О некоторых функциях гипергеометрического типа, встречаюшихся в механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том I 19 7 0

№ 6

УДК 629.735.45.015.016.86

О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В МЕХАНИКЕ

Е. С. Вождаев

Рассматриваются свойства следующих функций:

я/2

£/»(*)=/ (Vl-X9ln*<e)mdr,

о

тс/2

dy>

б (/1 — ХЯ1П2?)т '

На основе выражения этих функций через гипергеометрическую функцию установлено свойство обратимости интеграла Кт+2(г) в ин' теграл Ет(х), приводятся рекуррентные соотношения для рассматриваемых функций, даются их выражения через полиномы и элементарные трансцендентные функции, а также через полные эллиптические интегралы I и И родов. Даны также формулы дифференцирования и интегрирования, дающие результаты этих операций в виде комбинаций функций Ет(х) и Кт(х)-

В статье изучаются свойства функций

тс/2

(■*) = j (V'—x sin2 ср )т dy

О

d

(от = 1, 2, 3,. . .),

встречающихся в различных приложениях механики. В частности, они используются при рассмотрении следующей задачи дисковой теории несущего винта вертолета. _

Предположим, что вокруг оси Т| неподвижной декартовой системы координат OSh)£ вращается 6-лопастный винт с угловой скоростью ш (фиг. 1). Плоскость вращения винта ££ образует с направлением скорости невозмущенного потока V произвольный угол атаки а. Лопасть винта схематизируется радиальным отрезком несущей ЛИНИИ с переменной по длине циркуляцией Г = Г (о).

Требуется определить проекцию на ось т) вектора скорости, индуцируемой вихревой системой винта в произвольной точке М плоскости 5С с координатами £ = — г cos ф, т) = 0, l. = г sin ф.

(0<*< 1),

(1)

Искомую проекцию обозначим через v=>v(r, ф). Введем безразмерные параметры

Коэффициенты ряда Фурье (2) в рамках линейной вихревой теории винта имеют вид

Соотношения (3) с точностью до постоянного множителя определяют гармоники индуцированной скорости от так называемого элементарного винта и являются функциями только р* и п, что удобно при их табулировании или графическом представлении. Эти функции для любого целочисленного и могут быть представлены через функции (I) в замкнутом виде. В этом нетрудно убедиться, если положить х = 4 р*/(1 -)- р*)2, 0 = л-|-2<р. Такое преобразование приводит интегралы Кс „ при нечетных п и интегралы К3 „ при четных п к функциям (1) с нечетными /и, В остальных случаях интегралы (3) приводятся к функциям (1) с четными т.

Г

V

ш/?2

и>Ц

и представим функцию V = V (г, ф) в виде ряда Фурье

00

(2)

\

\

Фиг. 1

где

(3)

I)

О

£ = V ^ + Р* — 2 Р* сое 0, р* = 4-• г

Тп(р) и ип (р) — полиномы Чебышева I и II родов по параметру

Анализ свойств функций (1) дан ниже на основе единого подхода, связанного с представлением этих функций через гипергеометрическую функцию. Устанавливается свойство обратимости интеграла Кт+ 2 (•*) в интеграл Ет(х), приводятся рекуррентные соотношения для рассматриваемых функций, даются их

выражения через полиномы и элементарные трансцендентные функции (при четных т), а также через полные эллиптические интегралы I и II родов (при нечетных т).

В связи с необходимостью в приложениях дифференцировать и интегрировать функции (1), приводятся формулы, дающие результаты этих операций

в виде комбинаций функций (I). Поведение функций (I) при т = 1, 2.............12

иллюстрируется фиг. 2 и 3. Для интегралов (1), не выражаемых в элементарных ■функциях, составлены таблицы (табл. 1 и 2).

Представление функций Ет(х) и Кт (х) через гипергеометрическую функцию. Функции (1) удовлетворяют гипергеометрическому дифференциальному уравнению Гаусса

х(1 — х)у" (х) + [^ — (а + р + \)х]у' (х) —а$у (х) = О,

■если

при у (х) = Ет (х), при у(х) = кт (*),

Р = 7-1.

