Обобщенные тернарные кольца Холла с улучшенной смежностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 2, С. 58-62

УДК 514.74

ОБОБЩЕННЫЕ ТЕРНАРНЫЕ КОЛЬЦА ХОЛЛА С УЛУЧШЕННОЙ СМЕЖНОСТЬЮ

Шатохин Н. Л.

В работе изучаются конгруенции произвольных обобщенных тернарных колец Холла со смежностью, которые индуцируются АН-морфизмами. Описаны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы элементы кольца вступали в отношения улучшенной смежности. Введены условия, при выполнении которых фактор-алгебра по отношению к улучшенной смежности является тернарным кольцом Холла со смежностью.

Ключевые слова: проективная плоскость, аффинная плоскость, ельмслевовы плоскости, тернар, гомоморфизмы, изотопии, смежные точки, смежные прямые.

В статье рассматриваются конгруенции п произвольных обобщенных тернарных колец Холла, со смежностью СИТК [3, определение 6]), которые индуцируются их АН-морфизмами.

Эти конгруенции определяют на множестве Т произвольного СИТК отношения эквивалентности , которое является подмножеством отношения смежности ~. Следуя [1,

2], такие отношения будем называть улучшенной смежностью.

Понятия обобщенного тернарного кольца Холла со смежностью и АН-морфизма таких колец описаны в статьях [3, 4].

Пусть р — невырожденный АН-морфизм СИТК Т = (Т; г, 0,1, ~) в СИТК в Т{ =

<Т'; г, 0,1, -).

Определение 1. Отношение эквивалентности п, заданное условием

(Vа, Ь £ Т) апЬ р(а) = р(Ь), (1)

называется отношением конгруенции СИТК Т1, индуцированным АН-морфизмом р (в обозначении п(р)).

Укажем некоторые простейшие свойства конгруенций п(р).

Предложение 1. Для произвольного отношения конгруентности п(р) некоторого СИТК Т1 справедливо включение п ^^.

< Справедливость предложения 1 следует из [4, теорема 1]. >

Учитывая предложение 1, в дальнейшем вместо записи апЬ будем писать а ~п(^)6. Теорема 1. Разбиение множества Т некоторого СИТК Т\, определяемое конгруен-цией п(р), однозначно задается любым своим элементом.

< Пусть [а]п(^) — произвольный класс фактор-множества Т/п(р) с представителем а. Как известно [3, теорема 4], алгебры (Т;+) и (Т7;+) являются лупами с нейтралом 0. Рассмотрим эти лупы.

© 2008 Шатохин Н. Л.

Используя условие (1) из [3] и предложение 1 из [4], имеем, что с = а + Ь = г(1, а, Ь), а следовательно, р(с) = р(а + Ь) = р(г(1,а, Ь)) = г(р(1), р(а), р(Ь)) = г(1, р(а), р(Ь)) = Р(а) + Р(Ь).

Таким образом, р(а + Ь) = р(с) = р(а) + р(Ь), а это означает, что АН-морфизм р является гомоморфизмом лупы (Т;+) в лупу (Т7;+).

Зафиксируем элемент а £ Т и рассмотрим совокупность уравнений ж + а = Ь для произвольного Ь из [а]п(^). Предположим, что для некоторого элемента Ь это уравнение имеет корень жо. Тогда р(жо) + р(а) = р(Ь), а значит, так как р(а) = р(Ь) получаем, что р(жо) = 0. Отсюда, с учетом предложения 1 из [4], имеем, что р(жо) = 0 = р(0), а значит, ж0 £ [0]п(^). Обратно, если ж0 £ [0]п(^) и ж0 + а = Ь, то р(Ь) = р(ж0 + а) = р(ж0) + р(а) = 0 + р(а) = р(а). Таким образом, р(а) = р(Ь), а значит, Ь £ [а]п(^). Поэтому учитывая, что в лупе (Т; +) для любых а и Ь из Т уравнение ж + а = Ь однозначно разрешимо и при фиксированном а, в силу алгебраичности операции «+», различным Ь соответствуют различные корни этого уравнения получаем, что при каждом фиксированном а между множеством решений уравнения ж + а = Ь, составляющим класс [0]п(^), и элементами произвольного класса [а]п(^) существует биективное соответствие. Кроме этого класс [а]п(^) однозначно определяется любым своим представителем и классом [0]п(^). >

Из доказанной теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Мощности любых двух классов [а]п(^) и [Ь]п(^) фактор-множества Т/п (р) одинаковы.

