоскости. В целях единообразия терминологии эти связи названы ш изотопиями.

Выяснению таких условий в случае однозначных аффинных и проективных плоскостей были посвящены статьи [2, 3], а также ряд статей [4-6, 7]. Среди работ недавнего времени посвященных данной проблеме следует также отметить [9].

Подобная проблема, как было отмечено в обзоре [8], становится актуальной для класса АН-плоскостей [1] в связи с их координатизацией тернарными кольцами [10].

Из определения АН-плоскости [1] вытекает, что в любой АН-плоскости Н найдется тройка точек ро, ръ р2 такая, что р^р^ ф для г = ] = к = г; г, ], к £ {0,1,2}. Такая тройка точек называется невырожденной. Если ро, Р1, Р2 — невырожденная тройка точек, то упорядоченная тройка (ро,р1,р2) называется аффинным репером плоскости Н и обозначается Р(ро,р1,р2).

Рассмотрим произвольный аффинный репер Р(ро,р1,р2) АН-плоскости Н = (Р, Р; I, ||, ф). Обозначим рор1 = X, рор2 = У. Тогда Р(р^У) ф У, Ь(р2,Х) ф X и Р(р1,У) П Ь(р2, X) = е. Совокупность состоящая из точки ро и пары прямых X и У называется аффинной системой координат АН-плоскости Н соответствующей реперу Р(ро, р1, р2). Точка ро называется началом, а прямые X и У — осями этой системы.

Пусть Р(ро, р1, р2) — репер АН-плоскости Н; Р'(ро,р1,р2) — репер АН-плоскости Н', а /(Р) = (/(ро), / (р1), /(р2)) — образ репера при изоморфизме /: Н ^ Н' АН-плоскости Н на АН-плоскость Н'.

В данной статье решение указанной выше задачи привязано к различным возможным случаям расположения репера /(Р) и репера Р'(ро,р1,р2). Поэтому рассматриваемые в работе изоморфизмы АН-плоскостей будем называть реперными изоморфизмами, соответствующими данному взаимному расположению реперов /(Р) и Р'.

Понятно, что при решении этой задачи для произвольных АН-плоскостей, параллельно решается аналогичная задача, описывающая алгебраические связи, возникающие между различными АН-тернарами одной АН-плоскости.

© 2007 Шатохин Н. Л.

Определение 1. АН-плоскость Н = (Р, Р; /, ||, называется изоморфной АН-плоскости Н' = (Р', Р; /, ||, если существуют биекции /1 : Р ^ Р' и /1 : £ ^ Р такие, что выполняются условия:

(V р,£) Р/£ ^ /1(р)//2(Ь), (1)

(V£,М) £ || М ^ /2(Ь) || /2(М). (2)

В дальнейшем будем считать, что /1 = /2 = /.

Используя результаты статьи [11], нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Предложение 1. Изоморфизм АН-плоскости Н на АН-плоскость Н' сохраняет отношение смежности на множестве точек и прямых, а несмежные точки и несмежные прямые плоскости Н переводит, соответственно, в несмежные точки и несмежные прямые плоскости Н'.

Направление АН-плоскости Н, которое определяет прямая М этой плоскости обозначаем пм.

Следствие 1. Всякий изоморфизм / АН-плоскости Н на АН-плоскость Н' удовлетворяет условию

пм ~ пь ^ пf(М) ~ пf(¿). (3)

Замечание 1. Из определения 1 вытекает, что отношение изоморфизма АН-плоскостей является отношением эквивалентности, а из условия (2) следует, что всякий изоморфизм / : Н ^ Н' индуцирует биекцию Р множества направлений АН-плоскости Н на множество направлений АН-плоскости Н', определенную условием

Р(пм) = пм' ^ /(М) = М'. (4)

Используя аксиомы тернарного кольца [10], можно установить справедливость утверждения.

