О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 24 (162). Физика. Вып. 5. С. 34-39.

И. П. Попов

О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Рассмотрены некоторые аспекты магнитоэлектрического взаимодействия, а именно: напряженность в любой точке вихревого электрического поля, созданного элементом магнитопро-вода с изменяющимся магнитным потоком; сила, действующая со стороны электрического поля на элемент магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком; полная производная магнитных потоков; закон Ома для замкнутой цепи потока электрического смещения; магнитоэлектрическая индукция. Определена сила взаимодействия двух магнитопроводов с изменяющимися магнитными потоками. Введено понятие диэлектрического сопротивления.

Ключевые слова: полная производная магнитных потоков, цепь потока электрического смещения, магнитоэлектрическая индукция, диэлектрическое сопротивление.

1. Введение. Физический объект, создающий силовое поле, в свою очередь подвержен воздействию со стороны такого поля. Тело, обладающее массой, электрический заряд и проводник с током испытывают пон-деромоторное воздействие со стороны соответственно гравитационного, электрического и магнитного полей. Это обстоятельство, равно как и дуальность соотношений для электрического и магнитного полей, позволяют сделать вывод о существовании силы, действующей на магнитопровод с изменяющимся магнитным потоком со стороны электрического поля, в том числе созданного изменяющимся магнитным потоком в другом магнитопроводе. Определение этой силы связано, в том числе с необходимостью расчета вихревого электрического поля в любой точке пространства.

Использование этой силы может быть положено в основу создания новых типов электрических машин [1].

2. Напряженность вихревого электрического поля. В любой точке электрического поля, созданного элементом магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком Ф, напряженность его ёЕ прямо пропорциональна длине элемента производной потока по времени йФ/й1, синусу угла ф между направлением магнитного потока и радиусом-

вектором г, проведенным из элемента магнитопровода в эту точку, и обратно пропорциональна квадрату расстояния r (r = |г|), т. е.

d Ф) dl sin ф

dE = I --

dt ) 4n r

dE = | - —1-^t [dr].

1 dt ) 4n r3 L J

(1)

Вектор ёЕ перпендикулярен плоскости, содержащей элемент магнитопровода и радиус-вектор г, а его направление определяется в соответствии с законом Фарадея и правилом Ленца — по правилу левого или правого винта. Если магнитный поток возрастает, нужно применять правило левого винта, если уменьшается — правого. Острие винта совмещается с направлением магнитного потока, тогда вращение рукоятки совпадет с направлением электрического поля.

Можно пользоваться только правилом левого винта. Острие винта совмещается с направлением производной магнитного потока по времени, тогда вращение рукоятки совпадет с направлением электрического поля.

Справедливость соотношения (1) обосновывается следующим.

Рассмотрим два не связанных между собой вихревых поля — электрическое и магнитное.

Пусть электрическое поле создано элементом магнитопровода круглого сечения с изменяющимся магнитным потоком. Длина элемента — dll, а площадь поперечного сечения — S1.

Магнитное поле создано элементом проводника круглого сечения. По проводнику протекает электрический ток проводимости. Ток смещения отсутствует. Длина элемента — dl2, площадь поперечного сечения — S . 2

Пусть

dl1 = dl2, S1 = S2.

(2)

Изоморфность в математическом смысле магнитного и вихревого электрического полей, описываемых соответственно первым и вторым уравнениями Максвелла

rot H = j, (3)

rot E = - —, dt

(4)

в сочетании с условием (2) определяют идентичность пространственных конфигураций этих полей. Следовательно, для любых взаимно отображаемых друг на друга в смысле гомоморфности точках электрического и магнитного полей выполняется следующее соотношение для нормировок:

E H

E ~ H’ (5)

С учетом этого представим (4) в виде

тт H ( 5B)

rot H = —I-----I.

E \ dt)

Из сравнения с (3) следует

H

E

дВ

~dt

Или в интегральной форме

I = H (-дФ

= E { dt

Подставим полученное выражение в формулу закона Био-Савара-Лапласа

d = H f-d|—L. [dr ]. E і dt j 4nr3 L J

С учетом (5) получим (1).

3. Пондеромоторное воздействие электрического поля на магнитопровод с изменяющимся магнитным потоком. На элемент магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком Ф, находящийся в электрическом поле, действует сила dF, величина которой прямо пропорциональна производной магнитного потока по времени dФ / dt, электрическому смещению D, длине элемента dl и синусу угла ф между направлением вектора электрического смещения D и направлением магнитного потока, т. е.

d Ф

dF =------= — sin ф,

dt

dF = d^[Dd\ ].