Следствие 2. Элементы а и Ь из множества Т некоторого СИТК в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества Т/п(р), когда корень уравнения ж + а = Ь принадлежит классу [0]п(^).

Рассуждениями, аналогичными тем, которые были проведены при доказательстве теоремы 1, можно установить справедливость следующего утверждения.

Следствие 3. Элементы а и Ь множества Т некоторого СИТК в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества Т/п(р), когда корень уравнения а + ж = Ь принадлежит классу [0]п(^).

Следствие 4. Элементы а и Ь множества Т некоторого СИТК в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества Т/п(р), когда корень уравнения а + ж = Ь принадлежит классу [0]п(^).

Следствие 5. Пусть п(р) — произвольная конгруенция некоторого СИТК Т1 и пусть множество ^п(^) = [0]п(^). Тогда алгебра (^п(^); +) — подлупа лупы (^; +).

< Пусть ^1, ^2 £ ^п(^). Тогда р(^1) = р(^2) = р(0) = 0, а, следовательно, р(^1 + ^2) = р(^) + р№) = 0 = р(0), откуда (^1 + ^2) £ ^. >

Предложение 2. Рассмотрим некоторое СИТК Т1 = (Т; г, 0,1, ~) и пусть а, Ь £ Т и а ф 0. Тогда элементы а и Ь в том и только том случае принадлежат одному классу фактор-множества Т/п (р), когда корень уравнения ж ■ а = Ь принадлежит классу [1] п(^).

< Пусть а ф 0 и ж0 ■ а = Ь — верное равенство. Тогда, учитывая (3) из [3], имеем Ь = ж0 ■ а = г(ж0,а, 0). Отсюда р(Ь) = р(ж0 ■ а) = р(г(ж0, а, 0)) = г(р(ж0), р(а), р(0)) = г(р(ж0), р(а), 0) = р(ж0) ■ р(а). Итак, р(ж0) ■ р(а) = р(Ь) и, в силу теоремы 1 из [4], р(а) ф р(0), следовательно, р(а) ф 0. Отсюда, если ж0 £ [1]п(^), то р(ж0) = 1 и, следовательно, р(а) = р(Ь). С другой стороны, если р(а) = р(Ь), то р(ж0) ■ р(а) = р(а) = 1 ■ р(а), следовательно, из теоремы 4 статьи [3] вытекает, что р(ж0) = 1. Последнее означает, что

ж0 £ [1]п(^). ^

Аналогично устанавливается справедливость следующего утверждения.

Предложение 3. Пусть а ф 0. Элементы а и Ь тогда и только тогда принадлежат одному классу фактор-множества Т/п(р), когда корень уравнения а ■ ж = Ь принадлежит классу [1]п(^).

Теорема 2. Множество |п*(р)| отношений конгруентности п(р) СИТК Тъ тогда и только тогда линейно упорядочено по включению, когда для любых г и ] (г = ])

[0]п;(^) — [0]п. (^) или [0]п. (^) — [0]п. (^).

< Предположим, что множество {п (р)} — представляет собой некоторую совокупность отношений конгруентности СИТК Т1 и для любых г и ] (г = ]) имеем, что [0]п.(^) — [0]п. (^). Тогда для любого Ь £ [а]п.(^), используя следствие 2, имеем, что корень уравнения ж + а = Ь принадлежит [0]п.(^), а значит,— и [0]п.(^). Откуда в силу того же следствия Ь £ [а]п. (^), а поэтому [а]п.(^) — [а]п.(^). Справедливость обратного утверждения очевидна. >

Из предложения 1 следует, что любые два элемента принадлежащие одному классу фактор-множества Т/п(р) смежны и поэтому элементы любых двух различных классов либо смежны, либо попарно несмежны друг другу. Учитывая это, дадим следующее определение.