Предложение 2. Если для ТР Т = (Т; ¿, 0,1, и ТР Т' = (Т'; ¿, 0,1, существуют биекции а, в, 7, 5 : Т ^ Т' такие, что

(Vа, 6, с € Т) ¿(¿(а, 6, с)) = ¿(а(а),в(6),т(с)), (5)

то справедливы следующие свойства:

1) 7 = 5 ^ а(0) =0 ^ в(0) = 0;

2) 7(0) = 0 = ¿(0) ^ а(0) = 0, в(0) = 0, 7 = 5 (а € Р ^ а(а) € Р') (6 € Р ^ в(6) € Р');

3) 7(0) = 0, в(1) = 1 ^ а = в; 7(0) = 0, а(1) = 1 ^ в = 5.

В дальнейшем считаем АН-тернары Н = (Т; ¿о, 0,1, и Н' = (Т'; ¿, ¿о, 0,1, построенными, соответственно, над реперами Р(ро,Р1,Р2) и Р'(р0,р1,р2) АН-плоскостей Н и Н' (Н = НЯ,Н' = Н^'). Через (ро; X, К) и (р0; Х',У') обозначаем аффинные системы координат АН-плоскостей Н и Н' соответствующие реперам Р и Р'; точки ро, Р1, Р2 (а также точки р0,р1,р2) отождествляем с точками (0, 0), (1, 0), (0, 1), а прямые X и К (X' и У') — с прямыми [0, 0] и (0, 0). Через Р и Р' обозначаем множества делителей нуля вместе с нулями АН-тернаров Н и Н' соответственно.

Определение 2. АН-тернар Н = (Т; ¿, ¿0, 0,1, называется ш0, ш1, ш2,..., изотопным АН-тернару Н' = (Т'; ¿, ¿о, 0,1, если соответственно:

0) существует биекция а : Т ^ Т' такая, что

(Vа, и, V £ Т) а(£(а, и, V)) = ¿(а(а), а(и), а(^)), (V6,п £ Т) (Vт £ Я) а(£о(6, т, п)) = ¿о(а(6), а(т), а(п));

1) существуют биекции а, в : Т ^ Т' и $ : Я ^ Я' такие, что

(Vа, и, V £ Т) в(^(а,и, V)) = ¿(а(а),в(и),в^)), (V6,п £ Т) (Vт £ Я) а(*о(6,т,п)) = ¿о(в(6),$(т),а(п));

2) существуют биекции а, в, 7 : Т ^ Т' и при этом а : Я ^ Я' такие, что

(Vа, и, V £ Т) в(^(а, и, V)) = ¿(а(а), 7(и), вМ), (V6,п £ Т) (Vт £ Я) а(*о(6,т,п)) = ¿о(в(6), а(т),а(п));

3) существуют биекции а, в, 7 : Т ^ Т' и биекция $ : Я ^ Я' такие, что

(Vа, и, V £ Т) в(^(а, и, V)) = ¿(а(а), 7(и), вМ), (V 6,п £ Т) (V т £ Я) а (¿о (6,т,п)) = ¿о (в(6),$(т),а(п));

4) существуют биекции ат, ва, 7 : Т ^ Т', для любого а из Т и для любого т из Я и биекция $ : Я ^ Я' такие, что

(Vа, и, V £ Т) ва(^(а,и, V)) = ¿(ао(а),7(и),воИ), (V6,п £ Т) (Vт £ Я) а = ¿о(6,т,п) ^ ао(а) = ¿о(ва(6), $(т), ат(п));

5) существуют биекции аь, ви, 7 : Т ^ Т', для любых 6, и из Т и биекция $ : Я ^ Я' такие, что

(Vа, и, V £ Т) 6 = ¿(а, и, V) ^ во(6) = ¿(аь(а), 7(и), ви(V)), (V 6,п £ Т) (V т £ Я) аь(4о(6,т,п)) = ¿о (во (6), $(т), ао(п));

6) существуют биекции ат, ви, 7 : Т ^ Т' для любого и из Т и любого т из Я и биекция $ : Я ^ Я' такие, что

(Vа, и, V £ Т) во(¿(а,и, V)) = ¿(ао(а),7(и),виМ), (V6,п £ Т) (Vт £ Я) ао(£о(6,т,п)) = ¿о(во(6), $(т), ат(п));

7) существуют биекции ат, ви, та, 7 : Т ^ Т', для любых а, и из Т и любого т из Я и биекция $ : Я ^ Я' такие, что

