К понятию "середина" в аффинных плоскостях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 1, С. 10-16

УДК 512.552.32

К ПОНЯТИЮ «СЕРЕДИНА» В АФФИННЫХ ПЛОСКОСТЯХ

Е. П. Емельченков, Н. Л. Шатохин

В работе предлагается несколько подходов к определению понятия «середина» в аффинной плоскости, доказывается, что в левоальтернативной плоскости все введенные определения эквивалентны.

Ключевые слова: аффинная плоскость, плоскость трансляций, аксиома Фано.

В аффинной плоскости можно ввести понятие середины пары точек различными способами.

Определение 1. Серединой пары точек а, Ь назовем точку с = аЬ П (М П П Р), где М, N, Ь, Р — прямые, удовлетворяющие условиям: М, NI а; Ь, РIЬ; М||Р $ аЬ; N||Ь $ М,аЬ. Обозначение: с = ^[а, Ь].

Рис. 1.

а

Ь

Определение 2. Серединой пары точек а, Ь назовем точку с = e(af ПЬд) ПаЬ, где е — произвольная точка, не инцидентная прямой аЬ; дI ае; д = а,е; /1 Ье; д/1|аЬ. Обозначение: с = Б2[а, Ь].

е

Рис. 2.

© 2010 Емельченков Е. П., Шатохин Н. Л.

Определение 3. Точка с называется серединой пары точек а, 6, если существует такой перенос т плоскости, что т(а) = с и т(с) = 6. Обозначение: с = 5з[а, 6].

т т ->->

а Ь с

Рис. 3.

Определение 4. Аффинную плоскость А = (Р, Ь; I, ||) будем называть плоскостью с серединой если:

1) (Vа, 6 £ Р) (3 ! с £ Р) с = 5[а, 6];

2) (Vа, с £ Р) (з ! 6 £ Р) с = 5[а, 6].

Теорема 1. Аффинная плоскость А с серединой является плоскостью трансляций, удовлетворяющей аксиоме Фано.

< Докажем сначала, что в плоскости А для любой точки о существуют инволю-тивные коллинеации с центром в этой точке. Для этого рассмотрим преобразование а, которое каждой точке а ставит в соответствие точку а' такую, что о = 51 [а, а'].

Рис. 4. Преобразование а.

Преобразование сохраняет коллинеарность точек. Действительно, пусть а, 6, с IЬ и 6, с|а|а' (в противном случае доказательство очевидно). Тогда 6' = М П N, где МI а; М||6а'; NI а'; N||6а. Таким образом, точка 6' инцидентна прямой N, проходящей через точку а' и параллельной прямой Ь. Аналогично доказывается, что и образ с' точки с инцидентен прямой N. Следовательно, а — коллинеация. Инволютивность а следует из условия 5[а, 6] = 5[6, а].

Рассмотрим теперь коллинеацию в 0 а плоскости А, где а и в — инволютивные коллинеации с центрами а и 51 [а, 6]. Коллинеация в о а не имеет неподвижность точек, так как если бы точка с являлась неподвижной, то в(с) = а(с), и, следовательно, пара точек с и а(с) имела бы две различные середины 51 [а, 6] и а, что противоречит определению 4. Так как, кроме того, (в о а)(Ь)||Ь для любой прямой Ь плоскости А, то коллинеация в о а — параллельный перенос, переводящий точку а в точку 6. Отсюда следует, что плоскость А является плоскостью трансляций.

В плоскости А диагонали произвольного параллелограмма а6Ы всегда пересекаются, так как в противном случае пара точек а, 6 не имела бы середины.

Поэтому А является плоскостью трансляций, удовлетворяющей аксиоме Фано. >

Теорема 2. В аффинной плоскости А с серединой ¿2 для любой прямой Ь и направления П, Ь £ П, существует инволютивная коллинеация с осью Ь и направлением П.

< Пусть даны прямая Ь и направление П, Ь £ П. Рассмотрим отображение а точек плоскости А на себя, переводящее точку а в точку а' такую, что аа' £ П и ¿2 [а, а'Д Ь . Инволютивиость отображения а следует из условия 52[а, 6] = Й2[6, а].