£,(*); К3{х)

(4)

Таблица 1

X Е, Л-з X Е3 к3

0,00 1. 57079 1,57079 0,50 1,04163 2,70129

02 54732 1,59481 52 1,02321 2,79272

04 52403 1,61976 54 1,00502 2,89179

06 50091 1,64570 56 0,98707 2,99952

08 47798 1,67271 58 0,96937 3,11712

0,10 45523 1,70084 0,60 0,95192 3,24607

12 43266 1,73018 62 0,93473 3,38812

14 41028 1,76079 64 0,91778 3,54542

16 38809 1,79279 66 0,90111 3,72062

18 36608 1,82625 68 0,88471 3,91705

0,20 34427 1,86129 0,70 0,86857 4,13890

22 32266 1,89803 72 0,85273 4,39154

24 30124 1,93660 74 0,83717 4,68200

26 28001 1,97714 76 0,82191 5,01964

28 25899 2,01982 78 0,80695 5,41719

0,30 23817 2.06480 0,80 0,79231 5,89245

32 21755 • 2,11230 82 0,77799 6,47110

34 19714 2,16254 84 0,76401 7,19160

36 17694 2,21575 86 0,75038 8,11427

38 15695 2,27224 88 0,73711 9,33951

0,40 13718 2,33232 0,90 0,72423 . 11,04775

42 11762 2,39635 92 0,71175 13,59922

44 09829 2,46475 94 0,69971 17,83310

46 07917 2,53800 96 0,68813 26,26255

48 06029 2,61662 98 0,67708 51.42972

0,50 04163 2,70129 1,00 0,66666 оо

— 1, — — — —

Еь(хУ, К6(х)

Таблица 2

X Еъ Кь х . Еь Л-5

— 0,

0,00 1,57079 1,57079 0,50 84476 4,16652

02 1,53197 1,61112 52 82541 4,44101

04 1,49401 1,65367 54 80672 4,74963

06 1,45693 1,69863 56 78869 5,09853

08 1,42071 1,74619 58 77129 5,49532

0,10 1,38534 1,79658 0,60 75453 5,94952

12 1,35081 1,85003 62 73839 6,47317

14 1,31713 1,90681 64 72286 7,08169

16 1,28427 1,96724 66 70793 7,79509

18 1,25224 2,03166 ’ 68 69358 8,63972

0,20 1,22102 2,10043 0,70 67982 9,65086

22 1,19061 2,17399 72 66662 1,08767-1О1

24 1,16100 2,25284 74 65397 1,23842-101

26 1,13217 2,33750 76 64186 1,42693-101

28 1,10413 2,42861 78 63027 1,66726-101

0,30 1,07686 2,52688 0,80 61920 1,98078-101

32 1,05035 2,63312 82 60863 2,40122-101

34 1,02461 2,74826 84 59854 2,98442-101

36 0,99961 2,87340 86 58892 3,82847-101

38 0,97534 3,00977 88 57976 5,11885-101

0,40 0,95181 3,15884 0,90 57104 7,24232-101

42 0,92899 3,32231 92 56273 1,11211-102

44 0,90689 3,50219 94 55483 1,94363-1О2

46 0,88550 3,70087 96 54731 4,30083-102

48 0,86479 3,92118 98 54016 1,6927Ы0з

0,50 0,84476 4,16652 1,00 53333 оо

— — — — 0, —

и в’ силу этого являются гипергеометрическими функциями частного типа: л / т 1 \ тс Г • 1

Ет С*) = ~2 р [ — ~2~ ■ ~2 > 1 • хI = “2” [1 ~ 2^(ТТУ2 тх

1-3

1-3-5

+ 24. (2!)2 т(т-2) .у- — у т (т — 2) (т — 4) *з _|--

1 \ л Г. . 1

~2~ ’ '■ ■*) = Т

Кт(х) — 2 ^ \ 2 1-3

1 +

2* (1! )2

тх +

1 -3-5

+ 24 (2!)2 да (т + 2) х2 + 26 ^3^2 и(« + 2)(»1-1- 4) Ж3 ■

(5)

(6)

Свойство обратимости. При условии (4) известное гипергеометрическое тождество [2] преобразуется к виду

т + 2

(1/1 + -*}

Р1 т 1 1 I

т +1 г| — 9 > 9 • * > ■* I •

откуда и следует свойство обратимости

^т+2^х)— (у~~— х)т+1 Ет^'

(7)

Формула (7) позволяет вместо интеграла ЛГт_|_2 (■*)• неограниченно возрастающего при лг-> 1, рассматривать более простой интеграл Ет(х) без особенностей с одновременным понижением степени т на две единицы.

Рекуррентные формулы. Исходим из гипергеометрического тождества с постоянными параметрами ^ и 7 [3] и условий (4):

Для функции Кт-2 (х) рекуррентная формула на основании (7) и (8) имеет

вид

Функции Ет(х) и Кт(х) при четных индексах т = 2п(п = 1, 2,...). Ряд (5) при т = 2 п превращается в полином

Для определения полиномов (10) при больших п удобно пользоваться также рекуррентной формулой (8).