(V а, и, V £ Т) Та (¿(а, и, V)) = ¿(ао(а),7(и),ви^)), (V6, п £ Т) (Vт £ Я) а = ¿о(6, т, п) ^ ао(а) = ¿о(та(6), $(т), ат(п));

8) существуют биекции ат, ви, 7 : Т ^ Т' для любого и из Т и любого т из Я, биекция $ : Я ^ Я' и биекция д : Т х Т ^ Т' х Т' такие, что

(Vа, и, V £ Т) 6 = ¿(а, и, V) ^ 6' = ¿(а', 7(и), ви^)), (V6,п £ Т) (Vт £ Я) а = ¿о(6,т,п) ^ а' = ¿о(6', $(т), ат(п)),

где д(а, 6) = (а', 6') ^ (а', 6') — решение системы уравнений

у = ¿(ж,7о ,во(6)), х = ¿о(у,5(0),ао (а)).

Предложение 3. Пусть Ь = [щ, «1] и М = [«2, «2] — прямые первого рода относительно некоторого репера Р(ро,Р1,Р2) АН-плоскости Н. Тогда

пь — пм ^ «1 — «2. (6)

< Согласно ХИ1 [10] условие «1 — «2 равносильно тому, что Ь П М = 0 или прямые Ь и М имеют более одной общей точки. Если ЬП М = 0, то пь — пм, а если найдется пара точек, каждая из которых инцидентна одновременно прямым Ь и М, то Ь — М, откуда пь — пм согласно определению смежных направлений. Если пь — пм, то найдутся прямые Ь/ € пь и

М/

€ пм, такие, что Ь' — М'. Отсюда имеем

Ь/

= [«1, «С] и М/ =

], следовательно, «1 — «2.

Пусть 5 € Т/ -, 5 = Р и ^ € ТС/ -, ^ = РЛ

Определение 3. АН-тернар Н = (Т; ¿, ¿о, 0,1, —) назовем шд изотопным АН-тернару НС = (ТС; ¿,¿0, 0,1, -), если существуют биекции аь,в«,тто : Т ^ ТС для любого 6 из Т, любого п из Т, любого т из 5 и Р и биекции 7 : Т^ ТС\5С и 5 : 5 ^

Р/

,Р 5 /

такие, что

(V« € Т) 6 = ¿(а,«,«) ^ во(6) = ¿(аь(а),7(«),ви(«)),

(V« € 5) 6 = ¿(а,«) ^ аь(а) = ¿о(во(6), 5(«), ти(«)), (Vт € Р) а = ¿0(6, т, п) ^ в0(6) = ¿(аь(а), 5(т), тт(п)).

Теорема 1. АН-тернар Н = (Т; ¿, ¿0, 0,1, -)ш изотопен (г = 0,1, 2,..., 9) АН-тернару Н/ = (Т/ ; ¿,¿0, 0,1, -), тогда и только тогда, когда существует изоморфизм / : Н ^ Н/, такой, что соответственно:

0) /(ро) = Ро, /(Р1) = Р1, /(Р2) = р2,

1) / (Ро) = Ро, / (Р1 )= Р1, / (У)= УС,

2) /(ро)= Ро, /(Р2)= Р2, /(X)= XС,

3) /(X)= XС, /(У)= УС,

4) /(У) = УС,

5) /(X)= XС и п7(у) - пу/,

6) /(X) || XС и /(У) || УС,

7) /(У) || УС,

8) п7(у) - пу/,

9) /(X)= XС и п7(у) - пу/.

< Справедливость каждого утверждения теоремы устанавливается по схожей схеме. Докажем, например, утверждение 5). Пусть изоморфизм / : Н ^

Н/

удовлетворяет условию 5 теоремы 1. Тогда учитывая, что отношение смежности для направлений АН-плоскости является отношением эквивалентности, а, также применяя следствие 1, заключаем, что при данном изоморфизме / образами прямых первого рода (второго рода) [10] относительно репера Р являются прямые первого рода (второго рода) относительно репера Р'.