(б)

Вектор dF перпендикулярен плоскости, содержащей элемент магнитопровода dl и вектор D. Его направление определяется по правилу правой или левой руки. Если магнитный поток возрастает, нужно применять правило правой руки, если уменьшается — левой. Силовые линии электрического поля должны входить в ладонь, четыре вытянутые пальца располагаются по направлению магнитного потока в магнитопроводе, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы, действующий на элемент маг-нитопровода.

Можно пользоваться только правилом правой руки. При этом четыре вытянутые пальца располагаются по направлению производной магнитного потока по времени.

Справедливость соотношения (б) обосновывается следующим.

Поместим в произвольную точку электрического поля, созданного элементом магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком, напряженность которого

определяется (1), точечный электрический заряд д. Сила, действующая на заряд со стороны поля,

ё Ф^) д

Fq = E q = \-

dt J 4п r;

[dlr ].

Равная ей по величине сила, действующая на элемент магнитопровода,

d Ф q

(№m = Fq = dt 4n r3

[dlr ].

Величина - 4Ц — это значение электри-

ческого смещения D поля, созданного зарядом q в месте расположения элемента маг-нитопровода. Знак «-» обусловлен тем, что радиус-вектор r ориентирован относительно элемента магнитопровода, а не заряда. Тогда можно записать

dF = d^[D dl ],

что идентично (б).

4. Пондеромоторное взаимодействие магнитопроводов с изменяющимися магнитными потоками. Интегрируя (1) от 0 до п, определим напряженность электрического поля, созданного бесконечно длинным магнитопроводом с изменяющимся магнитным потоком Ф ,

(

і

дФ,__________

dt J 2п r

Поместим параллельно первому другой магнитопровод с изменяющимся магнитным потоком Фг Выделим его элемент длиной ё1. В соответствии с (6) сила, действующая на элемент

ёЕ = дФк Дё/, Ц = 880 Е,, дг 1 1 01

dF = дФі дФі _sso

dt dt 2n r

dl.

Взаимодействие магнитопроводов с изменяющимися магнитными потоками проявляется в том, что они оказывают друг на друга силовое воздействие. При этом магнито-проводы притягиваются, если производные потоков по времени совпадают по направлению и отталкиваются, если их направления противоположны.

Существование силы взаимодействия между магнитопроводами с изменяющимися магнитными потоками вытекает из того, что сила является производной энергии поля Р = ёЖ

dx

То есть если сила существует, то интеграл

О

j Fdx = A = Wo - W,

не равен нулю.

Пусть ё1, = ё12 = ё1,

ё Ф, / Ш = ё Ф2 / Ш = ё Ф / ёг.

При расстоянии между элементами маг-нитопроводов, равном бесконечности,

Ж = 2808[Е2ёV = 2808ГГ-ёф12(ё/ 5‘"Ч?2К, " 0 V 2 0 VI ё1 ) 32п2 г4

где К — объем бесконечного пространства.

При расстоянии между элементами маг-нитопроводов, равном нулю, и совмещаются и образуют один элемент ё1, в котором локализован изменяющийся магнитный поток 2йФ / &.

Wo =s, sJ(-2

dФ^і (dl sin ф)2

dt J 32n2 r4

dV.

А = W0 - Ж = Ж * 0,

0 ад ад "

следовательно, сила взаимодействия между магнитопроводами с изменяющимися магнитными потоками существует.

Из опыта эксплуатации электрических машин, в особенности трансформаторов,

известно, что их работа зачастую сопровождается характерным шумом, частота которого равна удвоенной частоте сети. Этот шум принято объяснять циклическим изменением размеров пластин магнитопроводов, вызванным магнитострикционным эффектом, обусловленным наличием в магнитопрово-дах переменного магнитного потока.

В то же время известно, что шум практически прекращается, если шихтованные пластины магнитопроводов плотно стянуть между собой и исключить микрозазоры между ними. Магнитострикционный эффект, следовательно, здесь ни при чем. И причину шума при работе электрических машин следует искать в силовом взаимодействии пластин магнитопроводов.

Таким образом, шум, издаваемый пластинами магнитопроводов электрических машин, представляет собой практическое подтверждение существования пондеромотор-ного взаимодействия магнитопроводов с изменяющимися магнитными потоками.

5. Полная производная магнитных потоков. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме производных магнитных потоков, охватываемых этим контуром, т. е.

[ м ей

Действительно,

§Е)<Л = -ёФ' Л

|е2^ = -

$Е„Л = -

сЩ

ж

КЕ, +Е2 +...+е„)л = £-

Ь '-I

(1Ф,

(Лфг

1е <л = У-

J рез

6. Закон Ома для замкнутой цепи потока электрического смещения. Величина потока электрического смещения Фе прямо пропорциональна электризующей силе £ и обратно пропорциональна полному диэлектрическому сопротивлению цепи Я8 , т. е.