Функция (6) при т = 2п представляется бесконечным степенным рядом

откуда следует рекуррентная формула

(8)

Кт+а (л) - (1Л-_)т+1

Г т — 1 т — 2 1

[-Щ- (2 х) Ет_2 (х) - (1 -х) £т—4 М] • (9)

(10)

где

(2ч - 1)!! = ЬЗ.5.. . , (2 V — 1);

— биномиальный коэффициент. Для низших индексов п согласно (10) имеем

Еп(х) = -у-,

или на основании (7) и (10) соотношением

^гя+гМ ~ л ----------Х-)2п+1 ( 1 + У, а./1 х> ) ■ (11)

Для низших индексов п согласно (11) имеем

“ 2 14 1 £

тс 1

“ 2 (VI-X?

« 1

" 2 (VI - *Т

тс 1

“ 2 (Г\-хУ

71 1

1-~2-х

1 —х + _|_-дс2

3 9 5 \

— 2 -*+-8--*2_Тб *3]-

д 5 35

К1о(х) = ^(УТ±^[1-2х+Тх2-Тх3 + -64х4

При больших индексах п удобно также пользоваться рекуррентной формулой (9).

Функции Ет(х) а Кт(х) при нечетных индексах т = 2п — 1 (я = 1, 2,...). В этом случае интегралы (1) не выражаются в элементарных функциях. При х -С 1 эти интегралы целесообразно приближенно заменять отрезками рядов (5) и (6). При значениях х, близких к единице, пользоваться этими рядами затруднительно вследствие их медленной сходимости. Представим интегралы (1) через полные эллиптические интегралы Е и К с модулем Vх.

Пользуясь обозначениями

_ 2л - 2 ,0 . , 2я — 3 „

2Л~1 ~ 2/Г— 1 ( “ Х)' &ал-1 = 2и-1 ( }

и формулой (8), получаем

^2/1—1 {х) = 02/1—1 Е &2П—1 (12)

где

е2п-1 = а2п-1 е2п-Ъ~ Ь2п—\ е2п—5'

*2л-1 — а2п-1 *2я-3 — *2/1-1 *2/1-5’

(П = 3, 4, 5, . . .)

причем е1 = 1, к, = 0, е3 = а3, к3 = Ь3.

При п=1, 2, 3 справедливы соотношения Ег(х)=Е,

£з(*) = 4~[2 (2 — лг) Е — (1 -л)К],

Еъ (х) = {[8 (2 —дг)* — 9(1 - дг)]Е -4(2— л:)(1 - л:) К}.

Функции #2/1+1 (•*) на основании (7) будут иметь вид

К2п+1(х) = (1-хГп Е2п_г(х). (13)

Формулы дифференцирования. Исходим из следующего легко доказываемого соотношения:

(—1)* ( ” ) ^ (а + п - к, р, 7, х)

“ с/ а V4

ЩГр(а, р, 7, х) = ^г^

к= 0

где

(а)„ = а(а + 1). . . (а + И — 1).

Задавая параметры а, ? и ц в соответствии с (4), выражаем я-е производные функций (1) в виде комбинаций этих же функций: ...............

п

*„(,)= 4г-"£

<1хп

к=О

(-1)*

К

т+2п-2к

_2 ь (-*) •

(14)

В частности, при я= 1 имеем

й т

Ет {х) = 2 ^ [£/п (-*) Ет_2 (х)]»

й т

Ох Кт(*) — 2~х №т+‘1 (х) — Кт (•*)]■

Раскрывая при х = 0 неопределенность типа -А в формулах (14), получаем

— р Л. / т \ I ]

Лхп Ет(°)~ 2п!^- 2 ]Д 2 В частном случае я = 1 имеем

Лп 7г { т \ I I

ахп Кт (0) = 2^г у

Формулы интегрирования. Пользуясь формулами дифференцирования, можно получить ряд формул интегрирования выражений, содержащих функции (I) Приведсм некоторые из них (т, п — 1, 2, 3, ...):

(• 2 х т г

J Ет (х) /1х = — Ет (х) -|- т 2 J Ет_2 (л:) (1х,

| А-ш+2 (д:) йх = -^Кт (х) + 1 Кт (х) йх,

/ 1Л> 1<х = 2 ^ ) ~/ л ‘/С„

(дг) йл:,

где V — произвольное действительное число,

п

/

£2л+1 —2Т+Т ^ £2* + 1 (■*) + 2 я + 3 Ю +•*) Е —(1 — -*) К],

А = 1

/

2 л: ^ 2

А-2л+1 (л) й* = 2п^Т £ *»-! <*) - -27ГТТ [Е - (1 - х) К].

Ь=1

ЛИТЕРАТУРА

1. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М., Физмат-гиз, 1961.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. I — III. М., Физматгиз, 1967.

Рукопись поступила 1611У 1970 г.

11 — Ученые записки № 6