Поэтому определим биекции 7 и 5 соответственно условиями

7(«) = ^ Р(П[и^]) = ^„/у^ (7)

5(т) = тС ^ Р(П(т,п)) = П(т/;„/). (8)

Далее, для фиксированных элементов 6, и £ Т определим биекции ви, аь : Т ^ Т / следующим образом:

виМ = v/ ^ /([и, V]) = [Т(и)У], (9)

аь(а) = а/ ^ /((а, 6)) = (а/,во(6)). (10)

Тогда из (9) и (10) следует, что /([и, V]) = [7(и), виИ], /((а, 6)) = (аь(а), во(6)), /((т, п)) = ($(т), ао(п)). Так как отображение / сохраняет инцидентность точек и прямых имеем, что для любых а, и, V из Т 6 = ¿(а, и, V) ^ во(6) = ¿(а&(а),7(и),ви^)). Для любых 6, п из Т и любого т из Я аь(^о(6, т, п)) = ¿о (во (6), $(т), ао(п)). Таким образом Н Ш5 Н/.

Пусть теперь Н Ш5 Н /. Тогда если отображение / определить условиями /((а, 6)) = (аь(а),во(6)), /([и, V]) = [7(и),виИ], /((т,п)) = ($(т), ао(п)), то понятно, что / будет изоморфизмом Н ^

Н/

. Далее, учитывая условие теоремы, имеем, что из ¿о(0,т, п) = п следует ао(п) = ¿о(во(0), $(т), ао(п)), а значит, 0 = ¿о(во(0), $(т), 0). Отсюда во(0) = 0. Теперь из того, что во(v) = ¿(а^(а), 7(0),во^)) получаем 0 = ¿(а^(а), 7(0), 0), откуда 7(0) = 0. Поэтому /([0, 0]) = [7(0),во(0)] = [0, 0], а так как прямые второго рода определяют смежные направления, то пу(у) ф пу/.

Использование шо—Ш5 и шд изотопий позволяет решить задачу поставленную в данной статье.

Определение 4. АН-тернар Н назовем связанным с АН-тернаром

Н/

цепочкой , ...,шг, изотопий, если существуют АН-тернары Н»,Н^,... Н такие, что Н ш» Н, Н» ш^ Н,..., Н шк Н /.

Очевидно, что любые АН-тернары, связанные цепочкой ш изотопий координатизиру-ют изоморфные АН-плоскости.

Теорема 2. Для того чтобы АН-тернары Н и

Н/

координатизировали изоморфные АН-плоскости, необходимо и достаточно, чтобы их можно было связать цепочкой не более чем из четырех ш изотопий вида шо — ш5, шд.

< Достаточность очевидна. Пусть АН-плоскость Н = (Р, Р; I, ||, ф) изоморфна АН-плоскости Н' = (Р/, Р/; I, ||, ф) и АН-тернары Н и Н/ построены, соответственно, над реперами Р(ро,р1 ,р2) и Р'(ро, р!, р2) этих плоскостей. Тогда если изоморфизм / : Н ^ Н' удовлетворяет условию теоремы 1, то АН-тернары Н и Н' связаны цепочкой из одной ш изотопии. Предположим, что / не удовлетворяет условию теоремы 1.

Пусть /(ро) = до, /(р1) = 91, /(р2) = 92, а до91 = Xl и до92 = У1. Рассмотрим случай когда пу1 ф пх/. Тогда У1 П X/ = го. Выберем точки п IX/, Г2 I У1 такие, что го ф Г1 и Го ф Г2. Тогда очевидно, что тройка точек (го,г1,г2) образует некоторый репер АН-плоскости Н/. Над невырожденными тройками точек (до,91,92) и (го,Г1,Г2) построим АН-тернары Н1 и Н2, соответственно. Тогда имеем Н шо Н1, Н1 ш4 Н2, Н2 ш5 Н/ или Н2 шд

Н/

. Таким образом, АН-тернары Н и

Н/

оказываются связанными либо цепочкой

шо,ш4,ш5, либо цепочкой шо,ш4,шд изотопий.