<Е

ф =

К.

где(Е = -£^р

(8)

Я =

Действительно,

{Е сй=±-

с1Ф(

ж

Е, 1, + Е 212 +... + Е „ 1 „ = £ - ё Ф

ы ёг ’

Е, 1, 818180 + Е 212 828280 +... + 818180 828280

+Е 1 8т8т80 = I - ёФ/

Ф,

к

818180

+ Ф,

8280

+ ... +

+Ф,

I

т п ёФ

ф, I *8, = 1 - ёФ,

у=1 /=1 ш

что идентично (8).

7. Магнитоэлектрическая индукция.

Из известного соотношения

ёЦ ёг

Зсм

непосредственно вытекает выражение для магнитоэлектрической индукции:

= *

ск

что идентично (7).

где Ет — магнитодвижущая сила.

8. Магнитоэлектрическая индукция для движущегося в постоянном электрическом поле отрезка магнитопровода.

М. д. с. магнитоэлектрической индукции в отрезке магнитопровода длиной /, движущемся со скоростью V в электрическом поле, при условии перпендикулярности отрезка магнитопровода, V и силовых линий поля,

Е = -Dv/

т

Действительно,

дФ с/у/) 1(ЛхО

dt dt

dt

■ Dvl.

Знак «-» обусловлен электромагнитной инертностью. При сообщении отрезку магнитопровода движения в нем появляется изменяющийся магнитный поток, вследствие чего на него в соответствии с соотношением (6) действует сила, противоположная направлению движения.

9. Первое правило Кирхгофа для разветвленных цепей потока электрического смещения. Алгебраическая сумма потоков электрического смещения участков цепи, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

= о,

I=1

где п — число участков, сходящихся в узле.

Поток электрического смещения считается положительным, если линии смещения входят в узел, и отрицательным, если выходят.

10. Второе правило Кирхгофа для цепей потока электрического смещения. В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной цепи потока электрического смещения, алгебраическая сумма произведений потоков электрического смещения на диэлектрические сопротивления соответствующих участков цепи равна алгебраической сумме электризующих сил в этом контуре, т. е.

Ф и E считаются положительными, если

el г

направления соответствующих им линий электрического смещения совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

11. Замечания. 1. При определении направлений векторов магнитного поля и силы Ампера в зависимости от электрического тока возможны два варианта, обусловленные его направлением.

При определении направлений векторов вихревого электрического тока и силы, действующей на магнитопровод с изменяющимся магнитным потоком, в зависимости от последнего возможны четыре варианта, обусловленные его направлением и знаком его производной.

2. Величина силы Ампера зависит от величины тока.

Величина силы, действующей на магнито-провод с изменяющимся магнитным потоком, зависит и от величины магнитного потока и от скорости его изменения, например, при синусоидальном магнитном потоке

, ч . d Ф

Фи) = Фт sin rat, --= га Фт cos га t,

т dt m '

т. е. величина силы прямо пропорциональна амплитуде и частоте потока.

3. Из замечаний 1 и 2 следует, что рассмотренные соотношения и законы Био-Савара-Лапласа, Ампера и полного тока не являются абсолютно дуальными.

12. Заключение. 1. Утверждение о том, что физический объект, создающий силовое поле, в свою очередь подвержен пондеромоторно-му воздействию со стороны такого поля, распространяется и на магнитопроводы с изменяющимися магнитными потоками.

2. Магнитопроводы с изменяющимися магнитными потоками испытывают пон-деромоторное воздействие как со стороны электростатического, так и со стороны вихревого электрического полей.

i=i

(=1

3. Для напряженности вихревого электрического поля справедлива формула

' ёФ^

dE =

dt

4. Сила, действующая на магнитопровод с изменяющимся магнитным потоком

dF = d^[D dl ].

5. Параллельные магнитопроводы с изменяющимися магнитными потоками действуют друг на друга с силой

dF = эф1 _sso

dl.

dt dt 2n ro

б. Полная производная магнитных потоков

|ЕсЛ = Х-

d0

I

dt

7. Закон Ома для замкнутой цепи потока электрического смещения

S. Диэлектрическое сопротивление участка цепи Re

l

R =

sso s

9. Магнитоэлектрическая индукция

<Е =■

(І/

10. Формула магнитоэлектрической индукции для движущегося в постоянном электрическом поле отрезка магнитопровода

E =-Dvl.

т

11. Первое и второе правила Кирхгофа для цепей потока электрического смещения

£ф,,=0, ±ФЛ,=І£,

г=1

2=1

1=1

Список литературы

1. Попов, И. П. Электрическая машина // Изобретения, полезные модели. 2000. № 17. С. 256.