Определение 2. Пусть [а]п(^) и [Ь]п(^) элементы фактор-множества Т/п(р). Тогда [а]п(^) будем называть смежным [Ь]п(^) (и обозначать [а]п(^) ~ [Ь]п(^)), если найдутся такие элементы а' £ [а]п(^) и Ь' £ [Ь]п(^), что а' ~ Ь'.

Очевидно, что таким образом определенное на элементах фактор-множества Т/п(р) отношение смежности является отношением эквивалентности.

Рассмотрим теперь отношение эквивалентности п определенное на множестве Т произвольного СИТК Т1 = (Т; г, 0,1, ~), удовлетворяющее условию

(V а, Ь £ Т) апЬ ^ а ~ Ь. (2)

Примерами таких отношений являются конгруенции п(р) заданные в (1).

Учитывая, что из условия С1 С2 следует, что С1 ~ С2, а обратное, вообще говоря,

неверно, введем следующее определение.

Определение 3. Всякое отношение отличное от отношения смежности ~ будем называть отношением улучшенной смежности на множестве-носителе Т произвольного СИТК Т1.

Замечание 1. Если элементы а, Ь £ Т таковы, что а ~ Ь, но а фп Ь, то в дальнейшем будем писать а г"^ Ь.

Пусть Т/п — фактор-множество множества Т по отношению п, а ¿п — тернарная операция, определенная на этом множестве условием

г(а Ь,с) — $ ^ ([а]п, [Ь]П, [с]п) — Мп. (3)

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 4. Тернарная алгебра (Т/п; г + п, [0]п, [1]п), определенная на структуре некоторого СИТК в том и только том случае является ТК [3, определения 1-3] с нулем [0]п и единицей [1]п, когда отношение улучшенной смежности будет конгруен-цией операций г и (а, Ь, с) [3, замечание 1].

Определение 4. Пусть — отношение улучшенной смежности на множестве-носителе Т произвольного СИТК Тъ Тогда отношение , которое является конгру-енцией операций г, (а, Ь, с), г1 (а, Ь; с, $) и пары операций {г™5, } [3, (5, 10, 11)], будем

называть улучшенной смежностью кольца Т1, если выполняются следующие условия (аксиомы улучшенной смежности СИТК):

ТШ. а1 ~п Ь1, а2 ~ Ь2, г(а1,а2,аз) ~п г(Ь1,Ь2,Ьз) ^ (3а',Ь') (г £ {1,2,3}): а1 ~ а1, а! ~п Ь!, а* ~п а', Ь* ~п Ь*, (г £ {2,3}), (а!,а2,а3) ~п г(Ь1, Ь2, Ь3).

Ти2. а1 ~ Ь1, а* ~п Ь*, (г £ {2,3}), г(а1 ,а2,а3) = а4&г(Ь1,Ь2,Ь3) = Ь4 ^ (3а',Ь') (г £ {1,2, 3,4}) а2 ~ а'2, а* ~п а', Ь- ~п Ь-, а'к ~п Ь^, г(а', а'2, а3) = а4&г(Ь1, Ь'2, Ь3) = Ь4.

Понятно, что аксиомы Ти1 и ТИ2 для ~п, совпадающих с отношением равенства на множестве Т, выполняются в любом СИТК, и поэтому они играют существенную роль лишь в случае, когда ~пС~. Справедливо утверждение.

Теорема 3. Пусть дано некоторое СИТК Т1 = (Т; г, 0,1, ~). Тогда фактор-алгебра Т1/п = (Т/п; ¿п , [0]п, [1]п, ~) в томи только том случае является некоторым СИТК, если отношение ~п является улучшенной смежностью кольца Т1.