Пусть теперь пу1 ф пх/. Рассмотрим прямую X2 = рое/. Тогда имеем, что X2 ф X/ и X2 ф У/, и поэтому пу1 ф пх2. Пусть У П X2 = го, Г1 I X2, Г2 I У1 такие, что го ф Г1 и Го ф Г2. Предположим, что $1 I X2 и «1 ф ро. Рассмотрим АН-тернары Н1,Н2 и Н3, построенные над невырожденными тройками точек (9о, 91, 92) и (го, Г1, Г2), (ро, $1,р2) соответственно. Тогда имеем Н шо Н1, Н1 ш4 Н2,Н2 шд Н3, Н3 ш4Н/.

Отсюда получаем, что в рассматриваемом случае АН-тернары Н и Н можно связать цепочкой шо,ш4,шд,ш4 изотопий. >

Следствие 2. Любые два АН-тернара АН-плоскости Н можно связать цепочкой, состоящей не более чем из трех ш4, ш5, шд изотопий.

В связи с теоремой 2 естественно возникает вопрос о возможности решения задачи, поставленной в начале статьи без применения понятия цепочки изотопий. Оказывается, что после некоторого расширения списка указанных выше ш изотопий эта задача может быть решена и в такой постановке.

Определение 5. АН-тернар Н = (Т; ¿, ¿о, 0,1, —) назовем шю изотопным АН-тернару НС = (ТС; ¿, ¿о, 0,1, -), если существуют биекции аь, в«, тт : Т ^ ТС для любого 6 из Т\Р и любых т из Р, а также биекции 7 : Т\Р ^ ТС\РС и 51, 52 : Р ^

Р/

такие,

что

(V« € Т\Р) 6 = ¿(а,«,«) ^ т0(а) = ¿(в0(6),7(«),«„(^)), (V« € Р) 6 = ¿(а,«,«) ^ во(6) = ¿о(то(а),5^«), ви(«)), (Vт € Р) а = ¿о(6, т, п) ^ то(а) = ¿(во(6), 52(т), тто(п)).

Теорема 3. АН-тернар Н = (Т; ¿, ¿о, 0, 1, -) ш1о изотопен АН-тернару Н/ =

(Т/

; ¿,¿0, 0,1, —) тогда и только тогда когда существует изоморфизм / : Н ^

Н/

такой, что /(X) = УС и /(У) = XС. < Пусть изоморфизм / : Н ^

Н/

удовлетворяет условию теоремы 3. Определим

биекцию 7 : Т\Р ^ ТС\РС условием

7(«) = ^ Р(пм) =п[и/>щ/], (11)

и биекции 51, 52 : Р ^

Р/

таким образом, что

51 (т) = тС ^ р(П[т,п]) = П(т/,„/), (12)

52(т) = т/ ^ Р(п(т,„)) = П[т/,„/]. (13)

Далее для любого 6 из Т\Р и любых т из Р определим биекции аь, в«, тт : Т ^ Т' условиями:

аь(а) = аС ^ /([6, а]) = [7(6), аС], (14)

в«(п) = пС ^ /([«,п]) = (51ЫУ), (15)

Тт(п) = пС ^ /((т, п)) = [52(т), пС]. (16)

Рассмотрим произвольную точку (а, 6) € Н. Тогда /((а, 6)) = /([0,6]) П /((0, а)) = (0,в0(6)) П [0,то(а)] = (в0(6),т0(а)). Таким образом

/ ((а, 6)) = (во (6), то (а)). (17)

Тогда из (14)-(16) имеем, что для любого « из Т\Р : /([«,«]) = [7(«), а«(«)], для любого « из Р : /([«,«]) = (5^«)^«^)), и для любого т из Р : /((т,п)) = [52(т), тт(п)]. Отсюда учитывая (17) и сохранение инцидентности, получаем, что Н ш10 Н /. Предположим теперь, что Н ш1о

Н/

. Пусть на множестве точек плоскости Н биекция / : Н ^ Н' определена условием (17), а на множестве прямых условиями:

(V« € Т\Р) /([«,«]) = [7^»], (18)

(V« € Р) /([«,«]) = (51(«),ви(«)), (19)

(Vт € Р) /((т,п)) = [52(т),тт(п)]. (20)

Тогда используя (17)-(20) можно проверить, что / будет изоморфизмом Н на

Н/

. Далее

из определения 5 следует, что 5^«) = 52 (т) = 0, а также во (6) = то (а) = 0. Поэтому /(X) = /([0, 0]) = (51(0), во(0)) = (0, 0) = У и /(У) = /((0, 0)) = [52(0), то(0)] = [0, 0] = X /.