Докажем, что а сохраняет коллинеарность точек. Пусть ж, у, г — три точки, инцидентные одной прямой М. Предположим сначала, что М £ П и М $ Ь. Положив в определении 2 а = ж, Ь = ж', д = у, е = МП Ь, получим, что ^[д, /] £ Ь и д/ £ П, т. е. что у' = а(у) = /. Следовательно, образ точки у принадлежит прямой ж'(М П Ь). Аналогично показывается, что образ точки г принадлежит этой же прямой. Отсюда вытекает, что прямая М, пересекающая прямую Ь и не принадлежащая направлению П, переходит в прямую М', также пересекающую прямую Ь. В случае М £ П доказательство очевидно. Если же теперь М||Ь, то, предположив, что точки ж', у', г' не коллинеарны, получаем, что хотя бы одна из прямых ж'у' или ж'г' не параллельна Ь. Однако этого быть не может, так как в силу доказанного выше и инволютивности отображения а отсюда следует, что М $ Ь.

Таким образом, а является инволютивной коллинеацией с осью Ь и направлением П.

Замечание 1. Из условия 2) определения 4 следует, что в плоскости с серединой осевая инволютивная коллинеация однозначно определяется осью и направлением, а в аффинной плоскости с серединой нейтральная инволютивная коллинеация однозначно определяется центром.

Действительно, пусть а — центральная инволютивная коллинеация с центром о, переводящая точку а в точку а', и М, N — две различные прямые, отличные от прямой аа'. Прямые М и N, очевидно, переходят в прямые М' и N такие, что М||М', N М'; N'|а'. Точка а пересечения прямых М и N' переходит в точку пересечения прямых М' и Поэтому точка о инцидентна прямой ЬЬ'. Так как, кроме того, точка о инцидентна прямой аа', то по определению 1 следует, что о = ^[а, а'], т. е. для любой инволютивной центральной коллинеации а аффинной плоскости А с серединой центр коллинеации является серединой пары а и а(а).

Для случая осевой коллинеации доказательство аналогично.

Замечание 2. Инволютивную центральную коллинеацию с центром о и инволютив-ную осевую коллинеацию с осью Ь и направлением П будем называть также соответственно симметрией с центром в точке о и симметрией с осью Ь и направлением П.

Теорема 3. Аффинная плоскость А с серединой является плоскостью с серединой . При этом

(V а, Ь £ Р) Й1[а,Ь] = [а, Ь].

< Пусть а, Ь — произвольные точки плоскости А, Ь — прямая, инцидентная точке с = Й2[а,Ь] и не параллельная прямой аЬ. Рассмотрим симметрию а с осью Ь и направлением Паь. Выберем на прямой Ь точку д, отличную от точки ¿^[а, Ь]. Тогда прямая М, М|| ад; МIЬ, пересекающая ось Ь в точке /, переходит при симметрии а в прямую /а, параллельную прямой Ьд.

Ь

Таким образом, точка с является точкой пересечения диагоналей параллелограмма а/6^ и, следовательно, по определению 1 с = 51 [а, 6]. Так как выполнение условий 1) и 2) определения 4 для середины 51 следует из их выполнения для середины 52, то А является аффинной плоскостью с серединой 51.

Теорема 4. Если А — аффинная плоскость с серединой 51, в которой выполняется аксиома Фано, то А является плоскостью с серединой 52 и

(V а, 6 £ Р) 51 [а, 6] = 52[а, 6].

< Известно [1, теорема 5.7.4], что в плоскости трансляций, в которой выполняется аксиома Фано, выполняется аксиома о четвертой гармонической. Поэтому середина 52 удовлетворяет условиям 1) и 2) определения 4, т. е. А является аффинной плоскостью с серединой 52. В силу 3 для любой пары точек а и 6 51 [а, 6] = 52 [а, 6]. >

Теорема 5. Аффинная плоскость А с серединой 52, в которой выполняется аксиома Фано, является левоальтернативной плоскостью.

< Из теорем 3 и 1 следует, что А — плоскость трансляций. Из теоремы 2 следует, что для любой прямой Ь и любого направления П, Ь £ П, в плоскости существует симметрия а с осью Ь и направлением П.