< Пусть отношение ~п удовлетворяет Ти1, Ти2 и (13-16) из [3], а тернарная операция гп определена условием (3). Тогда согласно предложению 4 тернарная алгебра (Т/п; гп, [0]п, [1]п) является некоторым тернарным кольцом ТК с нулем [0]п и единицей [1]п, и поэтому для доказательства теоремы остается установить справедливость аксиом ТН1 и ТН2 из [3].

Рассмотрим уравнение гп(ж, [а]п, [Ь]п) = гп(ж, [ж]п, [$]п) и предположим, что [а]п ф [с]п. Тогда для любых элементов а' £ [а]п и с' £ [с]п имеем, что а' ф с'. Отсюда следует, что уравнение г(ж,а',Ь') = г(ж, с', $') однозначно разрешимо в СИТК Т1, а значит, учитывая (3) и соотношение (15) из [3], получаем, что уравнение гп(ж, [а]п, [Ь]п) = гп(ж, [с]п, [$]п) однозначно разрешимо в алгебре (Т/п; гп).

Пусть теперь уравнение гп(ж, [а]п, [Ь]п) = гп (ж, [с]п, [$]п) имеет единственное решение [ж0]п. Докажем, что тогда [а]п ф [с]п. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что [ж0]п — единственное решение данного уравнения и [а]п ~ [сп]. Тогда, если [а]п = [с]п, то в силу Т1 из [3] имеем, что [Ь]п = [$]п, а значит, рассматриваемое уравнение удовлетворяется на множестве Т/п тождественно. Если же [а]п ~ [с]п, но [а]п = [с]п, то для любых а' £ [а]п и с' £ [с]п имеем, что а' ~ с'. Поэтому с учетом Ти1 имеем, что исходное уравнение имеет, по крайней мере, еще одно решение [ж1]п = [ж0]п. Таким образом, в алгебре Т1/п выполняется ТН1.

Аналогичными рассуждениями, с учетом ТИ2, можно проверить, что в Т1 /п справедлива аксиома ТН2. Следовательно, алгебра Т1/п будет некоторым СИТК. Нетрудно установить справедливость и обратного утверждения теоремы. >

Замечание 2. Из вышеизложенного очевидно следует, что исходное СИТК Т1 и СИТК Т[/п, полученное при факторизации по отношению ~п, будут иметь один и тот же канонический гомоморфный образ [3, определение 7].

Теорема 4. Пусть р — невырожденный АН-морфизм СИТК Т = (Т; г, 0,1, ~) в СИТК Т' = (Т'; г, 0,1, ~). Тогда образ р(Т1) кольца Т1 в том и только том случае является некоторым СИТК, если конгруенция п(р), СИТК Т1 индуцированная АН-морфизмом р, является улучшенной смежностью кольца Т1 .

< Справедливость данного утверждения вытекает из того, что гомоморфный образ р(Т0 СИТК Т1 = (Т; г, 0,1, ~), в случае произвольного невырожденного АН-морфизма р, изоморфен фактор-алгебре Т1/п(р) = (Т/п(р); ¿/п(^), [0]/п(^), [1]/п(^), ~). >

Литература

1. Artman B. Hvarphielmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaftsrelationen // Math. Z.—1969.— V. 112.—P. 163-180.

2. Drake D. A. Affine Hvarphielmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaften // Math. Z.—1975.— V. 143.—P. 15-26.

3. Шатохин Н. Л. Обобщенные тернарные кольца Холла со смежностью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—Ростов-на-Дону, 2008.—№ 3.—В печати.

4. Шатохин Н. Л. АН-морфизмы обобщенных тернарных колец Холла со смежностью // Межвуз. сб. научн. тр. «Исследования по краевым задачам комплексного анализа и диф. уравнениям».— Смоленск: СмолГУ, 2007.—Вып. 8.—C. 100-104.

Статья поступила 22 октября 2007 г.

Шатохин Николай Леонидович Смоленский государственный университет Смоленск, 214036, РОССИЯ E-mail: [email protected]