Пусть S G T/ ф, S = D и S/ G T/ ф, S/ = D/.

Определение б. АН-тернар H = (T; t, to, 0, l, ф) назовем ш// изотопным АН-тернару H/ = (T/; t, to, 0, l, ф), если существуют биекции аь, ßu, тто : T ^ T/ для любого b из T\S, любого u из S и любого m из D и биекции y : T\S ^ T/\S/, ¿/ : S ^ D/, ¿2 : D

S/

и g : T x T ^

T/

x

T/

такие, что

(Vu G T\S) b = t(a, u, v) ^ b/ = t(a/, y(u), аu(v)), (Vu G S) b = t(a, u, v) ^ a/ = t0(b/,¿1(u),ßu(v)), (Vm G D) a = t0(b, m, n) ^ b/ = t(a/, ¿2(m), Tm(n)),

где g(a,b) = (a/,b/) ^ (a/,b/) — решение системы уравнений y = t(x, ¿2(0), T0(a)), x =

to (y, ¿i(0), ßo(b)).

Теорема 4. АН-тернар H = (T; t, to, 0, l, ф) ш/i изотопен АН-тернару H/ =

(T/

; t, to, 0, l, ф), тогда и только тогда, когда существует изоморфизм f : H ^ H/ такой, что пу (у) ф пу/.

< Доказательство этой теоремы можно провести аналогично доказательству предыдущей, если в (1т) положить f ((a, b)) = g(a,b) = (a/,b/ ). При этом, учитывая, что в данном случае f ((a,b)) = f ([0,b]) П f ((0,a)) = (¿/(0), ßo(b)) П [¿2(0), To (a)], то биек-ция g задается условием: g(a, b) = (a/,b/) ^ (a/,b/) — решение системы уравнений y = t(x,¿2(0),To(a)), x = to(y,¿i(0),eo(b)). >

Из теорем l и 4 вытекает справедливость следующего утверждения. Теорема 5. АН-тернары H и

H/

в том и только том случае координатизируют изоморфные АН-плоскости (одну АН-плоскость) , если H Ш8 H/ или H ш11 H/.

Литература

1. Luneburg H. Affine Hjelmslev-Ebenen mit transitiver Translationsgruppe // Math. Z.—1962.—V. 79.— P. 260-288.

2. Скорняков Л. А. Проективные плоскости // Успехи мат. наук.—1951.—Т. 6, № 6.—С. 112-154.

3. Скорняков Л. А. Натуральные тела Веблен—Веддербарновой плоскости // Изв. АН СССР. Сер. 13. Математика.—1949.—С. 447-472.

4. Stevenson F. W. Weakly isotopic planar ternary rings // Canad. J. Math.—1975.—V. 27.—P. 32-36.

5. Martin G. E. Projective planes and isotopic ternary rings // Amer. Math. Monthly.—1967.—V. 74.— P. 1185-1195.

6. Martin G. E. Parastrophic planar ternary rings // J. of Algebra.—1968.—V. 10.—P. 37-46.

7. Martin G. E. Projective planes and isogeic ternary rings // Mathematiche.—1968.—V. 23, № 1.—P. 185196.

8. Аргунов Б. И. Инцидентностные структуры и тернарные алгебры // Успехи мат. наук.—1982.— Т. 37, вып. 2.—С. 3-37.

9. Зотов А. К. H-изотопии тернарных колец и изоморфизмы проективных плоскостей: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—М., 1983.—??? с.

10. Шатохин Н. Л. О координатизации аффинных ельмслевовых плоскостей // Тр. семинара по ин-цидентностным структурам.—1985.—11 с. Деп. в ВИНИТИ, № 5402.

11. Шатохин Н. Л. Невырожденные гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей.—Смоленск, 1978.—?? с. Деп. в ВИНИТИ, № 2189.

Статья поступила 1 октября 2007

Шатохин Николай Леонидович Смоленский государственный университет Смоленск, 214036, РОССИЯ E-mail: [email protected]