Докажем теперь, что композиция двух симметрий а1 и а2 с общей осью Ь и различными направлениями П1 и П2 соответственно является сдвигом с осью Ь.

Действительно, выберем прямые М и N так, что М £ Щ, N £ П2, М П NIЬ, и рассмотрим параллелограмм ое1вв2 такой, что о = МПN; в! IМ; в! = о; в1в||Ь; еIN; вв2||М; в21Ь (рис. 6). Три точки о, в1, в2 определяют тернар Ж, координатизирующий аффинную плоскость А. В этом тернаре точки о, е1 , е2, е имеют соответственно координаты (0, 0), (1, 0), (0,1), (1,1).

Так как А является плоскостью трансляций, то тернар Ж удовлетворяет условиям:

1) Т(а, 6, с) = а х 6 + с;

2) (Р, +) — абелева группа;

3) а х (6 + с) = а х 6 + а х с.

В плоскости А существует симметрия а с осью N и направлением Пе1е2. Так как 51 [в1, в2] IN, то а(в1) = в2. Симметрия а действует на точки и прямые плоскости А следующим образом:

(0,1) - (1,0),

(0,0) - (0,0),

ж = 0 - У = 0,

(а, а) — (а, а),

ж = а — У = а

У = 6 — ж = 6,

(а, 6) — (6, а),

(0,0) - (0,0),

(1, а) - (а, 1),

у = а х ж - у = а-1 х ж,

(Ь, а х Ь) - (а х Ь, Ь).

Так как коллинеация а сохраняет инцидентность точек и прямых, то

Ь=а

-1 1

Отсюда, положив Ь = а обладает свойством:

-1, г ,

получаем а1-1

х (а х Ь).

1

= а . Следовательно, тернар Ж

1

х (а х Ь) = Ь.

Точки (1, 0) и (0,1) при симметрии а переходят соответственно в точки (0,1) и (1, 0). Поэтому прямая у = (-1) х ж + 1 принадлежит направлению П коллинеации а. Отсюда, в частности, вытекает, что точки (1, -1) и (-1,1) инцидентны прямой у = (-1) х ж и, следовательно, (0, 0) = Й2[(1,-1), (-1,1)]. Рассматривая теперь параллелограмм (-1, -1)(1, -1) (1,1)(-1,1), по определению 1 получаем, что (0, 0) = ¿1 [(-1, -1), (1,1)]. Поэтому симметрия а2 с осью ж = 0 и направлением Пу=х действует на точки и прямые плоскости А следующим образом:

(1,1) - - (-1,-1),

(ж = 0) - ж = 0,

ж = 1 - ж = -1,

у = ж+ а - + у = ж + а,

(1,1 + а) - * (-1,-1 + а),

(1, а) - » (-1,-1 - 1 + а),

(0, а) - * (0, а),

у = а - + у = (1 + 1) х ж + а,

у = ж - » у = ж,

(а, а) - (-а, -а),

ж = а - + ж = -а,

у = Ь - » у = (1 + 1) х ж + Ь,

(а, Ь) - (-а, (1 + 1) х (-а) + Ь)

Итак, симметрия а2 произвольную точку (ж, у) переводит в точку (-ж, (1 + 1) х (-ж) + у). Аналогично доказанному выше получаем, что

(0, 0) = ¿1 [(1, 0), (-1, 0)].

Поэтому симметрия а1 с осью ж = 0 и направлением Пу=о действует на точки и прямые плоскости А следующим образом:

(-1,0) - - (1,0),

(0,1) - - (0,1),

у = ж+ 1 - * у = (-1) х ж + 1,

(0, а) - * (0, а),

у = ж+ а - + у = (-1) х ж + а,

у = Ь+а - + у = Ь + а,

(Ь, Ь + а) - » (-Ь, Ь + а),

т. е. симметрия а1 переводит произвольною точку (ж, у) в точку (-ж, у).

Композиция а2 о а1 симметрии а1 и а2 точку (ж, у) переводит в точку (ж, (1 + 1) х (-ж) + у). Отсюда следует, что композиция а2 о а1 является сдвигом с осью ж = 0.

Итак, композиция двух симметрий с общей осью Ь и различными направлениями является сдвигом с осью Ь.

