CC BY
27
УДК 511.52
О НЕКОТОРЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ
А. В. Сенашова1, В. И. Сенашов2
1Средняя общеобразовательная школа № 10 им. академика Ю. Овчинникова с углубленным изучением отдельных предметов Российская Федерация, 660017, г. Красноярск, ул. Ленина 114 2Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, ул. Академгородок 50/44 E-mail: [email protected], [email protected]
Дан обзор диофантовых уравнений и приведены способы решения некоторых диофантовых уравнений, не вышедшие в курс средней школы.
Ключевые слова: диофантово уравнение, группа решений, уравнение Пелля, гипотеза Ферма, цепная дробь.
ON SOME DIOPHANE EQUATIONS
A. V. Senashova1, V. I. Senashov2
Secondary school № 10 named Academician Y. Ovchinnikov with in-depth study of individual subjects 114, Lenin Str., Krasnoyarsk, 660017, Russian Federation Institute of Computational Modeling of Siberian Branch of RAS 50/44, Akademgorodok Str., Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]
The report provides an overview of Diophantine equations and describes ways to solve some Diophantine equations that did not go to secondary school.
Keywords: Diophantine equation, group of solutions, Pell's equation, Fermat's hypothesis, continued fraction.
Определение. Диофантово уравнение - это уравнение вида
P (*1, - ,*m ) = 0,
где P - полином с целыми коэффициентами, а переменные xt принимают целые значения [1].
Такие уравнения названы в честь древнегреческого математика Диофанта.
Например, для двух переменных диофантово уравнение будет выглядеть следующим образом
aj xn + aj xn-1 y + — + anyn = 0.
Диофант Александрийский - древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры».
В школьном учебнике «Алгебра» за 8 класс авторов А. Г. Мерзляк и В. М. Поляков [2] имеется задача
17.29. Решить в целых числах уравнение 1) x2 - 3y2 = 17. Рассмотренное уравнение относится к диофантовым уравнениям.
Как легко показать при помощи сравнения по модулю 17, уравнение не имеет решений в целых числах, но если бы оно их имело, то нас заинтересовал вопрос: как такое уравнение можно было бы решить?
Секция «Автоматика и электроника»
В докладе будут изложены несколько вариантов решения уравнений такого вида. Приведены примеры решения аналогичных уравнений в случае, когда имеются нетривиальные решения.
При решении уравнений такого типа будет использовано вспомогательное уравнение, которое носит уравнение Пелля.
Частный случай диофантова уравнения
X2 - пу2 = 1 (1)
называется уравнением Пелля, где п - натуральное число, не являющееся квадратом. Это уравнение мы использовали при решении нашей задачи.
Если п является полным квадратом, то у уравнения (1) нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов
2 2 2 т
х - ту = 1,
п = т2, т - натуральное число, и ее можно разложить на множители
(х - ту)(х + ту) = 1.
Число 1 можно представить в виде произведения двух сомножителей либо 1 и 1, либо -1 и -1. В первом случае х = 1, у = 0, во втором случае х = -1, у = 0, что объясняет ограничение на параметр п.
Упоминание об уравнениях, которые сейчас принято называть уравнениями Пелля, были найдены уже в работах математиков Древней Греции и древней Индии (XII век). В общем виде эту задачу сформулировал великий французский математик Пьер Ферма (XVII век): если дано произвольное число, которое не является квадратом, то найдется также и бесконечное количество таких квадратов, что если этот квадрат умножить на данное число и к произведению добавить единицу, то результат будет квадратом. Ферма утверждал, что умеет это доказывать, однако этот результат не был опубликован. Гипотезу Ферма доказал в конце XVIII века французский математик Жозеф Луи Лагранж. Леонард Эйлер (швейцарский, немецкий и российский математик) ошибочно приписал авторство этих уравнений Джону Пеллю [3].
В книге В. О. Бугаенко [3] разбирается пример решения уравнения Пелля х2 - 2у2 = 1.
Там же доказывается следующая теорема: Все нетривиальные положительные решения этого уравнения получаются многократным умножением основного (минимального положительного ненулевого) решения на себя.
При помощи геометрического метода, привлекая лемму Минковского о выпуклом теле, в книге [3] доказывается существование нетривиального решения любого уравнения Пелля.
Также в [3] В. О. Бугаенко показывает, как получить нетривиальные решения уравнения Пелля при помощи теории цепных дробей. А именно, решениями являются числители и знаменатели подходящих дробей. Чтобы использовать этот метод, необходимо знакомство с теорией цепных дробей.
Немного другой метод решения уравнения х2 - 2у2 = 1 предлагается в работе [4]. Там же разбирается решение уравнения х2 - 3у2 = 1 и доказывается теорема, позволяющая находить все
2 2
решения уравнения х - 2у = 7. В статье [5], являющейся продолжением статьи [4], доказывается теорема о существовании решения любого уравнения Пелля, И, наконец, в следующей статье [6] (которая есть продолжение статей [4] и [5]) дается четыре доказательства теоремы о том, что уравнение Пелля имеет хотя бы одно решение в натуральных числах. В том числе и способ, использующий теорию цепных дробей, как у В. О. Бугаенко (см. [3]).
В работе [7] А. О. Гельфонд доказывает, что если система х2 - Ау2 = С имеет нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений.
В докладе представлен обзор диофантовых уравнений. Будут продемонстрированы способы решения некоторых диофантовых уравнений, не вошедшие в программу средней школы.
Библиографические ссылки
1. Википедия. Свободная энциклопедия. ЬйрБ:// ru.wikipedia.org/wiki.
2. Мерзляк А.Г., Поляков В.М. Алгебра: 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций. М. : Вентана-Граф, 2018. 384 с.
3. Бугаенко В.О. Уравнения Пелля. Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 13. М. : МЦНМО, 2001. 32 с.
4. Сендеров В., Спивак А. Уравнения Пелля // Квант. 2002. № 3. С. 3-9.
5. Спивак А. Уравнения Пелля // Квант. 2002. № 4. С. 5-11.
6. Спивак А. Уравнения Пелля // Квант. 2002. № 6. С. 11-15.
7. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. Серия «Популярные лекции по математике». Вып. 8. М. : Наука, 1983.
© Сенашова А. В., Сенашов В. И., 2019