Нетрудно доказать теперь, что в плоскости А для любой прямой Ь и любых двух точек а и 6 таких, что а6||Ь, а, 6 { Ь, существует сдвиг с осью Ь, переводящий точку а в точку 6. Действительно, пусть а — симметрия с осью Ь и произвольным направлением, в — симметрия с осью Ь и направлением Па(а)Ь. Следовательно, композиция в 0 а является сдвигом с осью Ь, переводящим точку а в точку 6.

Таким образом, плоскость А является левоальтернативной.

Теорема 6. Аффинная плоскость А, в которой выполняется аксиома Фано, является плоскостью с серединой 52 тогда и только тогда, когда А — левоальтернативная плоскость.

< Необходимость доказана в теореме 4.

Достаточность. Пусть А — левоальтернативная плоскость, в которой выполняется аксиома Фано. Тогда в этой плоскости выполняется аксиома о четвертой гармонической и поэтому для каждой пары точек а, 6 середина с = 52[а,6] существует и определена однозначно. Отсюда же следует и выполнение условия 2) определения 4. Таким образом, А является аффинной плоскостью с серединой 52. >

Теорема 7. Аффинная плоскость А, в которой выполняется аксиома Фано, тогда и только тогда является плоскостью с серединой 5з, когда А является левоальтернативной плоскостью.

< Необходимость. Пусть А является плоскостью с серединой 5з. Тогда из условия 2) определения 4 следует, что для любых двух точек а и 6 существует перенос т, переводящий точку а в точку 6. Поэтому А является плоскостью трансляций. Так как, кроме того, в А выполняется аксиома Фано, то в плоскости А выполняется аксиома о четвертой гармонической. Отсюда следует, что А является аффинной плоскостью, удовлетворяющей аксиоме Фано, и, следовательно, по теореме 5 А — левоальтернативная плоскость.

Достаточность. Пусть А — левоальтернативная плоскость. Так как в этой плоскости для любой пары точек а и 6 существует перенос, переводящий точку а в точку 6, то условие 2) определения 4 для середины 5з выполняется.

Докажем теперь, что для произвольной пары точек а и 6 существует середина 5з и причем только одна. Введем тернар Ж так, чтобы точки а и 6 имели соответственно координаты (0, 0) и (0,1). Тогда перенос т, действующий следующим образом:

(ж, у) — (ж, У + (1 + 1)-1),

переводит точку (0, 0) в точку (0, (1 +1)-1), а точку (0, (1 +1)-1 — в точку (0, (1 +1)-1 + (1 + 1)-1) = (0,1). Таким образом, для любой пары точек а и 6 существует середина 5з[а,6].

Единственность середины с = 5з[а, 6] пары точек а, 6 следует из того, что перенос т, переводящий точки а = (а1,а2) и с = (с1,с2) соответственно в точки с и 6 = (61,62), однозначно определяется условиями:

с1 = а1 + жо, с2 = а2 + уо, 61 = с1 + жо, 62 = с2 + уо.

Действительно, из этих условий следует:

bi = ai + xo + xo, 61 — a1 = x0 + x0, 61 — a1 = (1 + 1) x x0, xo = (1 + 1)-1 x (61 — a1).

Аналогично получаем: yo = (1 + 1)-1 x (62 — a2). Следовательно, перенос т однозначно определяется формулами:

x' = x + (1 + 1)-1 x (61 — a1), y' = У + (1 + 1)-1 x (62 — a2). >

Литература

1. Pickert G. Projective Ebenen.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1955.—viii+343 p.

Статья поступила 16 мая 2008 г.

Емельченков Евгений Петрович Смоленский государственный университет, зав. каф. информатики

РОССИЯ, 214000, Смоленск, ул. Пржевальского, 4 E-mail: [email protected]

ШАтохин Николай Леонидович Смоленский государственный университет, доцент каф. математики

РОССИЯ, 214000, Смоленск, ул. Пржевальского, 4 E-mail: [email protected]

TO CONCEPT «MIDDLE» OF AFFINE PLANES Yemelchenkov Y. P., Shatohin N. L.

Some approaches to the definition of «middle» in an affine plane are offered; it is proved that in any leftalternative plane all given definitions are equivalent.

Key words: an affine plane, a plane of translations, Fano axiom.